Понятие «уравнение». Виды уравнений. Способы решения уравнений.

Изначально введению понятия уравнения в начальном курсе математики предшествует знакомство школьников с такими важнейшими математическими понятиями, подводящими к понятию уравнения, как: выражение, равенство, неравенство. Дадим определения данным понятиям.

Последовательность букв и чисел, соединенных знаками действий, называют математическим выражением.

Следует отличать математическое выражение от равенства и неравенства.

Например:

7 - 5; 3 + 2 - математическое выражение.

64:8 + 2; 64:(16- 8) - математические выражения.

а+ 6; 5х - математические выражения.

3апись вида 3 +4 = 7 не является математическим выражением, это числовое равенство.

3апись вида а>7, 3 <5 – это неравенства.

Среди математических выражений выделяют числовые и буквенные выражения.

Математическое выражение, содержащее только числа и знаки арифметических действий, называют числовым выражением. Выполнив все указанные арифметические действия, получаем значение числового выражения.

Буквенное выражение наряду с числами содержит переменные, обозначенные буквами. Для вычисления значений буквенных выражений заданные значения переменных поочередно подставляются в выражения и производят вычисления.

Два математических выражения, соединенные знаком < (меньше), >(больше) называют неравенством. Они также бывают числовыми и буквенными.

Два математических выражения, соединенные знаком = (равно), называют равенством. Соответственно выделяют числовые и буквенные равенства. Среди буквенных равенств выделяют тождества и уравнения.

Тождество – это равенство верное на любом наборе входящих в него переменных. Как правило, в школьном курсе формулами являются основные законы арифметических действий (переместительный, сочетательный, распределительный законы и др.), правила вычислений (например, вычитание суммы из числа, числа из суммы и др.), а также формулами в НКМ выражаются зависимости между некоторыми величинами (t=s/v).

С одной стороны, равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной неизвестной.

С другой стороны, уравнение с одной переменной рассматривают как предикат вида f(x)=g(x), где f(x) и g(x)- выражения с переменной [Стойлова].

Решить уравнение - значит найти такое значение переменной, при котором равенство будет верным. Это число называют корнем уравнения.

Например, х+7=15 является уравнением.

В НКМ решение уравнения можно находить разными способами:

 способом подбора,

 с опорой на графическую схему (целое и части),

 с использованием взаимосвязи компонентов арифметических действий,

 основываясь на свойствах числовых равенств.

Раскроем более подробно выделенные способы решения уравнений.

1) Способ подбора.

Этот способ используется нередко на пропедевтическом этапе обучения решению уравнений, а также при решении простейших уравнений. Он основан на осознанном подборе корня уравнения. Ученик ориентируется на числа и выполняемую операцию и осуществляет интуитивно подбор наиболее подходящего числа. При этом он знает, что подобранное им число он должен проверить, т.е. подставить его и выяснить, верное или неверное числовое равенство при этом получится.

Например, решая уравнение x+3=7, ученик пробует подставить вместо x число 1, потом 2 и, наконец, 4. Даже если ученик смог сразу дать правильный ответ, он должен еще “доказать” его правильность, подставив найденное число в уравнение вместо х.

2) Решение уравнений на основе соотношения между частью и целым (графическая схема).

Уравнения на сложение и вычитание с фигурами, отрезками, графическая модель уравнения рассматриваются в программеЛ. Г. Петерсон и в системе развивающего обучения Эльконина-Давыдова.

Например, уравнение x+3=7 в этом случае может быть представлено

в виде схемы.

Составляя подобные схемы, учащиеся на основе практических предметных действий выводят и усваивают правила:

 целое равно сумме частей

 чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть

Взаимосвязь между частью и целым является затем для учащихся тем удобным и надежным инструментом, который позволяет им легко решать уравнения с неизвестным слагаемым, уменьшаемым, вычитаемым.

3)Решение уравнений на основе зависимости между компонентами

действий.

Данный способ наиболее распространен в практике начальной школы. Решение уравнения основывается на знаниях определенных правил нахождения того или иного компонента арифметического действия.

Например, в решении того же уравнения x+3=7 младший школьник руководствуется взаимосвязями между компонентами операции сложения чисел: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Таким образом, он находит решение х=7-3, х=4.

4) Способ решения уравнений, основанный на знании свойств числовых равенств, реализован в учебниках математики И.И. Аргинской(система РО Л.В. Занкова).

Данный способ чаще всего используется в учебнике при решениисложных уравнений, в том числе с неизвестными в обеих частях уравнения.

При решении уравнения x+3=7ученик будет руководствоваться свойством числовых равенств «если к обеим частям прибавить или вычесть одно и тоже число, то равенство остается верным»

х+3-3=7-3,

х=4.

В курсе алгебры выделяют различные виды уравнений:

1. Линейные уравнения,

2. Квадратные уравнения,

3. Уравнения высших степеней,

4. Иррациональные уравнения,

5. Дробно-рациональные уравнения,

6. Тригонометрические уравнения,

7. Показательные уравнения

8. Логарифмические уравнения

9. Дифференциальные уравнения и т.д.

В начальном курсе математике из всего этого списка дети знакомятся с линейными уравнениями, при этом данный термин «линейные уравнения» не вводится.

В НКМ выделяют простейшие и составные уравнения. Простейшие уравнения – это уравнения, в которых только одно арифметическое действие. Составные уравнения содержат два и более арифметических действия. Например, уравнения вида х+5=7, х-5=7, х:5=7, х×5=15 являются простыми. Примерами составных уравнений являются х+5=7+5, 2×(х-5)=12, 3х-5=16 и т.д.

На начальном этапе происходит знакомство учащихся с простейшими уравнениями на сложение и вычитание, затем с простейшими уравнениями на умножение и деление, только после этого учащиеся учатся решать составные уравнения.

В заключении отметим, что усвоение младшими школьниками основных понятий темы «Уравнения» и овладение детьми способами их решения в начальном курсе математики должно создать прочную основу для дальнейшего обучения решению уравнений в среднем звене.