Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2022-11-14 | 30 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Теорема Гаусса в интегральной форме
С помощью теоремы Гаусса в интегральной форме нельзя определить, как связан исток линий вектора электрического смещения в данной точке поля с плотностью свободных зарядов в этой же точке. Чтобы узнать это, рассмотрим дифференциальную форму теоремы Гаусса. Для этого разделим обе части уравнения интегральной формы записи теоремы Гаусса на одну и туже скалярную величину V (объем), находящийся внутри замкнутой поверхности:
.
Это выражение справедливо для V любой величины, устремим V к 0.
Предел отношения потока вектора электрического смещения сквозь замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем, к объему называют дивергенцией вектора электрического смещения.
Или вместо слова «дивергенция» употребляют термины «расхождение».
,
где – объемная плотность заряда:
.
Дивергенция векторного поля
Продолжим изучение характеристик векторных полей.
Определение 23. Дивергенцией векторного поля A = { Ax, Ay, Az }, где
Ax, Ay, Az – функции от x, y, z, называется
. (107)
Замечание 1. Из определения видно, что дивергенция является скалярной функцией.
Замечание 2. Слово «дивергенция» означает «расходимость», так как дивергенция характеризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке.
Рассмотрим формулу Гаусса-Остроградского с учетом определений потока и дивергенции векторного поля. Тогда в левой части формулы (67) стоит тройной интеграл по объему V от дивергенции векторного поля { P,Q, R }, а в правой – поток этого вектора через ограничивающую тело поверхность S:
(108)
Докажем, что величина дивергенции в данной точке не зависит от выбора системы координат. Рассмотрим некоторую точку М, которую окружает трехмерная область V, ограниченная поверхностью S. Разделим обе части формулы (108) на V и перейдем к пределу при стягивании тела V к точке М. Получим:
. (109)
Это равенство можно считать инвариантным определением дивергенции, то есть определением, не зависящим от выбора координатной системы.
Пример 28.
Определить дивергенцию и ротор векторного поля .
Теорема д. Стокса
Данная теорема позволяет рассчитывать циркуляцию вектора по контуру конечной длины с помощью ротора этого вектора.
Циркуляция векторного поля по замкнутому положительно ориентированному контуру L равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность S, опирающуюся на данный контур:
. (2.12)
Д ля доказательства теоремы рассмотрим контур с охватываемой им площадью (рис. 2.6). Весь контур разбивается на элементарные контуры той же ориентации (рис. 2.10).
Циркуляция по элементарному контуру равна .
Все смежные контура (1 и 2 на рис. 2.10) имеют такую особенность: на общей границе при том же значении поля вклад в циркуляцию по каждому из смежных контуров будет происходить с изменением знака (для контура 1 - a b, а для 2 - b a). В результате вклад в циркуляцию всех внутренних участков контуров взаимно компенсируется, и нескомпенсированными останутся только участки принадлежащие контуру L, что в итоге дает (2.12) [8].
Частным случаем (2.12) в случае расположения контура на плоскости является формула Д. Грина (М. Остроградского- Д. Грина [9]):
. (2.13)
Формулы (2.12) и (2.13) позволяют свести вычисление криволинейного интеграла второго рода к вычислению двойного интеграла по области S.
Обратный переход по (2.12) осуществляется аналогично (2.8).
50
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!