Методы выборочного обследования

Методы выборочного обследования

Рекомендовано

Дальневосточным региональным учебно-методическим центром (ДВ РУМЦ)

в качестве учебного пособия для студентов экономических специальностей вузов региона

 

 

Хабаровск 2011

ББК У 051       

 

     Ш 78

 Шокина И. В. Методы выборочного обследования: практикум для бакалаврантов, обучающихся по направлению «Экономика»            профиль «Статистика» 080600.62 / И. В. Шокина.− Хабаровск: ХГАЭП, 2011. – 108 с.  

 

Рецензенты: Л.С. Сивцова, зам. руководителя Хабаровскстата;

                 А.В. Пивень, кандидат экономических наук, доцент кафедры менеджмента финансов и права ДВГГУ;

                 О.Ф. Беленко, кандидат экономических наук, доцент кафедры маркетинга ХГАЭП

 

 

Практикум является дополнением к учебной литературе по «Общей теории статистики», «Методам выборочного обследования», «Статистическому анализу нечисловой информации», «Социальной статистики». Материал пособия содержит теоретические вопросы курсов, методы проведения выборочных обследований, методы определения ошибки выборки, необходимую численность выборки, проверку статистических гипотез и дисперсионный анализ.

Пособие предназначено для бакалаврантов по направлению «Экономика» профиль «Статистика», а также для практических работников статистических органов, социологов, психологов.

 

               

 

 

© Хабаровская государственная академия экономики и права, 2011

Введение

В настоящее время очень широкое распространение получили различного рода выборочные обследования. Эффективное использование результатов выборки предполагает грамотное применение соответствующего статистико-математического аппарата.

Выборочные методы занимают особое и очень важное место в статистической науке. Вся математическая ветвь этой науки развивалась как учение о вероятностной оценке данных, получаемых в результате выборочного статистического наблюдения и эксперимента.

Организация выборочного исследования − это дело, требующее знаний и определённых навыков, таких как определение совокупности, установление круга данных, подлежащих сбору, и методов наблюдения.

Цель теории выборочного метода состоит в повышении результативности выборочного исследования. В ней разрабатываются методы извлечения выборки и оценивания, позволяющие при минимальных затратах получать оценки с достаточной точностью.

Велико и практическое значение выборочного метода. Возможность сократить расходы на проведение статистических работ представляет собой немаловажный довод в пользу применения выборочного наблюдения вместо наблюдения сплошного, особенно когда проведение сплошного статистического обследования провести невозможно.

Научной литературы по проблемам проведения и обработки результатов выборочного наблюдения много, однако учебно-методической явно недостаточно. Поэтому целью настоящего практикума является доступное изложение вопросов статистической обработки в выборочном наблюдении и распространение полученных результатов с указанной степенью точности.

В данном практикуме изложение методов выборочного обследования сопровождается подробными примерами.

Пособие содержит математические таблицы, с помощью которых решаются конкретные задачи, а также имеются ссылки на них при расчётах.

 

Ошибки выборки при некоторых способах отбора. Необходимая численность выборки

Задачи

1.1. Средняя жилая площадь, приходящаяся на одного жителя, в выборке составила 19,6 м², а средняя ошибка выборки ─ 1,2 м². Определите пределы, в которых находится средняя жилая площадь в расчёте на одного жителя в генеральной совокупности (при вероятности 0,954).

 

1.2. Для определения скорости расчётов с кредиторами предприятий корпорации в коммерческом банке была проведена случайная выборка 100 платёжных документов, по которым средний срок начисления и получения денег оказался равным 22 дням со стандартным отклонением 6 дней. Необходимо с вероятностью 0,954 определить предельную ошибку выборочной средней, а также доверительные пределы средней продолжительности расчётов предприятий данной корпорации.

 

1.3. В туристских агентствах города с общим числом сотрудников 1 000 человек было проведено 5%-е выборочное обследование возраста сотрудников методом случайного бесповторного отбора. В результате обследования были получены следующие данные:

Возраст, лет	до 30	30 − 40	40 − 50	50 − 60	свыше 60
Число сотрудников	8	22	10	6	4

С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний возраст работающих в туристических агентствах.

 

1.4. Свободные места на авиалайнерах являются причиной потери дохода авиакомпаний. Предположим, авиакомпании требуется оценить среднее количество свободных пассажирских мест на рейс за последний год с вероятностью 0,997. Для этого из файла базы данных, содержащего   4 500 записей о рейсах, были отобраны случайным образом 225 и выяснено число свободных мест на этих рейсах. Среднее значение составило 11,6 мест, а стандартное отклонение 4,1 места.

1.5. По результатам выборочного обследования жилищных условий населения в городе доля людей, не обеспеченных жильём в соответствии с социальными нормами, составляет 30%, а средняя ошибка выборки − 2,5%. С вероятностью 0,997 определите, в каких пределах находится доля людей, не обеспеченных жильём в генеральной совокупности.

1.6. Из 5 тыс. человек, совершивших правонарушения в течение года, было обследовано методом механического отбора 500 правонарушителей. В результате обследования установлено, что 300 человек выросли в ненормальных семейных условиях. С вероятностью 0,997 определите долю правонарушителей, выросших в ненормальных семейных условиях.

1.7. По результатам выборочного обследования 10 000 семей региона по уровню душевого дохода (выборка 25%-я, механическая) малообеспеченных оказалось 400 семей. Требуется с вероятностью 0,997 определить предельную ошибку доли, а также долю малообеспеченных семей во всём регионе.

 

1.8. Для определения среднего срока пользования краткосрочным кредитом в банке была проведена 5%-я механическая выборка, в которую попали 200 счетов. По результатам выборки установлено, что средний срок пользования кредитом составляет 60 дней при среднеквадратическом отклонении 20 дней. В 8 счетах срок пользования кредитом превышал 6 месяцев. Необходимо с вероятностью 0,99 определить пределы, в которых находится срок пользования краткосрочными кредитами банка и доля краткосрочных кредитов со сроком пользования более полугода.

1.9. В результате выборочного обследования населения региона по проблемам занятости получено распределение тех, кто не имел работы и искал её, пребывая в статусе безработного

Число месяцев безработицы	0 − 3	3 − 6	6 − 9	9 − 12	12 и более
Число безработных	20	50	15	10	5

Требуется с вероятностью 0,95 определить: а) среднюю продолжительность пребывания в статусе безработного; б) долю лиц, являющихся безработными один год и более.

 

1.10. Дорасчёт валового внутреннего продукта провели с использованием распределения малых предприятий региона по объёму выпуска продукции (работ, услуг), полученного на основе 10%-ого выборочного наблюдения:

Группа предприятий по объёму выпуска продукции (работ, услуг), млн руб.	До 1,0	1,0 − 2,0	2,0 − 3,0	3,0 − 4,0	4,0 − 5,0	5,0 и более
Число предприятий	12	14	16	18	4	3

Определите: 1) в целом по региону с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать: а) средний объём производства продукции (работ, услуг) на одно предприятие: б) долю предприятий с объёмом производства продукции более 4,0 млн руб.; 2) общий объём выпуска продукции (работ, услуг) по региону.

 

1.11. Для изучения стоимости плазменных телевизоров была проведена 2%-я механическая выборка телевизоров одного размера разных производителей. Результаты предоставлены в таблице:

Стоимость телевизоров, долл.	Число образцов
До 960	2
960 − 980	7
980 − 1 000	24
1 000 − 1 020	40
1 020 − 1 040	20
Свыше 1 040	7

Определите: 1) с вероятностью 0,997 пределы, в которых можно ожидать среднюю стоимость всех телевизоров; 2) с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать долю телевизоров стоимостью свыше 220 долларов.

 

1.12. Партия роз 80 000 шт., поступивших из Голландии, была подвергнута выборке. Для этого было обследовано 800 роз, отбракованных при помощи механического способа отбора. Среди обследованных обнаружено 160 бракованных. Определите с вероятностью 0,997 возможный размер убытка от некачественной транспортировки, если цена приобретения розы 100 рублей.

 

1.13. На основе выборочного обследования 600 рабочих одной из отраслей промышленности установлено, что удельный вес численности женщин составил 40%. С какой вероятностью можно утверждать, что при определении доли женщин, занятых в этой отрасли, допущена ошибка, не превышающая 5%.

 

1.14. Какова вероятность того, что по данным 5%-й механической выборки 100 рабочих предельная ошибка средней заработной платы рабочего не превысит 250 руб., а предельная ошибка доли рабочих, получающих среднюю заработную плату свыше 45 000 руб. будет не более 3%? По предыдущим обследованиям известно, что дисперсия заработной платы составила 400, а доля рабочих, получающих заработную плату свыше 45 000 руб., 10%.

 

1.15. По данным выборочного обследования 64 переселенцев из бывших союзных республик удельный вес семей в составе 3 человек составил 20%. С вероятностью 0,954 определите ошибку выборки для доли выбывших семей в составе 3 чел. С какой вероятностью можно утверждать, что доля выбывших семей в составе 3 чел. не превышает 30%?

1.16. Методом собственно-случайной бесповторной 5%-й выборки было обследовано 150 студентов дневного отделения одного из высших учебных заведений. Доля студентов, совмещающих работу и учёбу, составила, по данным выборки, 30%. Определите вероятность того, что ошибка доли студентов дневного отделения этого учебного заведения, работающих в течение учебного года, не превысит 5%; 10%.

1.17. В сберегательных банках города методом случайной повторной выборки было отобрано 1 600 счетов вкладчиков. Средний размер остатков вклада по этим счетам составил 3,2 тыс.руб при коэффициенте вариации 30%. Какова вероятность того, что ошибка репрезентативности при определении среднего размера остатков вклада не превысит 0,05 тыс.руб.

1.18. По городской телефонной сети в порядке случайной выборки (механический) отбор произвели 100 наблюдений и установили среднюю продолжительность одного телефонного разговора 5 мин, при среднем квадратическом отклонении 2 мин. Какова вероятность того, что ошибка репрезентативности при определении средней продолжительности телефонного разговора не превысит 18 секунд?

 

Решение:

1. Определим необходимый объём выборки по каждому цеху:

; ;

 

2. Рассчитаем среднюю ошибку выборки =

=

3. Находим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,954 (t=2)

Разновидностью типической является районированная выборка, при которой отбор единиц для наблюдения проводится из групп, представленных административно-территориальными образованиями.

Задачи

2.1. На металлургических заводах корпорации работают 100 формовщиков и 200 литейщиков. Проведено районированное изучение среднемесячной заработной платы 60 рабочих с пропорциональным распределением их по специальностям в соответствии с удельным весом в общем количестве рабочих. Внутри каждой группы применялся метод повторного отбора. В результате получены следующие данные:

Показатель	Формовщики	Литейщики
Месячная заработная плата, руб. Среднее квадратическое отклонение по заработной плате, руб.	38 000   540	41 100   880

 Определите предел ошибки репрезентативности при установлении средней заработной платы, гарантировав результат с вероятностью 0,954.

2.2. Для определения урожайности зерновых культур проведена типическая пропорциональная выборка 100 хозяйств региона различных форм собственности:

 

Хозяйства (по формам собственности)	Количество обследованных хозяйств	Средняя урожайность	Дисперсия урожайности в каждой группе
Коллективная Акционерные общества Крестьянские (фермерские)	30 50 20	18 20 28	15 25 40
Итого	100	-	-

Необходимо с вероятностью 0,954 определить предельную ошибку выборочной средней и доверительные пределы средней урожайности зерновых культур по всем хозяйствам региона.

 

2.3. По результатам 5%-го выборочного обследования, проведённого методом пропорционального типического отбора, с целью изучения уровня оплаты труда по отрасли получены следующие данные:

Тип предприятия	Средняя заработная плата, руб.	Число обследованных работников	Среднее квадратическое отклонение, руб.
Среднее	32 500	800	1 100
Малое	28 900	200	800

Определите с вероятностью 0,9996 пределы, в которых находится средняя заработная плата работников отрасли.

2.4. В области 150 тыс. молочных коров. Из них в районе А – 70 тыс. коров, в районе Б – 50 тыс. коров, в районе В – 30 тыс. коров. Для определения средней удойности коров области произведена 1%-я типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности коров в районах (внутри районов применялся случайный бесповторный метод отбора). Результаты выборки представлены в таблице:

Районы	Средний удой коров, кг	Среднее квадратическое отклонение
А Б В	3 200 3 000 2 500	700 400 240

С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится удойность коров.

 

2.5. Для установления дальности пробега машин на трёх автобазах методом случайного бесповторного отбора было отобрано 300 путёвок. Из них на автобазе № 1 – 150, № 2 – 60, № 3 – 90 путёвок. В результате обследования установлено, что доля машин с дальностью пробега свыше 100 км составляет на автобазе № 1 –30 %, на автобазе № 2 – 15 % и на автобазе № 3 – 25 %. С вероятностью 0,954 определите предел, в котором находится доля машин с дальностью пробега, превышающей 100 км, по трём автобазам при условии, что выборка составляет 5 %.

 

2.6. С целью определения доли расходов на питание населением города А методом типической выборки был произведён 5%-й отбор семей. Внутри типов производилась случайная бесповторная выборка. Результаты выборки представлены в таблице:

Тип семей	Число лиц	Доля расходов на питание (в %)
Одинокие Семейные	30 70	33 45

С вероятностью 0,954 определите предел, в котором находится доля расходов на питание семей города А.

2.7. Для определения женского труда в одной из отраслей обрабатывающей промышленности все предприятия отрасли были разбиты на три группы − крупные, средние и мелкие. По численности рабочих эти группы распределились следующим образом: крупные − 50%, средние − 40%, мелкие − 10%. От общего числа рабочих всей отрасли. В порядке бесповторной типической выборки был произведён отбор 10 000 человек с пропорциональным распределением по группам, в результате которого доля мужчин оказалась равной в крупных предприятиях 60%, в средних − 50%, в мелких − 45%. Определите с вероятностью 0,997, в каких пределах заключена доля женщин среди всех рабочих данной отрасли.

2.8. Для изучения влияния общего стажа работы на квалификацию рабочих механического цеха была проведена бесповторная типическая выборка с непропорциональным распределением (по 50 рабочих в каждой группе), которая дала следующие результаты:

Группа рабочих по стажу работы	Общее число рабочих в группе (человек)	Объём выборки	В том числе по разрядам
			1	2	3	4	5	6
До 10 лет Свыше 10 лет	600 400	50 50	10 -	23 5	14 8	2 17	1 14	- 6

По этим данным определите: 1) необходимый объём выборки по каждой из групп рабочих при определении среднего разряда рабочих цеха, который даст наиболее точные результаты; 2) возможные пределы среднего разряда рабочих цеха с вероятностью 0,954; 3) необходимую численность выборки по каждой из групп рабочих при определении доли рабочих высокой квалификации (5-й и 6-й разряды), которая даст наиболее точные результаты; 4) возможные пределы доли рабочих в цехе, имеющих высокую квалификацию (5-й и 6-й разряды), с вероятностью 0,683.

2.9. Для изучения сортности продукции акционерного общества была проведена бесповторная типическая выборка с непропорциональным отбором, которая дала следующие результаты:

№ цеха	Объём продукции,         шт.	Объём выборки,          шт.	Сортность продукции, шт.
			высший	первый
1 2	500 800	50 100	20 20	30 80

По этим данным определите: 1) необходимую численность выборки по каждому из цехов при определении доли продукции высшего сорта, которая даст наиболее точные результаты; 2) возможные пределы доли продукции высшего сорта с вероятностью 0,954.

 

2.10. В целях изучения производительности четырёх типов станков, производящих одни те же операции, была произведена 10%-я типическая выборка с непропорциональным отбором единиц:

Тип станков	Всего станков	Среднее число деталей, изготовленных на станке за час работы, штук	Среднее квадратическое отклонение
I II III IV	150 300 450 100	400 520 700 610	40 20 50 70

Определите: 1) необходимую численность выборки по каждому типу станков при определении производительности, которая даст наиболее точные результаты; 2) с вероятностью 0,997 определите предел, в котором находится среднее число деталей, производимых на всех станках.

 

2.11. С целью определения среднего стажа работы рабочих завода (в годах) произведена 10%-я бесповторная выборка способом типического пропорционального отбора. Результаты обследования сведены в следующую таблицу:

Группа рабочих по полу	Группа рабочих по стажу работы						Итого
	до 2	2 − 5	5 − 10	10 − 20	20 − 25	25 и выше
Мужчины Женщины	20 20	80 50	100 80	60  43	30 5	10  2	300 200
Всего	40	130	180	103	35	12	500

Определите: 1) с вероятностью 0,954 для всех рабочих предприятия предельную ошибку среднего стажа работы всех рабочих; 2) пределы, в которых находится средний стаж их работы; 3) предельную ошибку доли рабочих со стажем до 5 лет с вероятностью 0,997; 4) пределы, в которых находится число рабочих со стажем до 5 лет; 5) необходимую численность непропорциональной выборки по полу рабочих, которая наиболее точные результаты; 6) с вероятностью 0,954 определите предел, в котором находится средний стаж всех рабочих; 7) необходимую численность выборки по полу при определении доли рабочих со стажем до 5 лет, которая даст наиболее точные результаты; 8) предел, в котором находится доля рабочих со стажем до 5 лет с вероятностью 0,997. Сравните полученные результаты и сделайте выводы.

2.12. По данным выборочного обследования (20%-й типический отбор) трудовое участие женщин в общественном производстве характеризуется следующими данными:

Наличие детей в возрасте до 12 лет	Число женщин	В среднем отработано на одну женщину, чел.-дней	Среднее квадратическое отклонение отработанных чел.-дней
Без детей Один ребенок Двое и больше детей	200 120 80	158 150 130	10 20 15

С вероятностью 0,954 определите ошибку выборки для среднего числа отработанных человеко-дней на одну женщину. С какой вероятностью можно утверждать, что среднее число отработанных за год человеко-дней на одну женщину не меньше 147,4?

Серийный (гнездовой) отбор

Серийный (гнездовой) отбор применяется в том случае, если генеральная совокупность разбита на группы ещё до начала выборочного обследования. При проведении выборки из генеральной совокупности отбираются не отдельные единицы, а целые их серии, причём в рамках каждой серии обследуются все попавшие в неё единицы.

При равновеликих сериях стандартная ошибка выборки для средней определяется по формулам:

− при повторном отборе серий:

где r – число отобранных серий;

 − межсерийная дисперсия:

 − средняя i-й серии;

 − общая средняя по всей выборочной совокупности: ;

− при бесповторном отборе серий

где  – общее число серий в генеральной совокупности.

Из приведённых формул следует, что случайная ошибка серийной выборки должна быть меньше, чем межсерийная дисперсия и тем, следовательно, более однородны внутри себя серии.

Например. Из 100 ящиков (R) по 400 деталей в каждом, поступивших в течение квартала на склад готовой продукции, в порядке случайной бесповторной серийной выборки отобрано 5 ящиков (r), все детали которых проверены на вес, были получены следующие результаты (таблица 1.3.1).

Таблица 1.3.1 − Исходные данные

 

Показатель	Ящик
	1	2	3	4	5
Средний вес детали, г	50	49	53	53	55

 

По этим данным установить возможные пределы среднего веса детали в ящиках, поступивших на склад, с вероятностью 0,954 (t=2).

Решение:

Средний вес детали в 5 отобранных ящиках составляет:

.

Межсерийная дисперсия равна:

Средняя ошибка средней серийной выборки будет 

=

Предельная ошибка средней

Пределы отклонения генеральной средней:

Средняя ошибка выборочной доли при случайной выборке в случае равновеликих серий определяется по формулам:

− при повторном отборе

где  −  межсерийная (межгрупповая) дисперсия доли, определяемая по формуле

где  − доля признака по всей выборочной совокупности;

 – доля признака по -й серии.

 − при бесповторном отборе

Исходя из вышеизложенного приведём формулы предельной ошибки выборки для наиболее часто используемых на практике способов формирования выборочной совокупности (таблица 1.3.2).

Задачи

3.1. Из партии семян, разбитой на 40 равных по величине серий, методом случайного бесповторного отбора было проверено 8 серий на всхожесть. В результате обследования установлено, что доля взошедших семян составляет 75%. Межсерийная дисперсия равна 900. С вероятностью 0,954 определите предел, в котором находится доля всхожести семян во всей партии.

3.2. Выпускаемая акционерным обществом продукция упаковывается в коробки по 80 шт. в каждом. Из 100 коробок, поступивших на склад готовой продукции, в порядке случайной бесповторной выборки было отобрано 5, все детали которых проверены на вес. Результаты проверки показали, что средний вес детали в ящиках составил (г):

Номер коробки	1	2	3	4	5
Средний вес детали, г	30	34	36	34	55

С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится средний вес деталей, поступивших на склад готовой продукции акционерного общества.

3.3. Из совокупности, разбитой на 100 равных по величине серий, методом механического отбора выделено 10 серий. Межсерийная дисперсия равна 20, а средняя величина признака в выборке – 140. С вероятностью 0,997 определите предел, в котором находится генеральная средняя.

Таблица 1.3.2 − Формулы предельной ошибки выборки для некоторых способов формирования выборочной совокупности

 

Вид выборки	Метод отбора
	повторный		бесповторный
	для средней	для доли	для средней	для доли
1. Собственно случайная выборка	t	t	t	t
2. Механическая выборка	-	-	t	t
3. Типическая выборка: а) при пропорцио-нальном отборе	t	t	t	t
б) при непропорцио-нальном отборе
4. Серийная (гнездовая) выборка	t	t	t	t

3.4. В механическом цехе завода в десяти бригадах работает 100 ра-бочих. В целях изучения квалификации рабочих была произведена 20%-я серийная бесповторная выборка, в которую вошли 2 бригады. Получено следующее распределение рабочих по разрядам:

Рабочий	Разряд рабочих в бригаде № 1	Разряд рабочих в бригаде № 2
1	2	3
2	4	6
3	5	1
4	2	5
5	5	3
6	6	4
7	5	2
8	8	1
9	4	3
10	5	2

Необходимо определить с вероятностью 0,997 предел, в котором находится средний разряд рабочих механического завода.

 

3.5. При контрольной проверке качества поставляемых торговле пищевых яиц проведено 10%-е выборочное обследование. Из партии, содержащей 100 коробок диетических яиц, методом механического отбора в выборку взято 10 коробок. В результате сплошного обследования находящихся в каждой коробке упаковок получили следующие данные о распределении выборочной совокупности:

Коробка	Количество упаковок
	всего	в том числе с весом десятка яиц 440 г и выше
6-я	36	36
16-я	36	35
26-я	36	33
36-я	36	34
46-я	36	34
56-я	36	36
66-я	36	34
76-я	36	33
86-я	36	34
96-я	36	36
По выборке в целом	360	345

По данным выборочного обследования нужно установить с вероятностью 0,954 предел удельного веса стандартной продукции во всей партии. По условию поставки к стандартной продукции относятся диетические яйца весом не менее 440 г.

 

3.6. При контрольной проверке качества апельсинов проведена 10%-я серийная выборка. Из партии, содержащей 50 ящиков апельсинов (вес ящиков одинаков), методом механического отбора взято 5 ящиков. В результате сплошного обследования находящихся в ящике апельсинов получили данные об удельном весе бракованных апельсинов. Результаты следующие:

№ ящика, попавшего в выборку	1	2	3	4	5
Удельный вес бракованной продукции, %	1,2	1,8	2,0	1,0	1,5

Требуется с вероятностью 0,954 установить доверительные интервалы удельного веса бракованной продукции для всей партии апельсинов.

 

3.7. За рабочий день кондитерская фабрика выпускает 3 тонны печенья. Печенье упаковано в пачки по 250 граммов, в коробке 24 пачки, а коробки пакетированы в ящики по 16 штук. Для проверки качества продукции по весу пачки печенья был проведён серийный отбор. В результате отбора обследовано 3 ящика. При этом средний вес пачки составил 248 грамм, а межсерийная дисперсия равна 25. С вероятностью 0,954 определите доверительные пределы для среднего веса пачки печенья и сделайте заключение о приёме или выбраковке суточного объёма его производства. Нормативами предусмотрено отклонение по весу в пачке печенья не более 2%.

1.4. Многоступенчатый отбор (комбинированная выборка)

В практике выборочного наблюдения довольно часто используется многоступенчатый отбор, при котором на первом этапе из совокупности отбираются укрупнённые единицы (серии), а затем без проведения наблюдения за всеми единицами в рамках серии осуществляется собственно-случайный или механический отбор единиц из каждой отобранной серии. Ошибка выборки при двухступенчатом отборе складывается из ошибок, возникающих на каждой ступени. Средняя ошибка определяется по формулам:

− при повторном отборе ;

− при бесповторном отборе ;

Ошибка такой выборки будет зависеть от ошибки серийного отбора и от ошибки индивидуального, то есть многоступенчатый отбор даёт, как правило, менее точные результаты по сравнению с одноступенчатым, что объясняется возникновением ошибок репрезентативности на каждой ступени выборки.

При построении многоступенчатой выборки используется комбинация разных способов отбора, поэтому такой способ отбора иногда называют комбинированной выборкой.

  Например. С целью проверки качества продукции путём контроля среднего размера изделий на комбинате стройматериалов проведена двухступенчатая бесповторная комбинированная выборка партии изделий в 5 000 штук. Изделия упакованы в ящики по 100 штук в каждом. На первой ступени в случайном порядке отобрано 20% всех ящиков, на второй тем же способом – 10% изделий из каждого ящика. Результаты обследования показали, что межсерийная дисперсия среднего размера изделия составила 4, а средняя из внутрисерийных дисперсий 25.

Решение:

1. Определяем число серий в генеральной и в выборочной совокуп-ностях, а также объём выборки

2. Рассчитаем среднюю ошибку комбинированной выборки:

=

От многоступенчатого следует отличать многофазный отбор, при котором из единиц совокупности, отобранных на первом этапе, осуществляется подвыборка в целях изучения дополнительных характеристик обследуемой совокупности. По структуре многофазный отбор отличается от многоступенчатого отбора. Если при многоступенчатом отборе отбираются единицы разных порядков (из единиц первого порядка – единицы второго порядка и т.д.), то при многофазном отборе подвыборка состоит из тех же единиц, что и выборка основная.

 

Задачи

4.1. Произведена двухступенчатая бесповторная комбинированная выборка с целью определения средней высоты партии деталей в 5 000 шт. Детали упакованы в ящики по 200 деталей в каждом. На первой стадии в случайном порядке было отобрано 20% всех ящиков, на второй – также в случайном порядке 10% деталей из каждого ящика. Средняя из внутрисерийных дисперсий высоты измеряемой детали составила 25; межсерийная дисперсия – 16. Определите предельную ошибку средней высоты детали, которую можно гарантировать с вероятностью 0,997.

 

4.2. Проведена двухступенчатая комбинированная бесповторная выборка для определения среднего веса детали. Изготовленная продукция упакована в ящики по 50 штук. Из 500 ящиков, поступивших на склад готовой продукции на первой ступени было отобрано 10 ящиков, на второй – в случайном порядке было отобрано 10 % деталей из каждого ящика. Средняя из внутрисерийных дисперсий 12, а межсерийная – 8. Средний вес деталей в выборке равен 32 г. С вероятностью 0,997 определите предел, в котором находится средний вес деталей, поступивших на склад готовой продукции.

 

4.3. Генеральная совокупность состоит из 60 000 единиц, разбитых на 500 равных по объёму серий. Для определения доли единиц, обладающих изучаемым признаком, произведена двухступенчатая комбинированная бесповторная выборка 50% серий и из каждой серии отобрано по 20% единиц. Общая дисперсия альтернативного признака оказалась равной 0,21, а межсерийная дисперсия − 0,09. Определите с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки для доли.

Малая выборка

К малым относятся выборки объёмом менее 30 единиц (n<30). Для вероятностной оценки выборочной средней при небольшом числе наблюдений, в условиях малой выборки нужно рассматривать распределение не самих выборочных средних, а величин их нормированных отклонений от средней в генеральной совокупности, т.е. значений t, играющих роль аргумента в таблице значений интеграла вероятностей. Для оценки возможных пределов ошибки малой выборки пользуются так называемым отношением Стьюдента:

где  − выборочная средняя;

<