Собственно-случайная и механическая выборка

Ошибки выборки зависят от конкретного способа отбора. Способ отбора определяет механизм выборки единиц из генеральной совокупности. В практике выборочных обследований наибольшее распространение получили следующие виды выборки: 1) собственно-случайная; 2) механическая; 3) типическая; 4) серийная; 5) много-ступенчатая; 6) многофазная.

Собственно-случайная выборка заключается в отборе единиц из генеральной совокупности наугад или наудачу без каких-либо элементов системы. Технически собственно-случайный отбор проводят методом жеребьёвки или по таблицам случайных чисел.

Собственно-случайный отбор может быть как повторным, так и бесповторным. При повторном отборе каждая единица или серия после регистрации возвращается в генеральную совокупность. При проведении бесповторного отбора раз отобранная единица в исходную совокупность не возвращаются и в дальнейшем отборе не участвуют. После проведения отбора для определения возможных границ генеральных характеристик рассчитываются средняя и предельная ошибка выборки.

Средняя ошибка повторной собственно-случайной выборки определяется по формулам:

для средней ,        для доли ,

где  − средняя ошибка средней;

 − выборочная дисперсия;

          – доля единиц, обладающих изучаемым признаком в выбороч-ной совокупности;

 − дисперсия доли, ;

 – доля единиц в выборке, не обладающих изучаемым признаком;

    − объём выборки.

Предельная ошибка выборки определяется по формулам:

для средней ; для доли .

На основе предельной ошибки и выборочной средней или доли определяются пределы отклонения генеральной средней (доли):

;

Например. Методом собственно случайной выборки обследована жирность молока у 100 коров (). По данным выборки, средняя жирность молока оказалась равной 3,64% (), а дисперсия составила 2,56 ().

Определить: а) среднюю ошибку выборки; б) с вероятностью, равной 0,954, предельные значения генеральной средней.

Решение: а) средняя ошибка средней ;

            б) предельная ошибка выборки .

По таблице значений  (Приложение Г) при .

Следовательно, предельные значения средней жирности молока в генеральной совокупности ;

;

.

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что пределы изменения средней жирности молока в генеральной совокупности будут находиться от 3,32% до 3,96%.

Можно решить и обратную задачу: задав предельную ошибку выборки, определить вероятность, с которой она может быть гарантирована. При этом, зная  и , сначала находят   коэффициент доверия

, а затем по таблице Приложения Г определяют искомое значение вероятности.

Например. На основе выборочного обследования 600 рабочих () одной из отраслей промышленности установлено, что численность женщин составляет 240 человек ().

С какой вероятностью можно утверждать, что при определении доли женщин, занятых в этой отрасли, допущенная ошибка () не превышает 5% (0,05)?

Решение: Определяем выборочную долю: . Чтобы найти вероятность допуска той или иной ошибки, из формулы , определяем показатель , связанный с вероятностью:

По таблице значений  (Приложение Г) для  находим, что , то есть с вероятностью 0,988 можно утверждать, что при определении доли женщин (0,4) в общем числе рабочих допущена ошибка не более 0,05 (5%).

При расчёте средней ошибки собственно-случайной бесповторной выборки необходимо учитывать поправку на бесповторность отбора:

для средней ;             для доли .

Чем больше объём выборки и доля обследованных единиц, тем меньше ошибка выборки.

Например. Если предложить, что данные, представленные в предыдущей задаче, являются результатом 5%-го бесповторного отбора, то есть объём генеральной совокупности    

                                              2 000 коров,

тогда средняя ошибка средней для бесповторного отбора

,

а предельная ошибка средней: .

Следовательно, пределы отклонения генеральной средней будут находиться: ;

         ;                 

             .

Средняя ошибка выборки для доли при собственно-случайном бесповторном отборе рассчитываем по формуле .

Если  обозначить  (дисперсия альтернативного признака), то

.

Например. На заводе электроламп из партии продукции в количестве 1 600 шт. взято на выборку 160 шт., из которых 4 шт. оказались бракованными. Определить с вероятностью 0,683 пределы, в которых будет находиться процент брака для всей партии продукции.

Решение: определим долю бракованной продукции выборки

, или 2,5%.

При вероятности  (Приложение Г).

Размер предельной ошибки

, или 1,1%

.

Доверительные интервалы для генеральной доли с вероятностью :

Механическая выборка применяется в случаях, когда генеральная совокупность каким-либо образом упорядочена, то есть имеется определённая последовательность в расположении единиц (табельные номера работников, списки избирателей, телефонные номера респондентов, номера домов и квартир и т.п.).

Для проведения механической выборки устанавливается пропорция отбора, которая определяется соотнесением объёмов выборочной и генеральной совокупностей. Так, если из совокупности в 500 000 единиц предлагается получить 2%-ю выборку, то есть отобрать 10 000 единиц, то пропорция отбора составит .

Отбор единиц осуществляется в соответствии с установленной пропорцией 1:50 (2%-я выборка) отбирается каждая 50-я единица, при пропорции 1:20 (5%-я выборка) – каждая 20-я единица, и т.д. Такой способ отбора удобен в том случае, если заранее известны границы генеральной совокупности.

Задачи

1.1. Средняя жилая площадь, приходящаяся на одного жителя, в выборке составила 19,6 м², а средняя ошибка выборки ─ 1,2 м². Определите пределы, в которых находится средняя жилая площадь в расчёте на одного жителя в генеральной совокупности (при вероятности 0,954).

 

1.2. Для определения скорости расчётов с кредиторами предприятий корпорации в коммерческом банке была проведена случайная выборка 100 платёжных документов, по которым средний срок начисления и получения денег оказался равным 22 дням со стандартным отклонением 6 дней. Необходимо с вероятностью 0,954 определить предельную ошибку выборочной средней, а также доверительные пределы средней продолжительности расчётов предприятий данной корпорации.

 

1.3. В туристских агентствах города с общим числом сотрудников 1 000 человек было проведено 5%-е выборочное обследование возраста сотрудников методом случайного бесповторного отбора. В результате обследования были получены следующие данные:

Возраст, лет	до 30	30 − 40	40 − 50	50 − 60	свыше 60
Число сотрудников	8	22	10	6	4

С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний возраст работающих в туристических агентствах.

 

1.4. Свободные места на авиалайнерах являются причиной потери дохода авиакомпаний. Предположим, авиакомпании требуется оценить среднее количество свободных пассажирских мест на рейс за последний год с вероятностью 0,997. Для этого из файла базы данных, содержащего   4 500 записей о рейсах, были отобраны случайным образом 225 и выяснено число свободных мест на этих рейсах. Среднее значение составило 11,6 мест, а стандартное отклонение 4,1 места.

1.5. По результатам выборочного обследования жилищных условий населения в городе доля людей, не обеспеченных жильём в соответствии с социальными нормами, составляет 30%, а средняя ошибка выборки − 2,5%. С вероятностью 0,997 определите, в каких пределах находится доля людей, не обеспеченных жильём в генеральной совокупности.

1.6. Из 5 тыс. человек, совершивших правонарушения в течение года, было обследовано методом механического отбора 500 правонарушителей. В результате обследования установлено, что 300 человек выросли в ненормальных семейных условиях. С вероятностью 0,997 определите долю правонарушителей, выросших в ненормальных семейных условиях.

1.7. По результатам выборочного обследования 10 000 семей региона по уровню душевого дохода (выборка 25%-я, механическая) малообеспеченных оказалось 400 семей. Требуется с вероятностью 0,997 определить предельную ошибку доли, а также долю малообеспеченных семей во всём регионе.

 

1.8. Для определения среднего срока пользования краткосрочным кредитом в банке была проведена 5%-я механическая выборка, в которую попали 200 счетов. По результатам выборки установлено, что средний срок пользования кредитом составляет 60 дней при среднеквадратическом отклонении 20 дней. В 8 счетах срок пользования кредитом превышал 6 месяцев. Необходимо с вероятностью 0,99 определить пределы, в которых находится срок пользования краткосрочными кредитами банка и доля краткосрочных кредитов со сроком пользования более полугода.

1.9. В результате выборочного обследования населения региона по проблемам занятости получено распределение тех, кто не имел работы и искал её, пребывая в статусе безработного

Число месяцев безработицы	0 − 3	3 − 6	6 − 9	9 − 12	12 и более
Число безработных	20	50	15	10	5

Требуется с вероятностью 0,95 определить: а) среднюю продолжительность пребывания в статусе безработного; б) долю лиц, являющихся безработными один год и более.

 

1.10. Дорасчёт валового внутреннего продукта провели с использованием распределения малых предприятий региона по объёму выпуска продукции (работ, услуг), полученного на основе 10%-ого выборочного наблюдения:

Группа предприятий по объёму выпуска продукции (работ, услуг), млн руб.	До 1,0	1,0 − 2,0	2,0 − 3,0	3,0 − 4,0	4,0 − 5,0	5,0 и более
Число предприятий	12	14	16	18	4	3

Определите: 1) в целом по региону с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать: а) средний объём производства продукции (работ, услуг) на одно предприятие: б) долю предприятий с объёмом производства продукции более 4,0 млн руб.; 2) общий объём выпуска продукции (работ, услуг) по региону.

 

1.11. Для изучения стоимости плазменных телевизоров была проведена 2%-я механическая выборка телевизоров одного размера разных производителей. Результаты предоставлены в таблице:

Стоимость телевизоров, долл.	Число образцов
До 960	2
960 − 980	7
980 − 1 000	24
1 000 − 1 020	40
1 020 − 1 040	20
Свыше 1 040	7

Определите: 1) с вероятностью 0,997 пределы, в которых можно ожидать среднюю стоимость всех телевизоров; 2) с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать долю телевизоров стоимостью свыше 220 долларов.

 

1.12. Партия роз 80 000 шт., поступивших из Голландии, была подвергнута выборке. Для этого было обследовано 800 роз, отбракованных при помощи механического способа отбора. Среди обследованных обнаружено 160 бракованных. Определите с вероятностью 0,997 возможный размер убытка от некачественной транспортировки, если цена приобретения розы 100 рублей.

 

1.13. На основе выборочного обследования 600 рабочих одной из отраслей промышленности установлено, что удельный вес численности женщин составил 40%. С какой вероятностью можно утверждать, что при определении доли женщин, занятых в этой отрасли, допущена ошибка, не превышающая 5%.

 

1.14. Какова вероятность того, что по данным 5%-й механической выборки 100 рабочих предельная ошибка средней заработной платы рабочего не превысит 250 руб., а предельная ошибка доли рабочих, получающих среднюю заработную плату свыше 45 000 руб. будет не более 3%? По предыдущим обследованиям известно, что дисперсия заработной платы составила 400, а доля рабочих, получающих заработную плату свыше 45 000 руб., 10%.

 

1.15. По данным выборочного обследования 64 переселенцев из бывших союзных республик удельный вес семей в составе 3 человек составил 20%. С вероятностью 0,954 определите ошибку выборки для доли выбывших семей в составе 3 чел. С какой вероятностью можно утверждать, что доля выбывших семей в составе 3 чел. не превышает 30%?

1.16. Методом собственно-случайной бесповторной 5%-й выборки было обследовано 150 студентов дневного отделения одного из высших учебных заведений. Доля студентов, совмещающих работу и учёбу, составила, по данным выборки, 30%. Определите вероятность того, что ошибка доли студентов дневного отделения этого учебного заведения, работающих в течение учебного года, не превысит 5%; 10%.

1.17. В сберегательных банках города методом случайной повторной выборки было отобрано 1 600 счетов вкладчиков. Средний размер остатков вклада по этим счетам составил 3,2 тыс.руб при коэффициенте вариации 30%. Какова вероятность того, что ошибка репрезентативности при определении среднего размера остатков вклада не превысит 0,05 тыс.руб.

1.18. По городской телефонной сети в порядке случайной выборки (механический) отбор произвели 100 наблюдений и установили среднюю продолжительность одного телефонного разговора 5 мин, при среднем квадратическом отклонении 2 мин. Какова вероятность того, что ошибка репрезентативности при определении средней продолжительности телефонного разговора не превысит 18 секунд?