Теория Холла – Шокли – Рида.

 

Из предыдущих параграфов следует, что ни излучательная, ни безизлучательная межзонная (фононная, ударная) рекомбинация не относятся к числу универсальных и "слишком вероятных" рекомбинационных процессов. Так что же, это значит, что t неравновесных носителей заряда в общем случае велико?

Оказывается, что в реальных полупроводниках, содержащих примеси и дефекты, образующие уровни в запрещенной зоне, электрон, прежде чем рекомбинировать с дыркой, может захватываться некоторым локальным уровнем, а уже затем переходит в валентную зону и рекомбинирует с дыркой, т.е. идет рекомбинация через локальные уровни или рекомбинационные ловушки. Эта рекомбинация и играет часто доминирующую роль. Этот вид рекомбинации был проанализирован Холлом, Шокли и Ридом и созданная ими теория получила название статистики рекомбинации Х.-Ш.-Р.

Пусть уровень рекомбинационной примеси E_t лежит вблизи E_i и для определенности выше E_i, а концентрация ловушек равна N_t (рис.)

 

 

 

В полупроводник n -типа нейтральная ловушка (обычно в состоянии термодинамического равновесия рекомбинационные ловушки нейтральные) захватывает электроны (переход 1) из зоны проводимости, а затем он с E _t переходит в валентную зону, что равносильно захвату дырки отрицательно заряженной ловушкой (2).

Причем вероятность первого перехода существенно выше, чем второго (из-за большой концентрации электронов), т.е. ловушки практически все время заполнены электронами и "ждут" дырку. При малой концентрации свободных дырок переходы 2 становятся еще меньше вероятными и возможен заброс электронов обратно в зону проводимости (переход3). Если полупроводник р -типа, то ловушки почти все время "пустые", т.е. заполнены дырками (переход 4) и "ждут" электроны (5).

Рассмотрим теорию Х.-Ш.-Р. Выведем формулы для времени жизни пары электрон-дырка при рекомбинации через ловушки.

Пусть f _t = f (E _t) вероятность заполнения ловушки электроном, тогда 1- f_t - вероятность того, что ловушка свободна (на ней нет электрона). Тогда вероятность захвата электронов будет пропорциональна n и числу свободных мест на ловушках n_t (1- f_t):

 

                                                    (1)

g _n  - коэффициент захвата неравновесных электронов ловушками.

 Количество электронов возвращающихся в зону проводимости (З переходы) пропорционально концентрации электронов на ловушках.

 

                                                     (2)

 

b _n - коэффициент ионизации ловушек для электронов.

Изменение концентрации неравновесных электронов в зоне проводимости в результате процессов захвата ловушками и освобождения их из ловушек в зоне проводимости:

 

                     (3)

 

В состоянии термодинамического равновесия вероятность заполнения уровня ловушки электроном:

 

                                       (4)

 

Мы уже говорили, что неравновесные носители заряда большую часть своего времени жизни  физически неотличимы от равновесных (если только в неравновесном состоянии не наступает вырождение).

Поэтому считаем, что равновесные и неравновесные носители заряда характеризуются одинаковыми g _n и b _n. Учитывая, что в равновесии  из (3) с учетом (4) найдем:

 

                (5)

 

где   (6) равновесная концентрация электронов в зону проводимости - когда E_F = E _t

Тогда (3) с учетом (5):

 

                                      (7)

 

Скорость изменения концентрации н. дырок в валентной зоне

 

                               (8)

 

g _p и b _p - коэффициенты захвата и ионизации для дырок.

В условиях равновесия  и

 

где                                                          (9)

 

(9) – равновесная концентрация дырок в валентной зоне, когда E_F = E _t

Тогда (8)запишется:

 

                                  (10)

 

Если концентрация ловушек мала по сравнению с концентрацией избыточных электронов (N_t << D n), так, что количеством электронов, осаждающих на ловушках в каждый момент времени можно пренебречь и считать, что D n = D p, то [подробнее вывод в Шалимовой]:

 

 и из (7) и (10):

 

                                       (11)

 

Подставляя (11) в (7) или (10) получим

 

                                   (12)

 

Поскольку n ₁ p ₁ = n _o p _o = n _i² и n = n _o + D n, p = p _o + D p получаем из (12)

 

 

             (13)

 

Если обозначить                                         (14)

 

то                                   (15)

 

(15) – время жизни пары электрон-дырка при рекомбинации через ловушки.

При низком уровне возбуждения D n << n _o + p _o

                                      (16)

время жизни не зависит от D n, D p, а определяется равновесными концентрациями n _o и p _o и положением E_t (задает n ₁ и p ₁).

Рассмотрим зависимость t (ln t) от положения уровня Ферми (т.е. от n _o и p _o, ln n _o и p _o). В этой зависимости можно выделить 4 области:

1) E _t < E_F < E _c(сильно легированный полупроводник n -типа); в этом случае

n _o >> p _o, n _o >> n ₁ , n _o >> p ₁

 

                                                       (17)

 

т.е. в сильно легированном полупроводник n -типа t пары неравновесных электронов и дырок постоянна и равна t _po, т.е. определяется временем жизни неосновных равновесных носителей заряда – дырок (t _po - время жизни дырки перед захватом ее ловушкой). Т.е. скорость рекомбинации определяется числом актов захвата дырок ловушками, занятыми электронами (в единицу времени).

Выражение (17) можно записать несколько иначе. Известно, что вероятность захвата носителя заряда в единицу времени некоторым центром захвата пропорциональна эффективному сечению захвата, тепловой скорости и концентрации центров захвата:

 

В то же время t = 1/ W и тогда (17)

 

                                          (18)

 

- вероятность захвата р 1 центром за 1 секунду.

Итак, _{p o} (время жизни дырки в электронном полупроводник) уменьшается с ростом N _t и ростом Т, т.к.  увеличивается с ростом Т.

 

 

2) E _i < E_F < E _t : n _o >> p _o; n _o >> p ₁; n _o < n ₁ тогда

 

                                (19)

 

Т.е. по мере снижения уровня Ферми.  увеличивается по ехр закону (в этой области).

3) E _v + E _t < E_F  < E _i   p _o >> n _o; p _o >> p ₁; n ₁ > p _o

 

   (20)

 

т.е для акцепторного полупроводника по мере увеличения степени легирования (понижение E_F от E _i до E _v + D E _t)  уменьшается по ехр закону.

 

4) E _v < E_F < E _v + D E _t; p _o >> n _o; p _o >> p ₁; p _o > n ₁

 

       (21)

 

где S_n  и  - эффективное сечение захвата и тепловая скорость электрона собственно.

Т.о. в сильно легированном р -полупроводник  пары эктрон-дырка постоянно и равно d _no - времени жизни не основных носителей заряда и не зависит от E_F.

В случае, если E _t лежит ниже E _i, то для четвертой области  = _{n o}, E _v < E_F < E _t

для 3)  = _{n o} (p ₁/ p _o), E _t < E_F < E _i

для 2)  = _{n o} (p ₁/ n _o), E _i < E_F < E _c - D E _t

для 1)  = _{p o} , E _c - D E _t < E_F < E _c

Для сильного возбуждения D n >> n _o; D p >> p _o; D n >> n ₁, D p >> p ₁

Тогда из (13):

 

                              (22)

 

(22)- не зависит от n и р, а определяется лишь количеством и свойствами ловушек.

 

 

 

§6. Зависимость t (Т) при рекомбинации через ловушки.

 

На участке 1' n _o >> n ₁; n _o >> p _o; n _o >> p ₁, а на участке 1 хотя n _o не меняется, а возрастает с возрастанием Т по ехр, но все равно n _o >> n ₁ и также; n _o >> p _o; n _o >> p ₁.

Поэтому в области 1'-1  = _{p o}(1)- єто если

На участке 2 n _o = const = n _a, по n, сильно возрастает, так, что n _o>> p _o; n _o>> p ₁; n _o< n ₁ и тогда

A обл.вымораж.

  (2)

 

т.е.  возрастает с ростом Т. Рост  в этой области происходит потому, что с ростом Т имеет место интенсивная эмиссия электронов с уровня рекомбинационных ловушек назад в зону проводимости.

В области собственной проводимости В (участки 3 и 4) с ростом Т хотя E_F почти не меняется, но n _o и p _o в зонах резко увеличивается, поэтому рост заполнения ловушек носителями заряда и  уменьшается (т.е. растет вероятность рекомбинации на ловушках). В этой области

 

 

и (16) записывается так:

 

 

              (3)

 

(3) справедливо в общем случае для обоих участков 3 и 4. Если E _t расположен достаточно далеко от E _i, то в начальной области В можно выделить участок, для которого

тогда(3) приобретает вид:

                                             (4)

 

(4) соответствует участку (3) на кривой ln   (1/ T), где  уменьшается. C дальнейшим ростом Т, когда в области В (3) будет:

и если N _c» N _v, то

                                                (5)

 

(5) справедливо для участка 4 и соответствует (22) §5 для случая высокого возбуждения.

Зная концентрацию электронов при насыщении, можно оценить величину E _t по температуре перехода T _п оси области 1 к области 2.

При T = T _п, E_F = E_t и тогда

 

                                                (6)

 

Экстраполируя прямую область 2 до пересечения с осью y определяем из (2) §6 ln ( _po N_c / n_o), а зная _{p o} из участка 1 находим ln (N_c / n_o) и из (6) определяем

E _c - E _t.

 

§7. Ловушки захвата (центры прилипания) и центры рекомбинации. Демаркационные уровни.

 

Выводя выражение для t при рекомбинации через локальные уровни мы учитывали захват электронов и дырок ловушками и обратный процесс, т.е. тепловой заброс захваченных электронов и дырок с ловушек в зону проводимости и валентную зону при этом, естественно, тепловой заброс с ловушки назад в разрешенную зону приводит к росту  и снижению скорости рекомбинации. Ясно, что соотношение интенсивностей процесса захвата (и последующей рекомбинации) и обратного теплового заброса зависит от положения энергетического уровня ловушек: чем ближе уровень ловушки к краю соответствующей зоны (к E _c для электронов и к E _v для дырок), тем выше вероятность тепловой ионизации. Такие ловушки называются центрами прилипания (соответственно электронов и дырок).

 

У рекомбинационных ловушек, которые осуществляют захват электронов и дырок, в результате чего происходит их рекомбинация, тепловой заброс н.з. в соответствующей зоны маловероятен, поэтому рекомбинационные ловушки должны характеризоваться энергетическими уровнями, расположенными достаточно глубоко в запрещенной зоне.

Количественно охарактеризовать соотношение процессов захвата (прилипания) и рекомбинации можно, введя коэффициент К, равный отношению вероятности рекомбинации на этом центре к вероятности теплового заброса. Для электронов зоны проводимости это отношение вероятности захвата дырки отрицательно заряженной ловушкой (т.е. уходу электрона с ловушки в валентную зону – рекомбинации) к вероятности теплового заброса электрона в зону проводимости.

Из выражений (8) и (7) §5 эти вероятности равны соответственно g _з N_tf_tp и g _з n_tf_tn ₁

Тогда

 

 

Ловушки, для которых k_n > 1 являются рекомбинационными, а ловушки с k_n < 1 являются ловушками захвата или прилипания (для электронов). Если k_n =1, то этот уровень называется демаркационным. Его положение можно определить из условия:

 

 

при E_t = E _{d n}

 

                              (2)

 

С ростом Т E_dn сдвигается к середине E _g и рекомбинационные ловушки превращаются в центры прилипания. С ростом уровня возбуждения (E_F^p – E_g) снижается и E _{d n} приближается к E _c и будет переход центров прилипания в рекомбинационные центры.

Для уровней вблизи E _v:

 

 

                                   (3)

 

Такая классификация ловушек, конечно, весьма условная, хотя бы потому, что считалось g _n / g _p = const при перемещении E_t, что в общем случае неверно. Центры прилипания могут давать вклад в рекомбинацию, особенно если отсутствуют глубокие Е_t.