Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2022-09-12 | 35 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
С точки зрения адекватности физической природы явлений различают 2 вида подобия: физическое и математическое, которые могут быть полным и неполным.
Физическое подобие достигается при одинаковой физической природе подобных явлений.
Частные виды физического подобия:
1. Кинематическое подобие (при котором существует подобие скоростей и ускорений)
2. Материальное подобие предполагающее подобие масс элементов системы
3. Динамическое подобие при котором подобны силы, вызывающие подобные движения.
Математическое подобие требует соответствия сходственных параметров сравниваемых процессов различной физической природы.
Например: математически подобны два уравнения описывающие физически разнородные процессы:
1. уравнение переходного процесса в электрической цепи, образованной последовательным соединением элементов с активным сопротивлением R, индуктивностью L, емкостью C, которая включается на напряжение U, изменяющееся во времени t, с угловой скоростью w:
,
где q —заряд на конденсаторе емкостью С.
2. Уравнение процесса вынужденных механических колебаний в вязкой среде закрепленного на пружине жесткостью с груза массой М, на который действует возмущающая сила и пропорциональная скорости движения груза v сила сопротивления вязкой среды .
,
где l – расстояние на которое перемещается груз.
Эл. контур Пружина
Сходственными параметрами в данном случае будут L и М; R и ; C и c; q и l; U и F, а электрический колебательный контур может служить аналоговой моделью объекта (оригинала – колеблющегося на пружине груза).
Наблюдаемый процесс в колебательном контуре будет одновременно являться и решением дифференциального уравнения, описывающего движение груза.
|
Теоремы подобия
Основные положения теории подобия определяют свойства подобных объектов и указывают требования, при удовлетворении которых один из объектов может рассматриваться как модель (или оригинал) по отношению к остальным.
Основной характеристикой подобных объектов являются критерии подобия, с помощью которых устанавливается соответствие модели и оригинала.
Подобные объекты (процессы) должны иметь одинаковые критерии подобия, устанавливаемые непосредственно из математического описания путем приведения его к безразмерному виду.
Теоремы подобия рассматривают необходимые и достаточные условия существования подобия, которые на ряду с требованием равенства критериев подобия включают в себя требования подобия начальных и граничных условий сопоставляемых процессов.
Положения о необходимых и достаточных условиях подобия систематизируются в виде первой, второй и третьей теорем подобия.
Первые две теоремы определяют необходимые, третья достаточные и необходимые условие подобия.
Первая теорема подобия
Эта теорема устанавливает связи между параметрами подобных процессов, и формулируются следующим образом: если процессы подобны, то критерия подобия этих процессов соответственно равны.
Определим критерии подобия по уравнениям исследуемых процессов, когда все члены уравнений являются однородными функциями параметров и их производных.
Однородными называются функции, все члены уравнений которых имеют одинаковую размерность и общий множитель, который может быть вынесен в определенной степени за знак функциональной зависимости.
Рассмотрим преобразование уравнения переходного процесса i (t) в цепи, образованной последовательным соединением сопротивления R и индуктивности L, которая включается на постоянное напряжение U.
|
Пусть имеются уравнения двух подобных процессов являющихся функциями параметров: Р 1, …, Р j, …, Р n и R 1, …, Rj, …, Rn.
, (1)
где ; – члены уравнений для .
Для рассматриваемого примера уравнения двух переходных процессов – это дифференциальные уравнения вида:
, (2)
где
Сопоставляемые процессы подобны, поэтому между их сходственными параметрами должны существовать соотношения пропорциональности
(3)
или для примера
, (4)
где m 1,…, mn или m R, m L, m U, mi, mt – масштабные коэффициенты.
В соответствии с первой теоремой подобия для подобных процессов ( 0 и Ф0) все члены уравнений которых являются однородными функциями, должны существовать одинаковые критерии подобия. Их можно найти, если привести исходные уравнения (1) к безразмерному виду путем деления на любой, например m -й член (на m и Ф m).
(5)
для нашего примера разделим на 1 и Ф1:
(6)
Вследствие однородности уравнений в выражениях i и Ф i должны существовать общие множители, которые можно вынести за знак функции:
.
Общий множитель для i -го члена i исходного уравнения (1) есть комбинация масштабных коэффициентов m 1,…, mn т. е., согласно зависимости (3) получится:
. (7)
или для нашего примера из (2) в (4):
(8)
Подстановка (7) в (5) дает (смотрим по ):
или для примера подставляем (8) в (6) (смотрим по ):
(9)
Т. к. эти уравнения представляют собой сумму однородных функций, то должен существовать общий для всех его членов множитель М m т. е.
или разделив на М m,
.
Это значит, что из (9)
. (10)
Физический смысл полученного результата заключается в том, что как исходное (2), так и преобразованное (9) выражения описывают процесс j0, т. е. переходный процесс i 1(t 1).
Подобие процессов j0 и Ф0 означает, что они различаясь лишь масштабами, должны описываться одинаковыми математическими уравнениями. Следовательно выражение (9) будет описывать также и Ф0 – т. е. переходный процесс i 2 (t 2) в том случае, если будут равны единицы комбинаций масштабных коэффициентов (при втором и третьем членах).
|
Т. о. между соответственными членами j0 и Ф0 существуют соотношения
.
idem означает – соответственно одинаково для всех рассматриваемых процессов.
Применительно к рассматриваемому примеру из (2) делим на 1-й член уравнения:
Соотношения пропорциональности справедливы и для малых интервалов и , так как операция дифференцирования не влияет на размерности соответствующих параметров, т. е.
,
поэтому при рассмотрении условий пропорциональности процессов и символы дифференцирования можно опустить, записав:
,
где – аналог .
Такой же результат получается, если воспользоваться масштабными соотношениями (10), заменяя масштабные коэффициенты отношениями сходственных параметров (см. также из (4))
и .
Правило: если в членах исходных уравнений содержатся символы дифференцирования и интегрирования, то при рассмотрении условий пропорциональности их можно опустить, заменив соответствующие члены уравнений их аналогами , которые называются интегральными аналогами, то есть:
заменить на и на y x.
Важным практическим свойством критериев является возможность их преобразования в критерии подобия иной формы записи посредством перемножения или деления, возведения в степень или умножения на любой постоянный коэффициент k.
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!