![](/img/CyberPedia.jpg)
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
![]() |
![]() |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Понятие вектора в пространстве.
П1. Основные понятия.
Опр. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом, называется вектором. Пишут (рис. 1).
Зам. Направление вектора на рисунках изображается стрелкой.
Зам. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор, начало и конец которого совпадают.
Опр. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Нулевой вектор направления не имеет. Пишут (рис. 1).
Зам. Векторы могут обозначаться одной маленькой буквой (рис. 2).
Опр. Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка
. Пишут
. Длина нулевого вектора равна нулю
.
Опр. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Пишут .
Опр. Два коллинеарных вектора называются сонаправленными , если их направления совпадают и противоположно направленными
, если их направления не совпадают. Нулевой вектор считается сонаправленным любому вектору.
Например, В параллелепипеде, изображенном на рисунке 3: ,
,
,
,
,
и
не коллинеарны.
П2. Равенство векторов.
Опр. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Например, на рис. 3: а) , так как
и
, б)
, так как
, в)
, так как
, но
.
Утв1. От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
П3. Сложение и вычитание векторов.
Правило треугольника. Чтобы найти сумму двух векторов
и
нужно от произвольной точки
отложить вектор
, а затем от точки
отложить вектор
, тогда вектор
(рис. 4).
Это правило можно сформулировать короче: для любых трёх точек ,
,
имеет место равенство.
.
Аналогично вводится правило суммы нескольких векторов.
|
Свойства суммы векторов. Для любых векторов справедливы равенства:
1) (коммутативность сложения, переместительный закон),
2) (ассоциативность сложения, сочетательный закон).
Опр. Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены. Очевидно, вектор является противоположным вектору
, то есть
.
Опр. Разностью векторов и
называется вектор, равный сумме вектора
и вектора
, противоположного вектору
, то есть
.
Например, .
Метод координат в пространстве.
П2. Координаты вектора.
Зададим в пространстве прямоугольную декартову систему координат
. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор (вектор длины один):
,
,
. Данные вектора называются координатными векторами. Очевидно, что координатные вектора не компланарны. Значит, по теореме §1, любой вектора
можно разложить по данным трём векторам, то есть представить в виде
, причем коэффициенты разложения
,
,
определяются единственны образом и называются координатами вектора
в данной системе координат. Пишут
.
Например, в прямоугольном параллелепипеде (рис. 4), у которого ,
,
выполняется
,
,
,
,
,
,
,
.
Свойства операций над векторами. Пусть ,
– произвольные вектора,
,
– произвольные точки,
- середина отрезка
,
– произвольное число, тогда:
1) вектора и
равны тогда и только тогда, когда
,
,
;
2) каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов: ;
3) каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов: ;
4) каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число: ;
5) каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала: ;
6) каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов ;
7) длина вектора может быть вычислена по формуле
; следовательно, длина вектора
.
|
Понятие вектора в пространстве.
П1. Основные понятия.
Опр. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом, называется вектором. Пишут (рис. 1).
Зам. Направление вектора на рисунках изображается стрелкой.
Зам. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор, начало и конец которого совпадают.
Опр. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Нулевой вектор направления не имеет. Пишут (рис. 1).
Зам. Векторы могут обозначаться одной маленькой буквой (рис. 2).
Опр. Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка
. Пишут
. Длина нулевого вектора равна нулю
.
Опр. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Пишут .
Опр. Два коллинеарных вектора называются сонаправленными , если их направления совпадают и противоположно направленными
, если их направления не совпадают. Нулевой вектор считается сонаправленным любому вектору.
Например, В параллелепипеде, изображенном на рисунке 3: ,
,
,
,
,
и
не коллинеарны.
П2. Равенство векторов.
Опр. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Например, на рис. 3: а) , так как
и
, б)
, так как
, в)
, так как
, но
.
Утв1. От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!