Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-05-20 | 450 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
(5.2)
Можно записать лагранжевы коэффициенты и более компактно: , (5.3)
где .
Формула Лагранжа при этом имеет вид .
Для вычисления лагранжевых коэффициентов может быть использована приведенная ниже схема. Сначала располагаем в таблицу разности
Таблица 5.3.
Таблица разностей
Обозначим произведение элементов первой строки через D0, второй – D1 и т.д. Произведение же элементов главной диагонали, очевидно, будет . Отсюда следует, что
.Следовательно,
.
Пример 5.3 Выполнено в Mathcad
Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лангранжа, если функция задана в неравно- отстоящих узлах таблицы.
Рис 5.2. Решения примера 5.3 в Mathcad
Отметим, что форма лагранжевых коэффициентов инвариантна относительно целой линейной подстановки (a,b – постоянны). Действительно, положив в формуле (5.2):
, , ,
после подстановки и сокращения числителя и знаменателя на an, получим:
или
,
где , что и требовалось доказать.
В случае равноотстоящих точек лагранжевы коэффициенты могут быть приведены к более простому виду.
В самом деле, полагая , будем иметь: . Отсюда
и
.
Тогда ,
где . Отсюда можно записать:
(5.4)
где
Пример 5.4 Выполно в Mathcad.
Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в равноотстоящих узлах таблицы
Рис 5.3. Решения примера 5.4 в Mathcad
Схема Эйткина
Пусть требуется найти не общее выражение , а лишь его значения при конкретных x. При этом, значения функции даны в достаточно большом количестве узлов, тогда удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткина. Согласно этой схеме последовательно вычисляются многочлены:
|
.
Интерполяционный многочлен степени «n», принимающий в точках xi значения , запишется следующим образом:
.
Вычисления по схеме Эйткина удобно расположить в такой таблице:
Таблица 5.4.
Вычисления по схеме Эйткина
… | ||||||
… |
Вычисления по схеме Эйткина обычно ведут до тех пор, пока последовательные многочлены и в таблице 5.4 не совпадут в пределах заданной точности.
Пример 5.5 Функция задана таблицей
1.0 | 1.000 |
1.1 | 1.032 |
1.3 | 1.091 |
1.5 | 1.145 |
1.6 | 1.170 |
Применяя схему Эйткина, найти Составим таблицу 5.4 для примера:
1.0 | 1.000 | -0.15 | ||
1.1 | 1.032 | -0.05 | 1.048 | |
1.3 | 1.091 | 0.15 | 1.047 | 1.048 |
1.5 | 1.145 | 0.35 | 1.050 | |
1.6 | 1.170 | 0.45 | 1.057 |
Значения и совпадают до третьего знака. На этом вычисления можно прекратить и с точностью до 0.001 записать =1.048
Остаточный член формулы Лагранжа
Остаточный член равен: .
Для него справедлива следующая оценка:
,
где на отрезке .
Обратное интерполирование
Пусть функция y = f(x) задана таблицей.
В задаче обратного интерполирования заключается в том, чтобы по заданному значению функции y определить соответствующее значение аргумента x. Мы будем считать, что в рассматриваемом интервале функция f(x) монотонна, так что поставленная задача имеет единственное решение. В этом случае задача решается с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа. Для этого достаточно принять переменную y за независимую, а x считать функцией от y. Запишем по заданным узлам (yi, xi) (i = 0,1, …, n) многочлен Лагранжа
и определим x по заданному y. Остаточный член в этом случае можно получить из остаточного члена формулы Лагранжа, меняя местами x и y.
Пример 5.6. Функция y = f(x) задана таблицей
|
x | ||||
y |
Найти значение x, для которого y=10.
Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид
где лагранжевы коэффициенты.
При y=10 получаем
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!