Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-05-20 | 377 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть и - два последовательных приближения системы (3.2). Тогда для приближения справедлива оценка
:,
если выполнено первое условие теоремы 3.1, или
,
если выполнено второе условие теоремы 3.1. Процесс итерации заканчивают, когда указанные оценки свидетельствуют о достижении заданной точности ε.
или
3.1.2. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации:
Сходимость накладывает жесткие условия на коэффициенты данной линейной системы . Однако, если , то с помощью линейного комбинирования уравнений системы, последнюю всегда можно заменить эквивалентной системой , такой, что условия сходимости будут выполнены. Умножим уравнение (3.1) на матрицу , где - матрица с малыми по модулю, одинаковыми элементами. Тогда будем иметь:
или , где и .
Все элементы матрицы ε выбираем одинаковыми из условия . Это обеспечивает выполнение достаточного условия сходимости метода.
Пример 3.1 Решить систему методом итераций в Mathcad с тремя верными цифрами после запятой
Точность вычислений
Решение исходной системы матричным методом
Линейными преобразованиями добиваемся диагонального преобладания.
2*I+II II+2*III II-3III |
Преобразуем к виду, удобному для итераций.
q-это норма матрицы «с»
В качестве начального приближения возьмем столбец свободных членов, сделаем 6 приближений, вектор разностей между соседними приближениями обозначим z. Результаты поместим в матрицу x.
Ответ: |
Рис. 3.1.Решение примера 3.1 в Mathcad
|
Метод Зейделя
Метод Зейделя является модификацией метода итерации. Он заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестного при i>1 используют уже вычисленные ранее (k+1)-е приближения неизвестных
Пусть дана приведенная линейная система
Выберем произвольно начальные приближения корней ,
Далее, предполагая, что k-е приближения корней известны, согласно Зейделю будем строить (k+1)-е приближения корней по следующим формулам:
Процесс повторяется до тех пор, пока разница между двумя соседними приближениями не будет меньше необходимой точности.
Условия сходимости те же, что и для метода итераций.
Пример 3.2. Пусть дана линейная система и приближенные корни системы:
и .
Приведем систему к виду, удобному для итераций
поэтому метод сходится
Взяв в качестве начальных приближений: , получим:
при k=1
при k = 2
Найдем разность по модулю между соседними приближениями:
| - | = 0,00048
| - | = 0,00047
| - | = 0,00016
Так как для приведенной системы выполняется условие сходимости при ,то полученное приближение имеет погрешность, не превышающую 0,0005.
Таким образом, в качестве решения можем принять .
Метод релаксаций
Пусть дана система: (3.1)
Преобразуем эту систему следующим образом: перенесем свободные члены налево и разделим первое уравнение на , второе – на и т.д. Тогда получим систему, приготовленную к релаксации: , где и .
Пусть - начальное приближение решения системы. Подставляя эти значения в систему, получим в правых частях уравнений системы некоторые числовые значения. Будем называть их невязками. Невязки обращаются в нуль при подстановке корней в уравнения системы
.
Если одной из неизвестных дать приращение , то соответствующая невязка уменьшится на величину , а все остальные невязки увеличатся на величину . Таким образом, чтобы обратить очередную невязку в нуль, достаточно величине дать приращение и мы будем иметь и
|
Суть метода заключается в том, чтобы на каждом шаге обращать в нуль максимальную по модулю невязку, изменяя значения соответствующей компоненты приближения. Процесс заканчивается, когда все невязки преобразованной системы будут равны нулю с заданной степенью точности.
Пример3.1: Пусть дана линейная система. Решить с точностью 0.01.
.
Приведем систему к виду, удобному для релаксации:
.
Выбирая в качестве начальных приближений корней нулевые значения , находим , , .
Согласно общей теории полагаем: . Отсюда получаем невязки
Далее полагаем
Суммируя все приращения получим значения корней:
Удобно располагать вычисления в таблице:
x1 | R1 | x2 | R2 | x3 | R3 |
0.93 | .60 0.16 | 0.86 | 0.70 0.16 | 0,80 0.18 | 0.80 -0.80 |
0.76 0.17 | 0.86 -0.86 | 0.09 | |||
0.93 -0.93 | 0.13 | 0.09 | 0.09 0.09 | ||
0.07 | 0.04 | 0.09 0.04 | 0.18 -0.18 | ||
0.04 0.03 | 0.13 -0.13 | 0.02 | 0.01 | ||
0.07 -0.07 | 0.01 | 0.01 | 0.01 0.01 | ||
0.01 | 0.02 -0.02 | ||||
0.01 -0.01 | |||||
1.00 | 1.00 | 1.00 |
Ответ:
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!