История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2017-05-20 | 293 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Пусть дана система двух уравнений с двумя неизвестными:
и требуется найти действительные корни системы с заданной степенью точности.
Предположим, что система допускает лишь изолированные корни. Число этих корней и их приближенные значения можно установить, построив кривые , и определив координаты их точек пересечения.
Для применения метода итераций система приводится к виду:
Функции и называются итерирующими. Алгоритм решения задается формулами
,
где и - некоторое начальное приближение.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 4.1 Пусть в некоторой замкнутой окрестности имеется одно и только одно решение системы. Если:
1. функции и определены и непрерывно дифференцируемы в R,
2. начальные приближения , и все последующие приближения, xn,yn для n=1,2 … принадлежат R,
3. в R выполнены неравенства
,
то процесс последовательных приближений сходится к решению системы, т.е.
.
Эта теорема останется верной, если условие 3 заменить условием
Оценка погрешности n -го приближения дается неравенством
, (4.2)
где M – наибольшее из чисел , входящих в неравенства. Сходимость метода итераций считается хорошей, если , при этом .
Пример 4.3 Решить нелинейную систему уравнений методом итераций в Mathcad с точностью 0,005 Пусть дана система |
Выразим из первого уравнения х, а из второго у и перепишем данную систему в виде: |
Отделение корней произведем графически. Построим функции и на одном графике. Они имеют одну точку пересечения в области
D(0 < x < 0.25; -1.9 < y < -2.2). Выберем за начальное приближение для метода итераций x0 = 0.25, y0 = -1.9
Проверим условие сходимости теоремы в области D(а < x < b; c < y < d) |
Считать будем до тех пор, пока не достигнем нужной точности |
В данном случае метод итераций сходится достаточно медленно, так как значение М близко к единице Ответ: x=0.151 y=-2.034 |
Рис.4.3. Решение примера 4.3 в Mathcad
Распространение метода итераций на системы из n уравнений с n неизвестными
Пусть дана система нелинейных уравнений специального вида:
где функции действительны и определены и непрерывны в некоторой окрестности изолированного решения этой системы, или в более компактной записи:
,
где , а .
Для нахождения вектора-корня иногда можно использовать метод итерации
.
Если система уравнений задана в общем виде ,
где - вектор-функция, определенная и непрерывная в окрестности изолированного вектора-корня , то ее записывают в эквивалентном виде
, (4.3)
где - итерирующая вектор-функция, которую ищут в виде
.
Матрица L выбирается так (см. выше). Предполагается, что матрица неособенная.
Подставив в (4.3), получим итерационную формулу
.
Глава 5. Интерполяция
Вычисление значений функции y=f(x) – задача, с которой постоянно приходится сталкиваться на практике. В силу различных причин вычисление f(x) часто бывает затруднительно, например функция задана таблично, а вычисление необходимо проводить в точках не совпадающих с табличными. Вычисление f(x) может быть громоздким, требовать много операций. В таких условиях целесообразно заменить f(x) некоторой близкой к ней функцией g(x), которая вычисляется быстро и надежно, а погрешность приближения f(x)-g(x) достаточно мала. Требование совпадения функции g(x) с функцией f(x) в некоторых фиксированных точках приводит к задаче интерполяции.
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!