Раздел 20.1. Понятие случайной величины.

С момента возникновения теории вероятностей ее основной задачей было изучение не вероятностных свойств экспериментов со случайными исходами, а связанных с этими экспериментами числовых величин, которые естественно назвать случайными величинами. Например, мы можем интересоваться не парами чисел на верхних гранях кубиков, а их суммой; числом успехов или числом неудач до первого успеха в схеме Бернулли.

Для того чтобы лучше осознать связь, существующую между случайными величинами и случайными событиями, начнем с пояснения понятия случайной величины. Случайной величиной естественно называть числовую величину, значение которой зависит от того, какой именно элементарный исход произошел в результате эксперимента со случайным исходом. Множество всех значений, которые случайная величина может принимать, называют множеством возможных значений этой случайной величины.

Следовательно, для задания случайной величины необходимо каждому элементарному исходу поставить в соответствие число — значение, которое примет случайная величина, если в результате испытания произойдет именно этот исход.

 

Часто в литературе можно встретить вариации на тему следующего определения: Случайной величиной называют переменную величину, которая в зависимости от исходов испытания принимает значения, зависящие от случая.

 

Таким образом, случайная величина – это числовая величина, значение которой зависит от того, какой именно (элементарный) исход произошел в результате эксперимента со случайным исходом. Множество всех значений, которые случайная величина может принимать, называют множеством возможных значений этой случайной величины.

Примеры 20.1.1

1) В опыте с однократным бросанием кубика: случайная величина принимает значения, равные числу, выпавшим на верхней грани (множество целых чисел то 1 до 6 для обычного кубика)

2) В опыте с однократным подбрасыванием двух кубиков: пространство элементарных событий – множество из 36 пар от (1,1) до (6,6), случайная величина каждой такой паре ставит в соответствие сумму ее составляющих. таким образом, эта случайная величина принимает множество (целых) значений от 2 до 12

Мы приведем более строгое определение, поскольку понятие случайной величины является одним из тех ключевых понятий, которые связывают теорию вероятностей с математическим анализом и составляют понятийную основу математической статистики.

 

Определение 20.1.1. Случайной величиной называется функция Х = Х(ω), определенная на пространстве элементарных событий Ω, для которых событие {Х < х} = {ω: Х(ω) < х} принадлежит σ-алгебре событий A для любого вещественного х.

Условие {Х < х} є A дает возможность рассматривать вероятности событий {Х < х}, поскольку вероятности определены только на множествах из А. Кроме того, через события {Х < х}, х є (-∞, ∞) с помощью известных операций над событиями можно выразить сколь угодно сложное событие, связанное со случайной величиной Х. Такое событие также будет принадлежать σ-алгебре событий A и, следовательно, для него определена вероятность.

Замечание 20.1.1. Таким образом, случайная величина – это функция, областью определения которой является пространство элементарных событий Ω, а множеством значений – числовое множество, возможно, все множество действительных чисел R.

σ-алгебра событий A – это область определения вероятности, если рассматривать ее как функцию.

 

Замечание 20.1.2.. «Термин «случайная величина» несколько неточен, более подходящим был бы термин «Функция случая», независимой переменной является точка в пространстве элементарных событий, т.е. исход эксперимента или случай». (В.Феллер «Введение в теорию вероятностей», гл. IX)

Случайные величины обозначаются буквами греческого алфавита: x (кси), h (эта), ¼ или заглавными буквами латинского алфавита X, Y, … Значения случайной величины будем записывать в виде конечной или бесконечной последовательности x ₁, x ₂,¼, x_n,¼; y₁, y₂,¼, y _n,¼

 

Замечание 20.1.2.. Ранее мы ввели понятие вероятности применительно к некоторым событиям. Теперь мы переходим к разговору о функциях. Самое очевидное событие, которое можно связать с понятием функции – это принятие ею некоторого значения (конкретного или принадлежащего промежутку)

 

Для исследования вероятностных свойств случайной величины необходимо знать правило, позволяющее находить вероятность того, что случайная величина примет значение из подмножества ее значений. Любое такое правило называют законом распределения вероятностей или распределением (вероятностей) случайной величины. (при этом слово «вероятностей» обычно опускают)

Общим законом распределения, присущим всем случайным величинам, является функция распределения.

 

Определение 20.1.2. Вся совокупность вероятностей Р{Х < х}, х є (-∞, ∞) задает закон распределения случайной величины Х в общем случае. Часто для краткости закон распределения случайной величины называют просто распределением случайной величины.

Определение20.1.3. Функция F(x) = Р{Х < х}, х є (-∞, ∞) называется функцией распределения случайной величины Х.

Значение функции распределения в точке х равно вероятности события {Х < х}, то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х < х.

Обычно говорят, что значение функции распределения в точке х равно вероятности того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х.

 

Геометрически это означает следующее: F(x) – вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается точкой на числовой прямой, расположенной слева от точки х.

 

 

Замечание 20.1.4.. Функцию распределения называют также интегральной функцией, или интегральным законом распределения случайной величины Х

 

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1) 0≤ F(x)≤1 (т.к. по определению, функция распределения является вероятностью)

2) F(x₁) ≤ F(x₂) при x₁ < x₂ (т.е. F(x) – неубывающая функция)

3) lim F(x) = 0 при x → - ∞, lim F(x) = 1 при x → + ∞

4) P (x₁ ≤ X ≤ x₂) = F(x₁) - F(x₂)

5) F(x) – непрерывная слева функция, т.е. F(x) = F(x - 0), где F(x - 0) = lim F(y) при y → x - 0 (левосторонний предел)

 

Замечание 20.1.5. Для того, чтобы подчеркнуть, какой именно случайной величине принадлежит функция распределения F(x), этой функции иногда приписывают нижний индекс, обозначающий конкретную случайную величину. Например, F_X(x) = Р{Х < х}

 

Замечание 20.1.6. В некоторых изданиях функция распределения определяется как F(x) = Р{Х ≤ х}. Такое определение ничего не меняет по существу понятия функции распределения, меняется лишь последнее, пятое свойство. Функция в таком случае оказывается непрерывной справа.