Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-05-22 | 537 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Раздел 18.3. Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом исходов.
Аксиоматика Колмогорова
Вопросы для самоконтроля
.
1.Что такое σ-алгебра событий?
2.Что такое вероятностное пространство.
3.Сформулируйте аксиомы вероятности и дайте ее определение по А.Н.Колмогорову
Литература по теме 1(3)
А.Н.Бородин «Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики» Часть I, п.6
Б.В.Гнеденко «Курс теории вероятностей» Глава 1, п.6
В.Феллер Введение в теорию вероятностей и ее применение т.2, глава IV, п.3
Нередко встречаются случаи, когда невозможно выписать явные формулы для вероятностей произвольных событий. Такова ситуация, когда пространство элементарных событий является несчетным множеством. В таком случае вероятность можно изучать, лишь сформулировав общие свойства, которые присущи вероятностям любых событий.
«Итак, назовем новое учение, цель которого состоит в том, чтобы давать определенное знание о случайных, неопределенных событиях, теорией вероятностей. Что же касается того, является ли теория вероятностей областью математики, то весь вопрос сводится к следующему: что мы подразумеваем под математикой? Если под математикой подразумевают только традиционные ее разделы – геометрию, арифметику и алгебру, то, конечно, в таком узком определении нет места ни для какой новой ветви. Я же в этом вопросе согласен с Декартом, который утверждал, что все исследования, направленные на изучение порядка и меры, принадлежат математике, независимо от того, что является их предметом и к чему относятся рассматриваемые порядок и мера»
(Блез Паскаль, из письма к Пьеру Ферма от 28 октября 1654 г.)
|
До недавнего времени теория вероятностей представляла собой еще не сложившуюся математическую науку, в которой основные понятия были недостаточно четко определены. Эта нечеткость приводила нередко к парадоксальным выводам (вспомним парадоксы Бертрана). Естественно, что приложения теории вероятностей к изучению явлений природы были слабо обоснованы и встречали порой резкую и обоснованную критику. Нужно сказать, что эти обстоятельства мало смущали естествоиспытателей и их наивный теоретико-вероятностный подход в различных областях науки приводил к крупным успехам. Развитие естествознания в начале текущего (20-го) столетия предъявило к теории вероятностей повышенные требования. Возникла необходимость в систематическом изучении основных понятий теории вероятностей и выяснении тех условий, при которых возможно использование ее результатов. Вот почему особенно важное значение приобрело формально-логическое обоснование теории вероятностей, ее аксиоматическое построение. При этом в основу теории вероятностей как математической науки должны быть положены некоторые предпосылки, являющиеся обобщением многовекового человеческого опыта. Дальнейшее же е развитие должно строиться посредством дедукции из основных положений без обращения к наглядным представлениям, к выводам «согласно здравому смыслу» Иными словами, теория вероятностей должна строиться из аксиом также, как любая сформировавшаяся математическая наука - геометрия, теоретическая механика, абстрактная теория групп и т.д.
Впервые подобная идея была высказана и развита советским математиком С.Н.Бернштейном. При этом С.Н.Бернштейн исходил из качественного сравнения случайных событий по их большей или меньшей вероятности.
Имеется иной подход, предложенный А.Н.Колмогоровым. Этот подход тесно связывает теорию вероятностей с современной математической теорией функций, а также теорией множеств.
… аксиоматическое построение основ теории вероятностей отправляется от основных свойств вероятности, подмеченных на примерах классического и статистического определений. Аксиоматическое определение вероятности, таким образом, как частные случаи включает себя и классическое и статистическое определения и преодолевает недостаточность каждого из них. На этой базе удалось построить логически совершенное здание современной теории вероятностей и в т же время удовлетворить повышенные требования к ней современного естествознания.» (Б.В.Гнеденко «Курс теории вероятностей»)
|
Таким образом, теория вероятностей является полноправной математической дисциплиной и, соответственно, нуждается в аксиоматической системе в качестве своего основания. Это должен быть набор аксиом (постулатов), принимаемых нами без доказательств, удовлетворяющих (в идеале) следующим трем условиям:
1) Независимость (любую из принятых аксиом нельзя вывести из остальных, так, что выведенная из других аксиома является не аксиомой, а теоремой)
2) Непротиворечивость (система аксиом не порождает противоречащих друг другу утверждений)
3) Полнота (систему нельзя дополнить независимым от уже принятых аксиом утверждений)
С другой стороны, введение определения вероятности «по классическому принципу» уже в случае геометрической вероятности приводит к тому, что вероятность любо элементарного события (исхода) – попадание в конкретную точку области - оказывается равной нулю.
Поэтому следует дать определение вероятности события для любого пространства элементарных событий Ω, не связанное с вероятностями элементарных исходов, а учитывающее те свойства вероятностей событий, которые имеют место для всех ранее данных определений вероятности (классического, статистического и геометрического).
Напоминание. Свойства вероятности
1) Р(А) ≥ 0
2) Р(Ω) = 1
3) Р(А1 + А2 +… Аm) = P (А1)+P(А2)+… P(Аm), при условии, что события А1, А2,… Аm попарно несовместны.
Эти три свойства лежат в основе аксиоматического определения вероятности. При этом свойство 3) постулируется для счетного множества попарно несовместных событий.
Определение 18.3.1. Совокупность подмножеств множества Ω (событий) называется σ-алгеброй (событий) A, если выполнены следующие условия:
1) Ω є A
2) Если множества (события) Аi є A, i = 1, 2, 3, …, то Σ∞i=1 Ai є A
|
3) Если множество (событие) А є A, то и Ā є А
Замечание. Совокупность множеств (событий) называется (просто) алгеброй (событий), если для этих множеств выполняются условия 1) и 3), а условие 2) формулируется следующим образом: Если А1 є Aи А2 є A, то А1 + А2 є A Нетрудно видеть, что данное условие слабее, так как оно следует из условия для σ-алгебры.
Определение 18.3.2.(аксиоматическое определение вероятности). Пусть каждому событию А (то есть подмножеству А пространства элементарных событий Ω, принадлежащему σ-алгебре (событий) А, поставлено в соответствие число Р(А). Числовую функцию Р, заданную на σ-алгебре (событий) А, называют вероятностью (вероятностной мерой), если она удовлетворяет следующим аксиомам:
Система аксиом Колмогорова
1. Аксиома I. Каждому случайному событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое его вероятностью
2. Аксиома II. Аксиома II Р(Ω) = 1
3. Аксиома III (аксиома сложения) Р(А1 + А2 +… Аm) = P (А1)+P(А2)+… P(Аm), при условии, что события А1, А2,… Аm попарно несовместны
Замечание. Система аксиом Колмогорова является непротиворечивой (существуют реальные объекты, удовлетворяющие этой системе), но неполной, поскольку даже для одного и того же вероятностного пространства Ω вероятности в множестве (σ-алгебре) А могут выбираться различными способами
В современных пособиях система аксиом выглядит, как правило, следующим образом:
1) Аксиома I (Аксиома неотрицательности) Р(А) ≥ 0
2) Аксиома II (Аксиома нормированности) Р(Ω) = 1
3) Аксиома III (Расширенная аксиома сложения) Для любых попарно несовместных Р(А1 + А2 +… Аm+…) = P (А1)+P(А2)+… P(Аm)+…
Замечание 18.3.1.. Вместо этой аксиомы могут использоваться Аксиома сложения и
4) Аксиома IV (Аксиома непрерывности) Если последовательность событий А1, А2,… Аm,… такова, что каждое событие является подмножеством следующего события и А1 + А2 +… Аm+… = А,
то lim P(Am) = P(A), n → ∞
Замечание 18.3.2. Необходимость введения расширенной аксиомы сложения связана с рассмотрением событий (множеств), образованных бесконечным числом исходов (точек).
|
Замечание 18.3.3. Расширенная аксиома сложения и аксиома непрерывности равносильны, иными словами они являются эквивалентными утверждениями (из аксиомы III следует аксиома IV и наоборот)
Определение 18.3.3. Значение Р(А) называют вероятностью события А
Определенная таким образом вероятность Р(А) удовлетворяет следующим свойствам:
1. Р(Ω) = 1
2. Р(Ø) = 0, Ø – пустое множество (невозможное событие)
3. 0 ≤ Р(А) ≤ 1, А – произвольное событие
4. Р (Ā) = 1 - Р(А), Ā - событие, противоположное событию А
5. Если множество (событие) А1 является подмножеством множества (события) А2, то P (А1) ≤ P(А2) («большему» событию соответствует большая вероятность)
6. Вероятность суммы (объединения) двух произвольных событий
Р(А1 + А2) = P (А1) + P(А2) - Р(А1 ∩ А2), А1 ∩ А2 - произведение (пересечение) событий А1 и А2.
В случае, если события А1 и А2 несовместны,
Р(А1 + А2) = P (А1) + P(А2)
Замечание 18.3.4.. Если пространство элементарных событий Ω является конечным или счетным множеством, то каждому элементарному исходу ωi, i = 1, 2, … можно поставить в соответствие число Р, так что Σ∞i=1 рi =1, где рi = Р(ωi)
Теперь рассмотрим случай, когда пространство элементарных событий Ω является множеством действительных чисел
R = (- ∞, + ∞). Для задания вероятности на числовой прямой можно взять произвольную неубывающую для любого х є R непрерывную слева функцию F, удовлетворяющую условиям:
1. F (- ∞) = lim F(x) = 0, x → - ∞
2. F (+ ∞) = lim F(x) = 1, x → + ∞
И каждому (множеству) событию Ах = (- ∞, х) поставить в соответствие вероятность Р(Ах) = F(x), а событию А = [x1, x2) – вероятность Р(А) = F(x1) - F(x2).
Найденная таким образом для всех событий А = [x1, x2) числовая функция Р(А) удовлетворяет вышеперечисленным аксиомам
Подытоживая, можно сказать, что вероятность оказывается не только интуитивно ясной, родственной частоте численной характеристикой события, но и абстрактной величиной, правилом, ставящим в соответствие событию некоторое число.
«Вероятности играют для нас ту же роль, что и массы в теоретической механике: можно обсуждать движение планетарной системы, не зная масс отдельных планет и не рассматривая методов их действительного измерения. Можно также с пользой (для прояснения сути дела) изучать гипотетическое движение планетарной системы. Точно также и вероятностные модели могут быть полезны даже в том случае, когда описывают объекты, которые не могут наблюдаться или не заслуживают наблюдения.»
(В.Феллер «Введение в теорию вероятностей и ее приложение»)
Определение 18.3.4.. Тройка (Ω, A, Р) называется вероятностным пространством
Замечание 18.3.5. Таким образом, понятие вероятностного пространства объединяет понятия исхода эксперимента, события и его вероятности.
|
Забегая вперед, можно сказать, что вероятностное пространство представлено двум множествами: пространством элементарных событий Ω, являющимся областью определения (функции) случайной величины, множеством подмножеств из Ω - σ-алгеброй А, являющейся областью определения функции «вероятность» и самой вероятности.
Отвлеченное приложение.
Самое интересное.
Раздел 18.3. Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом исходов.
Аксиоматика Колмогорова
Вопросы для самоконтроля
.
1.Что такое σ-алгебра событий?
2.Что такое вероятностное пространство.
3.Сформулируйте аксиомы вероятности и дайте ее определение по А.Н.Колмогорову
Литература по теме 1(3)
А.Н.Бородин «Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики» Часть I, п.6
Б.В.Гнеденко «Курс теории вероятностей» Глава 1, п.6
В.Феллер Введение в теорию вероятностей и ее применение т.2, глава IV, п.3
Нередко встречаются случаи, когда невозможно выписать явные формулы для вероятностей произвольных событий. Такова ситуация, когда пространство элементарных событий является несчетным множеством. В таком случае вероятность можно изучать, лишь сформулировав общие свойства, которые присущи вероятностям любых событий.
«Итак, назовем новое учение, цель которого состоит в том, чтобы давать определенное знание о случайных, неопределенных событиях, теорией вероятностей. Что же касается того, является ли теория вероятностей областью математики, то весь вопрос сводится к следующему: что мы подразумеваем под математикой? Если под математикой подразумевают только традиционные ее разделы – геометрию, арифметику и алгебру, то, конечно, в таком узком определении нет места ни для какой новой ветви. Я же в этом вопросе согласен с Декартом, который утверждал, что все исследования, направленные на изучение порядка и меры, принадлежат математике, независимо от того, что является их предметом и к чему относятся рассматриваемые порядок и мера»
(Блез Паскаль, из письма к Пьеру Ферма от 28 октября 1654 г.)
До недавнего времени теория вероятностей представляла собой еще не сложившуюся математическую науку, в которой основные понятия были недостаточно четко определены. Эта нечеткость приводила нередко к парадоксальным выводам (вспомним парадоксы Бертрана). Естественно, что приложения теории вероятностей к изучению явлений природы были слабо обоснованы и встречали порой резкую и обоснованную критику. Нужно сказать, что эти обстоятельства мало смущали естествоиспытателей и их наивный теоретико-вероятностный подход в различных областях науки приводил к крупным успехам. Развитие естествознания в начале текущего (20-го) столетия предъявило к теории вероятностей повышенные требования. Возникла необходимость в систематическом изучении основных понятий теории вероятностей и выяснении тех условий, при которых возможно использование ее результатов. Вот почему особенно важное значение приобрело формально-логическое обоснование теории вероятностей, ее аксиоматическое построение. При этом в основу теории вероятностей как математической науки должны быть положены некоторые предпосылки, являющиеся обобщением многовекового человеческого опыта. Дальнейшее же е развитие должно строиться посредством дедукции из основных положений без обращения к наглядным представлениям, к выводам «согласно здравому смыслу» Иными словами, теория вероятностей должна строиться из аксиом также, как любая сформировавшаяся математическая наука - геометрия, теоретическая механика, абстрактная теория групп и т.д.
Впервые подобная идея была высказана и развита советским математиком С.Н.Бернштейном. При этом С.Н.Бернштейн исходил из качественного сравнения случайных событий по их большей или меньшей вероятности.
Имеется иной подход, предложенный А.Н.Колмогоровым. Этот подход тесно связывает теорию вероятностей с современной математической теорией функций, а также теорией множеств.
… аксиоматическое построение основ теории вероятностей отправляется от основных свойств вероятности, подмеченных на примерах классического и статистического определений. Аксиоматическое определение вероятности, таким образом, как частные случаи включает себя и классическое и статистическое определения и преодолевает недостаточность каждого из них. На этой базе удалось построить логически совершенное здание современной теории вероятностей и в т же время удовлетворить повышенные требования к ней современного естествознания.» (Б.В.Гнеденко «Курс теории вероятностей»)
Таким образом, теория вероятностей является полноправной математической дисциплиной и, соответственно, нуждается в аксиоматической системе в качестве своего основания. Это должен быть набор аксиом (постулатов), принимаемых нами без доказательств, удовлетворяющих (в идеале) следующим трем условиям:
1) Независимость (любую из принятых аксиом нельзя вывести из остальных, так, что выведенная из других аксиома является не аксиомой, а теоремой)
2) Непротиворечивость (система аксиом не порождает противоречащих друг другу утверждений)
3) Полнота (систему нельзя дополнить независимым от уже принятых аксиом утверждений)
С другой стороны, введение определения вероятности «по классическому принципу» уже в случае геометрической вероятности приводит к тому, что вероятность любо элементарного события (исхода) – попадание в конкретную точку области - оказывается равной нулю.
Поэтому следует дать определение вероятности события для любого пространства элементарных событий Ω, не связанное с вероятностями элементарных исходов, а учитывающее те свойства вероятностей событий, которые имеют место для всех ранее данных определений вероятности (классического, статистического и геометрического).
Напоминание. Свойства вероятности
1) Р(А) ≥ 0
2) Р(Ω) = 1
3) Р(А1 + А2 +… Аm) = P (А1)+P(А2)+… P(Аm), при условии, что события А1, А2,… Аm попарно несовместны.
Эти три свойства лежат в основе аксиоматического определения вероятности. При этом свойство 3) постулируется для счетного множества попарно несовместных событий.
Определение 18.3.1. Совокупность подмножеств множества Ω (событий) называется σ-алгеброй (событий) A, если выполнены следующие условия:
1) Ω є A
2) Если множества (события) Аi є A, i = 1, 2, 3, …, то Σ∞i=1 Ai є A
3) Если множество (событие) А є A, то и Ā є А
Замечание. Совокупность множеств (событий) называется (просто) алгеброй (событий), если для этих множеств выполняются условия 1) и 3), а условие 2) формулируется следующим образом: Если А1 є Aи А2 є A, то А1 + А2 є A Нетрудно видеть, что данное условие слабее, так как оно следует из условия для σ-алгебры.
Определение 18.3.2.(аксиоматическое определение вероятности). Пусть каждому событию А (то есть подмножеству А пространства элементарных событий Ω, принадлежащему σ-алгебре (событий) А, поставлено в соответствие число Р(А). Числовую функцию Р, заданную на σ-алгебре (событий) А, называют вероятностью (вероятностной мерой), если она удовлетворяет следующим аксиомам:
Система аксиом Колмогорова
1. Аксиома I. Каждому случайному событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое его вероятностью
2. Аксиома II. Аксиома II Р(Ω) = 1
3. Аксиома III (аксиома сложения) Р(А1 + А2 +… Аm) = P (А1)+P(А2)+… P(Аm), при условии, что события А1, А2,… Аm попарно несовместны
Замечание. Система аксиом Колмогорова является непротиворечивой (существуют реальные объекты, удовлетворяющие этой системе), но неполной, поскольку даже для одного и того же вероятностного пространства Ω вероятности в множестве (σ-алгебре) А могут выбираться различными способами
В современных пособиях система аксиом выглядит, как правило, следующим образом:
1) Аксиома I (Аксиома неотрицательности) Р(А) ≥ 0
2) Аксиома II (Аксиома нормированности) Р(Ω) = 1
3) Аксиома III (Расширенная аксиома сложения) Для любых попарно несовместных Р(А1 + А2 +… Аm+…) = P (А1)+P(А2)+… P(Аm)+…
Замечание 18.3.1.. Вместо этой аксиомы могут использоваться Аксиома сложения и
4) Аксиома IV (Аксиома непрерывности) Если последовательность событий А1, А2,… Аm,… такова, что каждое событие является подмножеством следующего события и А1 + А2 +… Аm+… = А,
то lim P(Am) = P(A), n → ∞
Замечание 18.3.2. Необходимость введения расширенной аксиомы сложения связана с рассмотрением событий (множеств), образованных бесконечным числом исходов (точек).
Замечание 18.3.3. Расширенная аксиома сложения и аксиома непрерывности равносильны, иными словами они являются эквивалентными утверждениями (из аксиомы III следует аксиома IV и наоборот)
Определение 18.3.3. Значение Р(А) называют вероятностью события А
Определенная таким образом вероятность Р(А) удовлетворяет следующим свойствам:
1. Р(Ω) = 1
2. Р(Ø) = 0, Ø – пустое множество (невозможное событие)
3. 0 ≤ Р(А) ≤ 1, А – произвольное событие
4. Р (Ā) = 1 - Р(А), Ā - событие, противоположное событию А
5. Если множество (событие) А1 является подмножеством множества (события) А2, то P (А1) ≤ P(А2) («большему» событию соответствует большая вероятность)
6. Вероятность суммы (объединения) двух произвольных событий
Р(А1 + А2) = P (А1) + P(А2) - Р(А1 ∩ А2), А1 ∩ А2 - произведение (пересечение) событий А1 и А2.
В случае, если события А1 и А2 несовместны,
Р(А1 + А2) = P (А1) + P(А2)
Замечание 18.3.4.. Если пространство элементарных событий Ω является конечным или счетным множеством, то каждому элементарному исходу ωi, i = 1, 2, … можно поставить в соответствие число Р, так что Σ∞i=1 рi =1, где рi = Р(ωi)
Теперь рассмотрим случай, когда пространство элементарных событий Ω является множеством действительных чисел
R = (- ∞, + ∞). Для задания вероятности на числовой прямой можно взять произвольную неубывающую для любого х є R непрерывную слева функцию F, удовлетворяющую условиям:
1. F (- ∞) = lim F(x) = 0, x → - ∞
2. F (+ ∞) = lim F(x) = 1, x → + ∞
И каждому (множеству) событию Ах = (- ∞, х) поставить в соответствие вероятность Р(Ах) = F(x), а событию А = [x1, x2) – вероятность Р(А) = F(x1) - F(x2).
Найденная таким образом для всех событий А = [x1, x2) числовая функция Р(А) удовлетворяет вышеперечисленным аксиомам
Подытоживая, можно сказать, что вероятность оказывается не только интуитивно ясной, родственной частоте численной характеристикой события, но и абстрактной величиной, правилом, ставящим в соответствие событию некоторое число.
«Вероятности играют для нас ту же роль, что и массы в теоретической механике: можно обсуждать движение планетарной системы, не зная масс отдельных планет и не рассматривая методов их действительного измерения. Можно также с пользой (для прояснения сути дела) изучать гипотетическое движение планетарной системы. Точно также и вероятностные модели могут быть полезны даже в том случае, когда описывают объекты, которые не могут наблюдаться или не заслуживают наблюдения.»
(В.Феллер «Введение в теорию вероятностей и ее приложение»)
Определение 18.3.4.. Тройка (Ω, A, Р) называется вероятностным пространством
Замечание 18.3.5. Таким образом, понятие вероятностного пространства объединяет понятия исхода эксперимента, события и его вероятности.
Забегая вперед, можно сказать, что вероятностное пространство представлено двум множествами: пространством элементарных событий Ω, являющимся областью определения (функции) случайной величины, множеством подмножеств из Ω - σ-алгеброй А, являющейся областью определения функции «вероятность» и самой вероятности.
Отвлеченное приложение.
Самое интересное.
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!