Адиабатный процесс истечения

Располагаемая работа

Располагаемой работой называется приращение кинетической энергии газа при его движении по каналу. Если обозначить располагаемую работу 1 кг через , то

Согласно уравнению первого закона ТД можно получить выражение для предполагаемой работы в виде

Для адиабатного процесса , следовательно

Из формул следует, что при адиабатном процессе течения газа располагаемая работа (приращение кинетической энергии газа) определяется уменьшением его теплосодержания (энтальпии). Учитывая, что  и , где  – средняя теплоёмкость газа, последнее уравнение можно преобразовать, т.е. выразить предполагаемую работу через параметры газа. Подставив в уравнение значения теплосодержаний, получим

но  следовательно

или, учитывая, что  и , получим

Для расчётов это уравнение удобнее представить в виде

Очевидно, что для политропных процессов последние уравнения примут вид

Графическое изображение располагаемой работы в координатах v–p. При определении показателя политропы  было показано, что в координатах v – p площадь, ограниченная справа политропой, слева – осью ординат p, а сверху и снизу – абсциссами (рис. 5.1), вычисляется по формуле

Сравнивая эту формулу с полученной выше, видим, что и располагаемая работа  определяется этой же площадью, т.е. площадью m-1-2-n-m. Если взять очень малый перепад давлений , то элементарная площадка a-b-c-d-a, выражающая элементарную располагаемую работу , определяется как площадь прямоугольника с основанием  и высотой , т.е. (минус в правой части поставлен потому, что  отрицательно, т.к. , а площадь, изображающая , должна быть положительной). Из рис. 5.1. следует, что , т.е.

Рис. 5.1

Таким образом, располагаемая работа (приращение кинетической энергии) определяется работой проталкивания  и работой расширения . Действительно, работа расширения, равная , графически изображается площадью e-1-2-k-e. Работа проталкивания, равная , изображается площадью [(0-n-2-k-0) – (0-m-1-e-0)], а располагаемая работа, равная , изображается всей заштрихованной площадью, т.е. m-1-2-n-m. Разделив почленно выражение располагаемой работы на выражение работы расширения, получим

т.е. располагаемая работа в  раз больше работы расширения.

Для адиабатного процесса располагаемая работа в k раз больше работы расширения.

Сопло и диффузор

При расширении движущегося газа по каналу давление его падает, а скорость растёт, т.е. приращение давления и приращение скорости имеют разные знаки. Это видно и из формулы , где  можно представить в виде

Т.к.  можно взять сколь угодно малым, то, пренебрегая , получим

В зависимости от знака  и  различают два вида каналов. Каналы определённого профиля, при движении по которым скорость газа растёт, а давление уменьшается, называются конфузорами или соплами. Каналы определённого профиля, при движении по которым скорость газа уменьшается, а его давление растёт, называются диффузорами.

Профилирование каналов

Ранее показано, что приращение скорости  и давления  имеют разные знаки  Т.е. при увеличении скорости () давление должно падать (); наоборот, при уменьшении скорости () давление должно расти (). В первом случае канал называется соплом, во втором – диффузором. Изменение сечений канала сопла подробно рассмотрено ранее. Здесь материал систематизируется, а также даётся способ профилирования канала для случая, когда он должен работать, как диффузор. При выводе зависимости выходной скорости от перепада давлений учтём и начальную скорость , которая для диффузора может быть большой. Дальнейшее изложение сводится к тому, чтобы показать зависимость формы канала от соотношения между скоростью звука

Рис. 5.13

 на выходе и начальной скоростью . Исследуем изменение сечения канала при переходе от начального сечения  к близкому сечению , в котором скорость будет , а объём  (рис.5.13). Для этих сечений запишем уравнение, выражающее постоянство расхода газа

Логарифмируя эти выражения, получим

Т.к. ,  и  малы, то вместо логарифмов можно написать

Подставляя в это выражение  из уравнения  и  из , получим

Однако , поэтому

Полученная формула имеет важное значение при исследовании формы каналов, т.к. позволяет определить изменение площади поперечного сечения канала по направлению движения газа.

Профилирование сопел

Для сопел основное условие – уменьшение давления газа по направлению движения (). В полученном уравнении знак  противоположен знаку (). При этом могут быть два случая: 1. Если скорость газа  на входе в сопло меньше местной скорости звука  (т.е. ), то , и сопло должно быть сужающимся (рис.5.14). 2. Если скорость газа  на входе в сопло больше местной скорости звука  (т.е. ), то , и сопло должно быть расширяющимся (рис.5.15).

Рис. 5.14                      Рис. 5.15

Профилирование диффузоров

Для диффузоров основное условие – повышение давления газа по направлению движения (). Здесь также два случая: 1. Если скорость газа  на входе в диффузор больше местной скорости звука  (т.е. ), то , и диффузор должен быть сужающимся (рис. 5.16). 2. Если скорость газа  на входе в диффузор меньше местной скорости звука  (т.е. ), то , и диффузор должен быть расширяющимся (рис. 5.17).

Рис. 5.16                 Рис. 5.17

Из исследованных четырёх случаев течения газа по каналам вытекают следующие выводы:

1. Для того, чтобы получить поток газа со сверхзвуковой скоростью, необходимо делать сопло комбинированным – сначала сужающимся, а затем расширяющимся (рис. 5.18).

2. Для того, чтобы понизить скорость газа со сверхзвуковой скорости до дозвуковой, необходимо делать диффузор комбинированным – сначала сужающимся, а затем расширяющимся (рис. 5.19).

Рис. 5.18                                 Рис. 5.19

Располагаемая работа

Располагаемой работой называется приращение кинетической энергии газа при его движении по каналу. Если обозначить располагаемую работу 1 кг через , то

Согласно уравнению первого закона ТД можно получить выражение для предполагаемой работы в виде

Для адиабатного процесса , следовательно

Из формул следует, что при адиабатном процессе течения газа располагаемая работа (приращение кинетической энергии газа) определяется уменьшением его теплосодержания (энтальпии). Учитывая, что  и , где  – средняя теплоёмкость газа, последнее уравнение можно преобразовать, т.е. выразить предполагаемую работу через параметры газа. Подставив в уравнение значения теплосодержаний, получим

но  следовательно

или, учитывая, что  и , получим

Для расчётов это уравнение удобнее представить в виде

Очевидно, что для политропных процессов последние уравнения примут вид

Графическое изображение располагаемой работы в координатах v–p. При определении показателя политропы  было показано, что в координатах v – p площадь, ограниченная справа политропой, слева – осью ординат p, а сверху и снизу – абсциссами (рис. 5.1), вычисляется по формуле

Сравнивая эту формулу с полученной выше, видим, что и располагаемая работа  определяется этой же площадью, т.е. площадью m-1-2-n-m. Если взять очень малый перепад давлений , то элементарная площадка a-b-c-d-a, выражающая элементарную располагаемую работу , определяется как площадь прямоугольника с основанием  и высотой , т.е. (минус в правой части поставлен потому, что  отрицательно, т.к. , а площадь, изображающая , должна быть положительной). Из рис. 5.1. следует, что , т.е.

Рис. 5.1

Таким образом, располагаемая работа (приращение кинетической энергии) определяется работой проталкивания  и работой расширения . Действительно, работа расширения, равная , графически изображается площадью e-1-2-k-e. Работа проталкивания, равная , изображается площадью [(0-n-2-k-0) – (0-m-1-e-0)], а располагаемая работа, равная , изображается всей заштрихованной площадью, т.е. m-1-2-n-m. Разделив почленно выражение располагаемой работы на выражение работы расширения, получим

т.е. располагаемая работа в  раз больше работы расширения.

Для адиабатного процесса располагаемая работа в k раз больше работы расширения.

Сопло и диффузор

При расширении движущегося газа по каналу давление его падает, а скорость растёт, т.е. приращение давления и приращение скорости имеют разные знаки. Это видно и из формулы , где  можно представить в виде

Т.к.  можно взять сколь угодно малым, то, пренебрегая , получим

В зависимости от знака  и  различают два вида каналов. Каналы определённого профиля, при движении по которым скорость газа растёт, а давление уменьшается, называются конфузорами или соплами. Каналы определённого профиля, при движении по которым скорость газа уменьшается, а его давление растёт, называются диффузорами.

Адиабатный процесс истечения

Располагаемая работа определяется формулой Начальная скорость  по сравнению с выходной скоростью , как правило, мала, можно положить . Тогда выходная скорость  Подставив это в формулу располагаемой работы , получим выходную скорость  в зависимости от параметров

Рис. 5.2                                     Рис.5.3

начального и конечного состояний газа. Разберём простой, но имеющий практическое применение случай: по каналу течёт несжимаемая жидкость (). На рис.5.2 площадь a-A-B-b-a, равная , выражает располагаемую работу . Т.е. для жидкости  или, т.к. , . Подставляя значение  в формулу конечной скорости, получим

Но , где  – высота столба жидкости (рис. 5.3.). Учитывая это, получим

Вывод. Скорость истечения жидкости из открытого сосуда пропорциональна квадратному корню из высоты столба жидкости, находящейся в сосуде.

Для адиабатного истечения газа характерно равенство , следовательно

Полученная формула справедлива для любого газа (идеального и реального). Действительно, при выводе уравнения энергии газового потока  работа проталкивания  вычислялась для любого газа (уравнение состояния  не использовалось).

Для идеального газа располагаемая работа при адиабатном истечении вычислялась по формуле

Подставляя это значение для  в формулу конечной скорости, получим

Пользуясь соотношениями между параметрами адиабатного процесса, формулу можно записать иначе

но  и , поэтому

Заменяя в последней формуле

А заменяя в этой же формуле

Заметим, что ,  и  – параметры газа на выходе из канала,  – его скорость в том же сечении. Однако формулы применимы к любому сечению с параметрами газа , ,  и скоростью . Исследуем, как меняется скорость газа в зависимости от . Для произвольного сечения запишем формулу в виде

Зависимость  от  приведена на рис. 5.4. При  (при ) скорость . Это естественно, т.к. нет перепада давлений. При  (при ) скорость  равна максимальному значению при данных начальных параметрах газа   и . Это также понятно, т.к. скорость будет максимальна, когда противодавление равно нулю. Из формулы следует, что максимальная скорость равна

Рис. 5.4.