Отношения между суждениями. Логический квадрат.

Так же как и понятия суждения могут быть сравнимыми и не- сравнимыми, в зависимости от того, имеют ли они одинаковые субъекты и предикаты (то есть, термины) или нет. Сравнимые суждения отличаются друг от друга только по количеству или качеству. Например, мы можем сравнить такие суждения, как: «Все тела имеют вес» и «Арбуз имеет вес» и в результате такого сравнения выявить, в каком логическом отношении они находятся между собой. Примером несравнимых суждений будут следующие: «Все слоны – животные» и «Музыка играет большую роль в нашей жизни». В свою очередь, сравнимые суждения, как и понятия, могут быть совместимыми и несовместимыми. Совместимыми называют такие суждения, которые выражают одну и ту же мысль полностью или частично. К отношениям совместимости в логике относят: отношения полной совместимости (эквивалентности), отношения подчинения, отношения частичного совпадения (субконтрарности). Так, полностью совместимые суждения выражают одну и ту же мысль в различной форме, например: «Минск – столица Республики Беларусь» и «Минск – это административный и политический центр Белорусского государства». Или: «Автор романа «Доктор Живаго» – лауреат Нобелевской премии» и «Борис Пастернак – лауреат Нобелевской премии». Соответственно, если одно из таких высказываний будет истинным, то и другое тоже будет истинным и, наоборот.

Суждения, находящиеся в отношения логического подчинения, имеют общий предикат, а субъекты двух таких суждений, также будут находиться в отношении подчинения. Например, «Все студенты нашего курса увлекаются эстрадной музыкой» (общеутвердительное суждение – А, подчиняющее) и суждение «Некоторые студенты нашей группы увлекаются эстрадной музыкой» (частноутвердительное – I, подчиненное). Для таких выше перечисленных суждений (А, I), как и для общеотрицательных (Е) и частноотрицательных (О), истинность общего суждения (А, Е) предполагает истинность частного суждения (I,О). Если же общее суждение (А, Е) – ложно, то частное суждение будет неопределенным. В свою очередь, истинность частного суждения (I, О) также делает общее суждение (А, Е) неопределенным. Ложность же частного суждения (I,О) всегда означает ложность общего (А, Е).

Разберем теперь отношения частичного совпадения, которые чаще называют в логике отношениями субконтрарности (по-русски, подпротивности). В таких отношениях могут находиться между собой только частные суждения I и О, которые имеют одинаковые субъекты и одинаковые предикаты, но различаются между собой по качеству. Например: «Некоторые птицы улетают осенью в теплые края» и «Некоторые птицы не улетают осенью в теплые края». Они оба могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. Если одно из них ложно, то другое обязательно истинно. Но если одно из них истинно, то другое неопределенно (то есть, оно может быть как истинным, так и ложным). Возьмем выше приведенный пример с птицами. Предположим, что первое суждение «Некоторые птицы улетают осенью в теплые края» (I) – истинно, то второе – «Некоторые птицы не улетают осенью в теплые края» (О) – может быть как истинным, так и ложным.

Несовместимыми суждениями в логике называют обычно те, которые не могут быть одновременно истинными и различаются они между собой по их качеству, то есть, по характеру связки. К отношениям несовместимости в логике относят отношения противоположности (контрарности) и отношения противоречия (контрадикторности).

Отношения противоположности (контрарности) характеризуются следующими особенностями: они не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Иначе говоря, если одно из них истинно, то второе обязательно будет ложным; если же одно из них ложное, то относительно другого противоположного ему высказывания сказать ничего нельзя – оно может быть как истинным, так и ложным. Например, если суждение «Все студенты любят логику» (А) истинно, то противоположное ему суждение «Ни один студент не любит логику» (Е) ложно. Но если суждение «Все студенты любят логику» ложно, то противоположное ему суждение «Ни один студент не любит логику» может быть как истинным, так и ложным

Суждения, находящиеся в отношении противоречия (контрадикторности) не могут быть одновременно истинными или ложными. Если одно из них истинно, то второе обязательно ложно; если же одно ложно, то второе непременно истинно. Например, если истинно наше суждение про птиц «: «Некоторые птицы улетают осенью в теплые края» (I), то обязательно ложным будет суждение «Ни одна птица не улетает осенью в теплые края» (Е). Или: «Все студенты – отличники» (А) и «Ни один студент не является отличником» (Е). Если первое истинно, то второе всегда ложно и, наоборот.

Сложное суждение и его виды. Логические союзы. Таблица истинности сложных суждений.

До сих пор речь шла о простых суждениях. Однако наряду с простыми мы в своих мыслях оперируем и сложными суждениями. Если в структуре простого суждения мы выделяли в качестве его терминов S и Р, то в сложном суждении может быть несколько субъектов или предикатов. Таким образом, сложное суждение это такое суждение, которое состоит их нескольких простых. При этом важно отметить, что подобно тому, как сложное предложение строится из простых предложений с помощью союзов, так и сложное суждение образуется из простых суждений с помощью логических союзов. Такими логическими союзами являются: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция и отрицание. Следует обратить внимание, что именно выше перечисленные логические союзы (или связки) являются важнейшим элементом сложных суждений, определяя и структуру, и логические характеристики этих суждений, в том числе и их истинность или ложность. Для того чтобы определить характер сложного суждения, необходимо выяснить, с помощью каких логических союзов оно образовано. Рассмотрим виды сложных суждений.

Сложное конъюнктивное, или соединительное суждениесостоит из двух или более простых суждений, соединенных между собой логическим союзом конъюнкцией. В естественном языке конъюнкции соответствует соединительный союз – «и», а также союзы «да», «а», «но», «хотя», «однако», взятые в значении «и». Для обозначении конъюнкции в логике используют значки Ù, &. Если обозначить каждое из двух, к примеру, простых суждений, входящих в состав сложного, буквами латинского алфавита – а, в, то сложное соединительное суждение будет выглядеть так: а Ù в. Например, «Рига и Вильнюс – столицы стран Балтии».

Сложное дизъюнктивное, или разделительное суждениесостоит из простых суждений, соединенных между собой логическим союзом дизъюнкцией, которому в естественном языке соответствуют союзы «или», «либо». Можно говорить о двух разновидностях дизъюнкции: слабой (не исключающей) и строгой (исключающей). Для слабой дизъюнкции характерно употребление союзов «или» / «либо» в соединительно-разделительном смысле – или то, или другое, или то и другое вместе. Например, «Информацию о последних событиях в Ираке опубликовали в газетах или передали по радио». Разумеется, здесь возможно или то, или другое, или то и другое вместе. Слабая дизъюнкция обозначается значком «Ú», а символически она записывается следующим образом: а Ú в (а или в). Что касается сильной дизъюнкции, то для нее характерно употребление союзов «или» / «либо» в исключающе-разделительном смысле –или то, или другое, но не то и другое вместе. Обозначается она так же, как и слабая дизъюнкция, но с точкой наверху: а Ú в. Например: «Знак беды» был написан или Быковым, или Шамякиным». Члены сильной дизъюнкции взаимно исключают друг друга и не могут быть одновременно истинными.

Сложное импликативное, или условное суждениеобразуется из двух простых суждений с помощью логической связки импликации, которой в естественном языке соответствует союз «если…, то …». Например, «Если хочешь быть здоровым, то закаляйся». Символически импликацию обозначают следующим образом: а ® в (если а, то в). Первый член импликации, стоящий между частями союза «если» и «то», называется основанием. Второй ее член, располагающийся после слова «то», называется следствием. Обычно с помощью импликации мы выражаем причинно-следственные связи и отношения в действительности.

Суждения эквиваленции – это сложные суждения, состоящие из простых суждений, соединенных логической связкой эквиваленции, которой в естественном языке соответствуют следующие союзы: «если и только если», «тогда и только тогда, когда …». Само слово эквиваленция в переводе с латинского языка обозначает тождественность, равноценность. В логике эта равноценность сводится к принятию суждениями одинаковых логических значений, то есть, указывает на взаимозависимость, взаимосоответствие предметов, о которых идет речь в простых суждениях. Например, «Прямоугольник является квадратом, если и только если его стороны равны». Символически эквиваленция записывается с помощью тройного равенства

«а º в».

Отрицание. В естественном языке отрицание выражается словами «неверно, что», «неправда, что» или мы просто используем отрицательную частицу «не». В отличие от выше рассмотренных логических союзов, отрицание применяется только к одному суждению и обозначается чертой, которая ставится над ним «ā». Например, «Неверно, что Шамякин автор «Знака беды». При этом если отрицание стоит внутри суждения, мы имеем дело с обычным простым суждением: «Шамякин – не автор «Знака беды». Если же отрицание присоединяется к суждению снаружи – «Неверно, что Шамякин – автор «Знака беды», то мы имеем дело с логической связкой, преобразующей простое суждение в сложное.

Таблица истинности сложных суждений. Истинность или ложность простых суждений проверяется обычно их сопоставлением с реальным положением дел. Так, если мы скажем, что «Река Свислочь впадает в Черное море», то достаточно посмотреть на карту, чтобы убедиться в ложности этого суждения. Чтобы установить истинность или ложность сложных суждений, надо обратиться к принятой в формальной логике таблице истинности. В ней отражено то, как зависит истинность сложного суждения от истинности или ложности входящих в его состав простых суждений:

Согласно этой таблице мы видим, что конъюнктивное суждение истинно тогда и только тогда, когда истинны все составляющие его высказывания и, наоборот, оно ложно, если ложным является хотя бы одно из составляющих его простых.

Слабая дизъюнкция истинна тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых суждений, а ложна она в одном единственном случае, когда все простые суждения, входящие в ее состав, ложны.

Иначе обстоят дела с сильной дизъюнкцией. Согласно таблице, она не допускает одновременной истинности исходных высказываний: либо то, либо другое, но не оба сразу. Возьмем следующий пример: «Минск или Москва столица России». Ясно, что эта сильная дизъюнкция не может быть истинной в случае одновременной истинности или ложности обоих входящих в нее суждений, так как Минск и Москва не могут одновременно быть столицей Российского государства. Этой столицей может быть или один, или другой город.

Что касается импликации, то она ложна только в одном единственном случае, когда ее основание истинно, а следствие ложно. Во всех остальных случаях она будет истинна.

Эквиваленция является истинной только тогда, когда составляющие ее простые суждения либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. И, наконец, отрицание. Отрицательное суждение будет истинно тогда, когда исходное суждение ложно; и это же отрицательное суждение будет ложно, если истинно исходное суждение.