По секрету: число е объединяет прирост и время

Это удивительно! е^x может значить две вещи:

· х — количество умножений коэффициента роста: 100% рост на 3 года составит е³

· х — это коэффициент роста сам по себе: 300% рост за 1 год составит е³.

Не натворит ли это открытие дел? Не сломается ли наша формула, не наступит ли конец света?

Нет, все будет в порядке. Когда мы пишем:

e^х

переменная х являет собой комбинацию коэффициента роста и времени.

x = прирост × время

Позвольте мне объяснить. В ситуации с непрерывным составным ростом, 10 лет с 3% приростом дадут такой же результат, как 1 год с 30% ростом (без последующего роста).

· 10 лет 3% роста будут означать, что сумма изменится 30 раз на 1 процент. Эти изменения происходят каждые 10 лет, так что каждый год сумма возрастает на 3%.

· 1 период с 30% ростом означает также 30 раз по 1%, но происходит это все за 1 год. Так что общий прирост составляет 30% и на этом прекращается.

В любом случае происходит 30 приростов по 1%. Чем выше коэффициент (30%), тем меньше времени понадобится, чтобы дорасти до того же объема прибыли (1 год). Чем коэффициент меньше (3%), тем дольше придется расти (10 лет).

Но в обоих случаях, рост составит е^0.30 = 1.35 в итоге. Из-за нехватки терпения мы предпочитаем более высокий и быстрый рост медленному и длительному, но число е показывает, что эффект одинаков в обоих случаях.

Вот такая у нас получается общая формула:

рост = e^x = e^{прирост × время}

Если за период В мы получим прирост П, наш общий составной рост будет равен е^пв. Между прочим, это также работает для отрицательных и дробных приростов.

В следующей статье мы рассмотрим экспоненциальный рост и число е на реальных примерах: рост кристаллов, максимальная банковская ставка, скорость радиоактивного распада.

Экспонента и число е — реальные примеры из жизни

В прошлой статье мы рассмотрели различные коэффициенты роста экспоненты. Давайте теперь посмотрим, где это всё используется в реальной жизни.

Время примеров и аналогий!

Примеры всегда делают сухую математику веселее. Маленькая поправка: мы так уже привыкли к формулам типа 2^x и обычному, составному росту, что можно легко запутаться (я и сам через это прошел). Почитайте подробнее о простом, составном и непрерывном росте.

Эти примеры демонстрируют плавный, непрерывный рост, а не «скачкообразный» рост, которые происходит в годичные интервалы. Есть способы расчетов прибыли между интервалами, но оставим это для новой статьи.

Пример 1: Наращивание кристаллов

Предположим, у меня есть 300 кг магических кристаллов. Они магические, потому что растут в течение дня: сначала я вижу один кристалл, а через 24 часа он выбрасывает из себя другой кристалл, весом как он сам. (Кристаллы-детки начинают расти сразу же, и с таким же темпом, но я это уже не могу отследить — я могу увидеть только вот эту первую партию новорожденных). Сколько кристаллов будет у меня через 10 дней?

В общем, так как кристаллы начинают расти немедленно, мы имеем дело с непрерывным ростом. Наш коэффициент прироста 100% каждые 24 часа, так что через 10 дней мы получим 300 × e^{1 × 10} = 6.6 миллионов кг магических самоцветов.

Здесь может быть загвоздка: видите, какая разница между исходным коэффициентом и общим коэффициентом прироста. «Исходный» — это насколько изменяется один кристалл: 100% за 24 часа. Общий прирост равен числу е (2.718х), потому что детки-кристаллы тоже постоянно растут.

В этом случае у нас есть исходный коэффициент (как быстро растут кристаллы), и мы хотим получить совокупный результат (как вся группа вырастет с учетом кристаллов-деток). Если у нас есть общий прирост, а вычислить требуется исходный коэффициент (рост одного кристалла за определенный период времени), мы вычисляем в обратном порядке и используем натуральный логарифм.

Пример 2: максимальная ставка процента

Допустим, у меня есть 120 рублей на счету в банке с 5% ставкой. Мой банк очень щедр, и обеспечивает мне максимально возможную капитализацию. Сколько у меня будет денег через 10 лет?

Наша ставка составляет 5%, и нам повезло с непрерывной капитализацией. После 10 лет мы получим 120 × e^{0.05 × 10} = 197,85 рублей. Конечно, большинство банков не настолько хороши, чтобы предоставить вам лучший из возможных процентов. Разница между вашей конечной суммой и размером непрерывного прироста показывает, насколько именно они жадничают..

Пример 3: радиоактивный распад

У меня 10 кг радиоактивного материала, который непрерывно распадается с коэффициентом 100% в год. Как много у меня останется через 3 года?

Совсем ничего? Ноль без палочки? Подумайте еще раз.

Распадаться непрерывно на 100% в год — примерно такую ситуацию мы рассматривали в начале. Да, мы начали с 10 кг, и ожидаем потерять все к концу первого же года, так как материал распадается на 10 кг/год.

Наше радиотопливо распадалось несколько месяцев, и осталось всего 5 кг материала. До полного распада осталось полгода? Неа! Теперь мы теряем в весе уже 5 кг/год, так что у нас еще целый год для полного распада!

Мы ждем еще несколько месяцев, и доходим до 2 кг. И конечно же, дальнейший распад уже пойдет со скоростью 2 кг/год, так что у нас еще в запасе полный год (с этого момента). Мы доходим до 1 кг, и опять в запасе целый год, так мы достигнем 0,5 кг, еще один год – улавливаете схему?

С течением времени мы теряем материал, но и скорость распада постепенно уменьшается. Этот постоянно изменяющийся темп и лежит в основе непрерывного роста и распада.

Спустя три года, у нас останется 10 × e^{-1 × 3} = 0.498 кг. Мы использовали отрицательную степень для распада – нам нужна дробь (1/e^{п × в}) вместо произведения роста (е^{п × в}). (Распад обычно дается в контексте «полураспада» — мы поговорим о преобразовании этих показателей в другой статье).

Больше примеров

Если вы хотите более сложные примеры, попробуйте формулу опционов Блэка-Шоулза (число е используется для экспоненциального снижения в цене) или радиоактивный распад. Цель таких примеров — дать человеку увидеть е^{п × в} в формуле и понять, почему она там: это и моделирует прирост или распад.

Сейчас вы знаете, почему константа называется «е», а не «пи» или другое какое-то число: е, возведенная в степень «п × в», позволяет оценить влияние коэффициента прироста П и времени В.

Еще многому предстоит научиться!

Моей целью было:

· Объяснить, почему так важна константа е: это фундаментальная константа, как «пи», которая отражается в темпах роста.

· Дать понятное, логическое объяснение: число е дает вам увидеть влияние любого коэффициента роста. Каждый новый «кусочек» (вспомните наших цветных друзей на графиках) делает свой вклад в общий прирост.

· Показать, где это используется: e^x позволяет предсказать, как повлияет определенный коэффициент роста и период времени на имеющуюся величину.

· Разжечь ваш аппетит перед следующим блюдом: в будущих статьях мы изучим другие свойства числа е.

Эта статья – только начало. Если попытаться впихнуть все в одну страничку, это утомит моих читателей, и мне самому станет скучно. Стряхните с себя пыль, отвлекитесь и узнайте много интересного о близнеце числа е — натуральным логарифмом.