Средние величины в научном исследовании, их сущность и основные свойства. Условия типичности средних.

Средняя величина, представляющая собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени является наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях. Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности. Широкое применение средних объясняется тем, что они имеют ряд положительных свойств, делающих их незаменимым инструментом анализа явлений и процессов в экономике.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Например, курс акций корпорации в целом определяется ее финансовым положением. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.

Типичность средней непосредственным образом связана с однородностью статистической совокупности. Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. Так, если мы рассчитаем средний курс по акциям всех предприятий, реализуемых в данный день на данной бирже, то получим фиктивную среднюю. Это будет объясняться тем, что используемая для расчета совокупность является крайне неоднородной. В этом и подобных случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок: если совокупность неоднородна - общие средние должны быть заменены или дополнены групповыми средними, т.е. средними, рассчитанными по качественно однородным группам.

На практике определить среднюю во многих случаях можно через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу:

ИСС = Суммарное значение признака / число единиц или объем совокупности

 

 

Виды средних показателей совокупности. Взаимосвязь средних показателей.

Большое значение в методологии средних величин имеют вопросы выбора формы средней, т.е. формулы по которой можно правильно вычислить среднюю величину, и выбора весов средней. Наиболее часто в статистике применяются средняя агрегатная, средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратичная, мода и медиана. Применение той или иной формулы зависит от содержания усредняемого признака и конкретных данных, по которым её необходимо рассчитать. Для выбора формы средней можно воспользоваться так называемым средним исходным соотношением

Средняя арифметическая

Средняя арифметическая - одна из наиболее распространенных форм средней величины. Средняя арифметическая рассчитывается как частное от деления суммы индивидуальных значений (вариантов) варьирующего признака на их число. Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда объём варьирующего признака явлений однородной статистической совокупности, образуется путём суммирования значений признака всех единиц явлений статистической совокупности. Различают следующие средне арифметические величины:

1) Простая средняя арифметическая, которая определяется путём простого суммирования количественных значений варьирующего признака и деления этой сумы на их варианты и рассчитывается по следующей формуле:

где:

Х - средняя величина статистической совокупности,

xi - сумма отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

ni - количество варьирующих вариантов явлений статистической совокупности.

2) Среднеарифметическая взвешенная - средняя величина признака явления, вычисленная с учётом весов. Веса средних величин - частоты, с которыми отдельные значения признака осредняемого принимаются в расчёт при исчислении его средней величины. Выбор весов средней величины зависит от сущности усредняемого признака и характера данных, которыми располагают для вычисления средних величин. В качестве весов средних величин могут быть показатели численности единиц или размеры частей статистической совокупности (в форме абсолютных или относительных величин), обладающих данным вариантом (значением) усредняемого признака явления статистической совокупности, а также величины показателя связанного с усредняемым признаком. Среднеарифметическая взвешенная рассчитывается по следующей формуле:

 

где:

X- средняя арифметическая взвешенная,

х - величина отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

f - веса.

Назначение простой, и взвешенной средней арифметической является определение среднего значения варьирующего признака. Если в изучаемой статистической совокупности варианты значений признака встречаются по одному разу или имеют одинаковый вес, то применяется простая средняя арифметическая, если же варианты значений данного признака встречаются в изучаемой совокупности по несколько раз или имеют различные веса, для определения среднего значения варьирующего признака применяется средняя арифметическая взвешенная

Средняя гармоническая

Средняя гармоническая применяется для расчёта средней величины тогда, когда непосредственные данные о весах отсутствуют, а известны варианты усредняемого признака (х) и произведения значений вариантов на количество единиц, обладающих данным его значением w (w = xf).

Данная средняя рассчитывается по следующим формулам:

1) Среднегармоническая простая

 

 

где:

Х - средняя гармоническая простая,

х - сумма отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

n - количество варьирующих вариантов явлений статистической совокупности.

2) Среднегармоническая взвешенная:

 

где:

Х - средняя гармоническая взвешенная,

х - сумма отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

w - x f,

f - веса.

При использовании гармонической взвешенной выявляют веса и таким образом получают тот же результат, который дал бы расчёт по средней арифметической взвешенной, если бы были известны все необходимые для этого данные.

Средняя агрегатная

Средняя агрегатная рассчитывается по формуле:

 

 

где:

X - средняя агрегатная,

w - x f,

х - сумма отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

f - веса.

Средняя агрегатная вычисляется в тех случаях, когда известны (имеются) значения числителя и значения знаменателя исходного соотношения средней.

Средняя геометрическая

Средняя геометрическая является одной из форм средней величины и вычисляется как корень n-й степени из произведения отдельных значений - вариантов признака (х) и определяется по следующей формуле:

 

 

Или

 

 

Средняя геометрическая применяется в основном при расчётах средних темпов роста.

Мода и медиана

Наряду с рассмотренными выше средними в качестве статистических характеристик вариационных рядов рассчитываются так называемые структурные средние - мода и медиана.

Модой (Мо) называется наиболее часто встречающееся значение признака у единиц совокупности. Для дискретных рядов - этот вариант, имеющий наибольшую частоту.

В интервальных вариационных рядах можно определить, прежде всего, интервал, в котором находится мода, т.е. так называемый модальный интервал. В вариационном ряду с равными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей частоте, в рядах с неравными интервалами по наибольшей плотности распределения.

Для определения моды в рядах с равными интервалами пользуются формулой следующего вида:

 

где:

Хн - нижняя граница модального интервала,

h - величина интервала,

f1, f2, f3 - частоты (или частности) соответственно предмодального, модального и послемодального интервалов.

В интервальном ряду моду можно найти графически. Для этого в самом высоком столбце гистограммы от границ двух смежных столбцов проводят две линии. Затем из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс, соответствующее перпендикуляру, и будет модой.

Во многих случаях при характеристике совокупности в качестве обобщённого показателя отдаётся предпочтение моде, а не средней арифметической.

Так, при изучении цен на рынке фиксируется и изучается в динамике не средняя цена на определённую продукцию, а модальная; при изучении спроса населения на определённый размер обуви или одежды представляет интерес определение модального размера обуви, а средний размер как таковой здесь вообще не имеет значения. Мода представляет не только самостоятельный интерес, но и исполняет роль вспомогательного показателя при средней, характеризуя её типичность. Если средняя арифметическая близка по значению к моде, значит она типична.