Почему круг – особая фигура?

 

В одной старой математической загадке говорится о том, что у фермера Жиля была коза и 120 м ограды. Фермер хочет огородить для своей козы участок, на котором было бы как можно больше травы.

Сначала он пробует огородить территорию в форме равностороннего треугольника со сторонами по 40 м (тогда периметр составит как раз 120 м).

 

 

Площадь такого треугольника чуть меньше 700 м2 (основание треугольника равно 40 м, а высота оказывается примерно равной 35 м).

Можно ли сделать лучше? Фермер разворачивает свои 120 м ограды в квадрат 30 × 30 м.

 

 

Теперь площадь равна 30 × 30 = 900 м2. Получается, что если у вас имеется ограда определенной длины, то площадь квадратного поля, окруженного этой оградой, окажется больше, чем площадь поля треугольного.

Далее фермер пробует правильный шестиугольник, каждая сторона которого равна 20 м.

 

 

Теперь площадь поля составляет приблизительно 1039 м2 (один из способов вычислить эту площадь состоит в том, чтобы найти площадь одного сегмента шестиугольника, представляющего собой равносторонний треугольник, и умножить на 6).

Таким образом, при заданной длине ограды площадь, судя по всему, получается тем больше, чем больше сторон у вашего поля.

Пройдите в этом направлении дальше и рассмотрите поля в форме декагона (10 сторон) и икосагона (20 сторон); по мере увеличения числа сторон форма поля Жиля начинает напоминать круг. На самом деле круг – многоугольник с бесконечным числом сторон, и если фермер использует свои 120 м ограды для создания круглого поля, он сможет огородить почти 1150 м2 пастбища – намного больше, чем было в первоначальном треугольнике, и, мало того, максимально возможная площадь, которую Жиль может огородить. Это лишь одно из многих важных свойств круга, которыми объясняется его особая роль в геометрии.

Кстати говоря, на идее получать ответ, выбирая все более мелкие шаги и переходя в конце концов к шагам бесконечно малым, построена одна из важнейших областей высшей математики, известная как дифференциальное исчисление. Наши представления о высшей математике чуть ли не всем обязаны дифференциальному и интегральному исчислению, и мы должны благодарить Исаака Ньютона (и других) за идеи о математике бесконечно малых величин. Что подводит нас к еще одной, заключительной теме нашей книги…

 

Бесконечность и дальше

 

Когда ваши дети будут смотреть мультсериал «Историю игрушек» или играть с фигуркой его главного героя, Базза Лайтера, задайте им вопрос по поводу его коронной фразы: «В бесконечность и дальше». Идея бесконечности начинает интересовать детей уже в пяти– или шестилетнем возрасте, потому что это «самое большое» возможное число. Это так или нет? Базз Лайтер, судя по всему, фактом своего существования утверждает, что можно проникнуть дальше бесконечности.

Само собой, бесконечность – странная идея, и вы поможете детям осознать ее, рассказав им, например, историю гостиницы Гилберта.

В гостинице Гилберта было бесконечное число комнат. Невероятно, но однажды ночью отель заполнился под завязку. В каждой из комнат под номерами 1, 2, 3, 4 и так до бесконечности кто-то остановился. Затем в дверь гостиницы постучал еще один человек и спросил: «Есть у вас комната?» Управляющий подумал немного и ответил: «Вам повезло, есть». Он послал всем своим постояльцам такое сообщение: «Пожалуйста, переселитесь в комнату с номером на единицу больше номера вашей нынешней комнаты». Человек из номера 1 переехал в номер 2, из номера 2 – в номер 3, из 3 – в 4 и т. д. Понятно, что у постояльца из любого номера, какой только можно представить, даже самого большого, найдется номер на единицу больше. Так что у каждого теперь есть комната, и все комнаты полны – за исключением номера 1, который теперь пуст. Управляющий вручает ключ от номера 1 новому постояльцу.

В странной математике бесконечно больших чисел вы получили ответ на вопрос «Сколько будет бесконечность плюс 1?» Бесконечность плюс 1 будет бесконечность. Большинство учащихся средней школы никогда не сталкивались ни с данной идеей, ни с задачей о гостинице Гилберта. Как правило, эти вещи впервые обсуждаются в университете. Но вы обнаружите, что восьмилетнему ребенку они тоже будут интересны.

Можно продолжить историю дальше. На следующий день к отелю подъехал автобус с бесконечным числом пассажиров, и все они хотели поселиться в гостинице. А та по-прежнему была полна. Что же делать? К счастью, у управляющего нашелся еще один план. На этот раз он передал всем постояльцам гостиницы просьбу переехать в комнату с номером в два раза большим, чем номер их нынешней комнаты. Постоялец из номера 1 переехал в номер 2. Из номера 2 – в номер 4, и т. д. А поскольку для каждого числа найдется число вдвое большее, то комнаты нашлись для всех. Если нарисовать две числовые прямые, то можно наглядно увидеть, что произошло.

 

 

Все постояльцы гостиницы переселились в четные номера. Следовательно, все нечетные номера оказались пустыми. А поскольку нечетных чисел существует бесконечное количество, все пассажиры безразмерного автобуса смогли найти себе по комнате. Это означает, что дважды бесконечность – это тоже бесконечность.

В самом деле, создается впечатление, будто зайти дальше бесконечности попросту невозможно. Ну, вообще-то это не так. Если возле гостиницы появится автобус с бесконечным числом пассажиров, у которых на футболках написаны все возможные десятичные дроби от нуля до единицы, то людей в автобусе окажется больше, чем комнат в гостинице. На самом деле существуют бесконечности, большие, чем та, о которой мы думаем при счете. Но это по-настоящему серьезная математика; может быть, с ней действительно лучше подождать, пока дети немного подрастут.

 

Готовимся к экзаменам

 

Вопросы, с которыми может столкнуться ваш ребенок

 

Мы выбрали эти вопросы для книги потому, что они помогают выявить определенные сложности, возникающие у детей при написании контрольных и экзаменационных работ по математике, а также у мам и пап, стремящихся помочь своим чадам сдать тесты как можно лучше. Попробуйте решить задачи самостоятельно, затем прочитайте раздел, в котором не только даются ответы, но и рассказывается, как справлялись с заданиями родители и дети. Вы также узнаете, как подошел бы к решению таких задач математик.

Те, кто впервые сталкивается с современными тестами, часто обращают внимание на следующее:

1. Формулировки сейчас обычно многословны, и приходится тратить немало времени и усилий, чтобы разобраться, в чем, собственно, состоит математическое задание.

2. Задачи часто не решаются в одно действие (и иногда касаются двух различных областей математики: скажем, требуют знания геометрических фигур и дробей).

Цель такого рода вопросов – проверить способность ученика применять математические знания для решения общих вопросов. В повседневной жизни реальные ситуации редко представляются в виде прямолинейных математических примеров – «Сколько будет 2481 минус 1923?» – поэтому можно сказать, что тесты – часть подготовки к жизни в реальном мире. По крайней мере, такова теория.

При взгляде на некоторые вопросы даже взрослого человека может охватить легкое недоумение: «С чего здесь хотя бы начать?» Это классическое состояние ступора, и существует два инструмента, которые всегда можно использовать в подобных случаях. Во-первых, можно спросить себя: «А что я все-таки знаю?» Во-вторых, можно выбрать один какой-нибудь возможный ответ – даже если вы почти уверены, что он неверный, – и проверить его. Продолжайте проверять различные ответы, и вы наверняка заметите какие-нибудь закономерности. Многие люди ругают себя, когда пользуются методом проб и ошибок, но на самом деле им пользуются математики всех уровней. В любом случае, умные и верные решения обычно находятся лишь после рассмотрения всех пришедших в голову идей и подходов, включая самые невнятные и кажущиеся неперспективными.

Некоторые мамы и папы сообщали нам, что им очень не хотелось отвечать на эти вопросы и они даже испытывали тошноту… но когда приступали к решению, то все оказывалось не так страшно, как им казалось. Некоторые даже признались, что им неожиданно для самих себя даже понравилось решать задачи. А значит, они получили удовольствие от занятий математикой…

 

Решаем без калькулятора

 

А. 7,6 – 2,75 =

Б. Карен знает, что 74 × 3 = 222.

Как она использует это знание, решая пример 174 × 3?

В. Адам раскрасил расчерченный на клеточки квадрат следующим образом:

 

 

Затем он повернул квадрат.

Заштрихуйте недостающие части рисунка.

 

 

Г. Питеру нужно определить, сколько стоят два апельсина и одно яблоко.

Пометьте всю информацию, которая потребуется для этого Питеру.

 

 

Д. Некоторая последовательность чисел начинается так: 40, 80, 120, 160… и продолжается дальше, причем каждый раз число увеличивается на 40.

Находится ли число 2140 в этой последовательности? Объясните ответ.

Е. На каждого участника школьного пикника приходится 3 сэндвича, 2 яблока и 1 пакетик чипсов. Всего приготовлено 45 сэндвичей.

Сколько приготовлено пакетиков с чипсами?

Ж. Волчок установлен на двух прямоугольных досках следующим образом:

 

 

Сэм утверждает, что если раскрутить волчок на каждой из досок, то на второй доске он с большей вероятностью укажет на область А, чем на первой.

Прав ли Сэм? Объясните ответ.

З. Сколько миллилитров воды следует добавить в эту мерную кружку, чтобы наполнить ее до 400 мл?

 

 

И. Алекс задумал число. Он добавил половину числа к четверти числа. Получилось 60.

Какое число задумал Алекс?

К. Треть этого квадрата заштрихована.

 

 

Этот же квадрат используется на рисунках ниже.

а) Какая часть этого рисунка заштрихована?

 

 

б) Какая часть этого рисунка заштрихована?

 

 

Л. Перед вами числовая прямая.

Оцените, где на этой прямой находится число 125, и отметьте его крестиком.

 

 

М. Изображенный на рисунке треугольник с координатами вершин (1, 3), (5, 3), (5, 9) отражен относительно пунктирной линии. Одна из вершин отраженного треугольника находится в точке с координатами (11, 3).

Каковы координаты его двух других вершин?

 

 

Н. Фигура на рисунке представляет собой неправильный четырехугольник. Нарисуйте на этой же сетке прямоугольник той же площади.

 

 

О. В таблице приведено расписание всех поездов, которые отправляются из Эпплтона и Бигтауна в течение дня.

 

 

Сколько поездов уходит из Эпплтона до 15:00?

За какое время первый поезд из Бигтауна доезжает до Нортбриджа?

П. Четыре маленьких и три больших равносторонних треугольника точно укладываются в этот прямоугольник.

 

 

Сторона маленького треугольника составляет 6 см. Чему равна сторона большого треугольника?

Р. Заштрихуйте четыре шестых на этой диаграмме.