Распределение Максвелла по проекциям скорости.

 

Результаты, полученные при статистическом описании макроскопических систем, как и любые предсказания теории, требуют экспериментальной проверки. В эксперименте, как правило, регистрируются молекулы, летящие в одну сторону. Поэтому возникает практический интерес к определению составляющих скоростей молекул вдоль определенных направлений, например, вдоль оси : .

 

3.1. Распределение по проекциям скорости.

 

Для получения распределения по проекциям скоростей мы должны воспользоваться функцией микрораспределения, поскольку нас интересует вероятность молекуле иметь кинетическую энергию в интервале от  до , обладая при этом определенными проекциями скоростей:

                                 ().

Вероятность молекуле идеального газа иметь определенную энергию равна произведению функции распределения Гиббса при на соответствующий фазовый объем :

                                                                               (3.1)

Рассмотрим подсистему, состоящую из одной молекулы, с кинетической энергией  и запишем её фазовый объем в пространстве скоростей: .

Постоянная  уже была определена в предыдущем параграфе из условия нормировки.

  Вероятность молекуле иметь кинетическую энергию в интервале от  до , обладая при этом определенными проекциями скоростей на оси координат:  

                                                                         

определяется выражением:

                                                                                         (3.2)

Поскольку координатные оси ортогональны и соответствующие проекции скоростей независимы, эту вероятность можно представить в виде произведения:

                                                                ,

где каждый из сомножителей представляет собой распределение Максвелла (1859 г.) для проекций скорости молекул.

Например.

                                                                                                                        (3.3)

Т.о., распределение Максвелла по ой проекции скорости:

                                                        .                                            (3.4)

 

                                                                                 Это распределение симметрично относительно начала   

                                                                            координат и имеет максимум при проекции скорости

                                                                        . Положительные и отрицательные значения  

                                                                            имеют одинаковую вероятность, поэтому наиболее 

                                                                            вероятная проекция и средняя проекция скорости равны

                                                                            нулю

 

Обсудим вид полученной функции , сравнив её с функцией распределения по абсолютным значениям скоростей.

Плотность фазовых точек, как при распределении по абсолютным скоростям, так и по проекциям скоростей,  наибольшая в центре системы координат:  

                                                                                       .

                                                                   В распределении по абсолютным значениям скорости элементарный

                                                              фазовый объем растет с увеличением абсолютного значения

                                                             скорости:

                                                                                                     .

                                                              Поэтому, как мы уже отмечали, максимум функции распределения по  

                                                              скоростям  сдвигается относительно начала координат из-за более 

                                                              быстрого () на начальном участке роста элементарного фазового    

                                                              объема  по сравнению с экспоненциальным спадом плотности       

                                                              фазовых точек.

Функция распределения , как следует из (3.4), не содержит

квадратичного по скорости множителя, а элементарный фазовый объем

одинаков всюду вдоль оси . Поэтому наибольшей будет вероятность

обнаружения молекулы в окрестности точки , где плотность

фазовых точек максимальна.

 

 

Качественная зависимость функции распределения  от температуры

                                                                                         показана на следующем рисунке. Очевидно, что чем

                                                                                         выше температура, тем положе становится кривая,

                                                                                         поскольку плотность фазовых точек в начале координат,

                                                                                         как это следует из (3.1), падает с температурой, а

                                                                                         площади под кривыми одинаковы и нормированы на

                                                                                         единицу, в чем легко убедиться. Это следует                                                             

                                                                                    .  (3.5)

 

Для подсистемы, состоящей из  молекул, вероятность того, что рассматриваемая подсистема обладает кинетической энергией , находясь в определенном объеме фазового пространства , равна

                                               .                                (3.6)

Это распределение справедливо для любой системы с произвольным взаимодействием между молекулами, подчиняющейся законам классической физики.

 

3.2. Средняя кинетическая энергия молекулы на одну поступательную степень свободы

Вычислим среднюю энергию, приходящуюся на одну степень свободы поступательного движения молекулы, т.е. сосчитаем  - долю кинетической энергии, относящуюся к движению по оси :

                                                    ,                                   (3.7)

                                                           (3.8)

Так как

                                  ,

получаем

                                                                                     (3.9)

Итак, кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы, равна “половинке” , причем

                                                                                                                         (3.10)

Тогда среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекулы равно

                                                                                                                                                        (3.11)

 

 

3.3. Число ударов молекул о единицу поверхности стенки в единицу времени (плотность потока частиц).

 

 

Пусть концентрация молекул в интересующем нас объеме.

Тогда концентрация молекул, имеющих скорости  

                                                                  ,

а число молекул в выделенном объеме, имеющих скорости в интервале

                                                              .

                                                   Количество молекул, движущихся в положительном направлении оси :

                                                               

                                                    

                                                      (подстановка: ; ; .)

                                                      .

 

Т.о., плотность потока частиц  на стенку:

                                                                     ,

или, учитывая, что , получаем

                                                                               .                                                                       (3.12)

 

3.4. Давление, оказываемое термодинамически равновесным газом на стенку.

 

   Выберем площадку , нормаль к которой направлена против оси . Тогда давление газа

 

                               ; , (см. рис.)

интеграл

                                            сосчитан в п. 3.2;

   получаем

                                                                                .

 

3.5. Вероятность найти частицу со скоростью, лежащей в заданном интервале

 

  Воспользуемся распределением Максвелла в приведенном виде.

                  , где   и .

 

Приведенные в таблице данные позволяют сделать практически полезный вывод о том, что при вычислениях, проводимых для интервалов, превышающих , можно интегрировать в пределах от  до , сохраняя высокую точность вычислений.