Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2021-03-18 | 379 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Понятие отображения
Пусть Х и Y – множества элементов произвольной природы. Говорят, что задано отображение (читается: отображение f множества X во множество Y), если задан закон, по которому каждому элементу ставится в соответствие вполне определенный элемент (рис. 4.1).
Рис. 4.1
Если , то называется образом элемента ; – прообразом элемента при отображении f.
Примерами отображений являются функции, которые изучаются в школьном курсе математики и в математическом анализе, например, функция – отображение . Классный журнал является примером отображения множества учеников в классе во множество всех фамилий.
Отображение называется тождественным, если оно любой элемент оставляет на месте. Тождественное отображение множества X на себя будем обозначать . Таким образом, .
Отображение называется взаимно однозначным (или биективным, или биекцией), если оно удовлетворяет двум условиям:
1. такой, что .
2.
или одному, эквивалентному им, третьему условию:
3. такой, что
Хороший пример взаимно однозначного отображения: в театре дают билет, каждому билету соответствует некоторое кресло, причем только одно.
Отображения и называются равными, если .
Пусть заданы отображения и . Произведением (или композицией) отображений f и g называется отображение такое, что (рис. 4.2).
Рис. 4.2
Замечание. В произведении отображений сначала действует внутреннее, а затем внешнее отображение.
Примером произведения отображений является сложная функция.
Лемма 4.1. Произведение отображений ассоциативно, т. е. если заданы отображения , и , то
.
|
uДля доказательства равенства отображений и нужно показать, что .
Итак, выберем произвольное . Тогда
; (4.1)
(4.2)
Сравнивая (4.1) и (4.2), видим, что : и поэтому, .t
Отображение называется обратным к отображению , если и (рис. 4.3).
Рис. 4.3
Упражнение. Докажите следующие утверждения
1. Для того чтобы отображение f имело обратное, необходимо и достаточно, чтобы f было взаимно однозначным.
2. Если отображение имеет обратное, то это обратное определяется однозначно.
Определение линейного оператора
И его простейшие свойства
Определение. Пусть и – линейные пространства над одним и тем же полем . Отображение называется линейным оператором, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1*.
2*.
Следствие. При линейном операторе образ линейной комбинации векторов равен такой же линейной комбинации их образов, т. е. если – линейный оператор, то :
(4.3)
uДоказательство проведем методом математической индукции по количеству векторов.
а) n = 1: [2*] – истинно.
б) Предполагая, что утверждение верно для (n -1)-го вектора, доказываем его для n векторов.
= [1*] =
[2* и предположение индукции] =
= t
Примеры линейных операторов
1. Нулевой оператор : . Очевидно, этот оператор удовлетворяет условиям 1* и 2*, значит, является линейным.
2. Тождественный оператор также, очевидно, является линейным.
3. Оператор дифференцирования , который каждой дифференцируемой функции ставит в соответствие ее производную, является линейным, так как производная суммы функций равна сумме их производных, а при умножении функции на число ее производная умножается на это число.
4. Пусть – пространство свободных векторов,
Покажем, что оператор проектирования на ось является линейным.
►В аналитической геометрии доказывалось, что . Тогда
|
: = = = = ;
: = = =
Таким образом, условия 1* и 2* выполняются, а значит, оператор проектирования вектора на ось является линейным.◄
5. В пространстве векторов плоскости, закрепленных в начале координат О, рассмотрим оператор поворота вектора на угол против часовой стрелки и докажем его линейность.
► Пусть – произвольные векторы,
(рис. 4.4), . Построим и по правилу параллелограмма. Так как плоскость поворачивается
Рис.4.4 как жесткое целое, методами элементарной геометрии нетрудно показать, что при этом повороте диагональ переходит в диагональ . Значит, .
|
Теорема 4.1. Пусть и – линейные пространства над одним и тем же полем P и пусть в пространстве задан базис
, (4.4)
а в пространстве – произвольная система векторов
. (4.5)
Тогда существует единственный линейный оператор , переводящий базис (4.4) в систему (4.5), то есть такой, что
: . (4.6)
► Построение. Выберем произвольный вектор и разложим его по базису (4.4): . Положим по определению
.
Линейность. Если – произвольные векторы, , то , , , . Тогда
= [определение f ] = ;
.
Выполнение (4.6). Заметим, что все координаты вектора в базисе (4.3) равны нулю, за исключением k -й, которая равна 1. Таким образом, i -я координата вектора равна , то есть . Тогда
,
значит, условие (4.6) выполнено.
Единственность. Предположим, что существует еще один линейный оператор , , переводящий (4.4) в (4.5), то есть такой, что . Тогда : – противоречие.◄
Матрица линейного оператора
Примеры
1. Матрицей нулевого оператора в любом базисе является нулевая матрица; матрицей тождественного оператора также в любом базисе является матрица единичная.
2. Пусть . Составим матрицу оператора проектирования на ось O x в базисе . Для этого находим образы базисных векторов и разлагаем их по базису:
.
3. Составим матрицу оператора поворота плоскости на угол (см. § 2) в базисе . Из рис. 4.5 и 4.6 видно, что
|
Тогда
.
Рис. 4.5 Рис. 4.6
Итак, если в пространстве задан какой-либо базис, то каждому линейному оператору можно поставить в соответствие его матрицу в этом базисе, т. е. квадратную матрицу A n- го порядка, причем эта матрица определяется однозначно.
Пусть теперь задана квадратная матрица А с элементами из поля P. Обозначим вектор, координатный столбец которого в базисе (4.8) совпадает с i -м столбцом матрицы А. Получим упорядоченную систему векторов
()
Согласно теореме 4.1, существует единственный линейный оператор такой, что . По определению матрица этого оператора в базисе (4.8) совпадает с А.
Обозначим – множество всех линейных операторов линейного пространства над полем Р в себя. Из вышесказанного вытекает: если в задан базис, то определяется отображение
,
которое ставит в соответствие каждому линейному оператору его матрицу в этом базисе, причем это отображение взаимно однозначно. Это дает возможность в конечномерных линейных пространствах линейные операторы изучать с помощью их матриц.
При изменении базиса
Теорема 4.2. Пусть в линейном пространстве заданы два базиса:
(4.16)
и
, (4.17)
и пусть A = и – матрицы линейного оператора в базисах (4.16) и (4.17) соответственно. Тогда
, (4.18)
где Т – матрица перехода от (4.16) к (4.17).
►Чтобы найти матрицу , следует образы векторов базиса (4.17) разложить опять же по этому базису. Имеем
= [определение матрицы перехода] = = [(4.3)] = =
= [(4.11)] = = [свойство 6º § 9 гл. 3] = .
Итак,
= . (4.19)
Равенство (4.19) задает разложение вектора по базису (4.17). С другой стороны, по определению матрицы линейного оператора,
|
. (4.20)
В силу единственности координат вектора в данном базисе из (4.19) и (4.20) получаем равенство
, (4.21)
которое и дает нам связь элементов матриц линейного оператора в различных базисах. Запишем (4.21) по правилу цепочки:
. (4.22)
Так как (см. замечание в § 9 гл. 3), то из (4.22) получаем (4.18).◄
Определение. Квадратные матрицы и называются подобными, если существует невырожденная матрица Т такая, что .
Таким образом, мы видим, что матрицы линейного оператора в различных базисах подобны.
Лемма 4.1. 1. Подобные матрицы имеют одинаковые определители.
2. Если невырожденные квадратные матрицы подобны, то обратные к ним тоже подобны, причем подобие осуществляется при помощи одной и той же матрицы,
►1. .
2. Пусть матрицы и подобны и пусть подобие осуществляется при помощи матрицы . Покажем, что матрица , подобная матрице , является обратной к . Действительно, .◄
Определение. Определителем линейного оператора называется определитель его матрицы в некотором, а значит, и в любом базисе пространства .
Линейного оператора
Пусть – линейный оператор, – его матрица в некотором ортонормированном базисе , и пусть – некомпланарные векторы, а – их образы. Обозначим и координатные столбцы в выбранном базисе векторов и соответственно, , – объем параллелепипеда, построенного на векторах , а – объем параллелепипеда, построенного на векторах . Тогда, учитывая (4.15), получаем
[(4.15) § 3] [§ 5 гл. 1] =
[§ 6 гл. 1] . (4.23)
Рассмотрим теперь пространство . Выберем в нем точку и линейно независимых векторов , . Параллелепипедом в ( -мерным параллелепипедом) будем называть множество точек в
. (4.24)
Обозначим координатный столбец вектора в каноническом базисе. По аналогии с трехмерным пространством, объемом -мерного параллелепипеда (4.24) будем называть число
.
Можно доказать, что при переходе от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному это число не меняется, т.е. определение объема параллелепипеда является корректным.
Так же, как и для трехмерного пространства, для пространства доказывается равенство (4.23).
Вывод: из формулы (4.23) на основании леммы 4.1 вытекает, что коэффициент изменения объема параллелепипеда при линейном операторе равен модулю определителя этого оператора.
|
Обратный линейный оператор
Теорема 4.7. Для любого невырожденного линейногооператора существует единственный обратный оператор , который также является линейным. При этом, если А – матрица оператора в некотором базисе, то матрица оператора в том же базисе совпадает с матрицей .
► Единственность. Пусть некоторый оператор имеет два разных обратных: и . Тогда
– противоречие.
Существование. Пусть – матрица оператора в некотором базисе. Тогда, по теореме 4.4 , значит, существует . Обозначим – тот линейный оператор, матрица которого в выбранном базисесовпадаетс . Так как , и так как произведению матриц соответствует произведение операторов, то , и, таким образом, .◄
Замечание. На основании леммы 4.1 определение обратного линейного оператора не зависит от выбора базиса, т.е. является корректным.
Замечание.===( или упражнение) М ожно доказать, что любой взаимно однозначный линейный оператор имеет единственный обратный, который тоже является линейным.
Свойства изоморфизма
1. – рефлективность (изоморфизм осуществляет тождественное отображение).
2. – симметричность (если первый изоморфизм осуществляет с помощью отображения f, то второй – с помощью ).
3. { , } – транзитивность (если первый изоморфизм осуществляется с помощью отображения , второй – , то третий изоморфизм осуществляется с помощью отображения ).
Строгого доказательства этих свойств мы не приводим.
Теорема 4.8. Изоморфные линейные пространства имеют одинаковые размерности.
►Пусть и пусть – изоморфизм. Выберем в какой-либо базис
(4.27)
и покажем, что система
– (4.28)
базис пространства . Действительно, в силу взаимной однозначности f, единственный такой, что . Тогда, если , то . Значит, (4.28) – система образующих в .
Докажем теперь линейную независимость (4.28).
[линейность f ]
[взаимная однозначность f ] [линейная независимость (4.27)] {(4.28) – линейно независима}.
Таким образом, (4.28) – базис в , а значит, . ◄
Теорема 4.9. Все n -мерные линейные пространства над полем Р изоморфны между собой, т. е. существует единственное с точностью до изоморфизма n- мерное линейное пространство над полем Р.
►а) Докажем, что .
Выберем в какой-либо базис . Тогда : . Обозначим . Очевидно, отображение – взаимно однозначное. Кроме того, , :
:
Поэтому f – линейный оператор, а значит, и изоморфизм. Итак, .
б) Пусть теперь и – n- мерные линейные пространства над одним и тем же полем Р. Тогда
{ и } [симметричность] { и и } [транзитивность] { }.◄
Таким образом, мы показали, что с точки зрения математики единственным n- мерным линейным пространством над полем Р является .
Линейные формы
Определение.Линейной формой на линейном пространстве над полем называется линейный оператор .
Мы уже знаем, что множество всех линейных форм на линейном пространстве также является линейным пространством над тем же полем, что и , относительно операций сложения линейных форм и умножения линейной формы на число. Пространство будем называть сопряженным пространству , и обозначать , его элементы назовем ковекторами и тоже для удобства отметим стрелками, но снизу (например, ).
Рассмотрим -мерное линейное пространство и выберем в нем какой-либо базис:
. (4.37)
Пусть – произвольный вектор пространства , – линейная форма. Тогда
. (4.38)
Мы видим, что значение линейной формы для вектора зависит от его координат и некоторых чисел , вовсе с вектором не связанных. Обозначим и назовем эти числа компонентами формы в базисе (4.37). Теперь (4.38) можно переписать и так: .
Выберем в ещё один базис
(4.39)
и обозначим компоненты линейной формы в базисе (4.39).Тогда
= = [определение матрицы перехода] = =
= [линейность ] = .
Мы получили закон изменения компонент линейной формы при изменении базиса.
В пространстве линейных форм выберем линейных форм
(4.40)
по следующему принципу:
,
т. е. форма принимает значение, равное 0, для всех базисных векторов, за исключением одного, , для которого она принимает значение, равное 1. Существование таких форм вытекает из теоремы 4.1. Докажем линейную независимость (4.40). Как обычно, составим линейную комбинацию и приравняем ее нейтральному элементу.
{(4.40) линейно независима}.
Пусть теперь – произвольная линейная форма, – ее компоненты в базисе (4.40). Обозначим . Тогда
Таким образом, = , следовательно, система (4.40) в пространстве является системой образующих, а значит, и базисом. Итак, пространство, сопряженное к конечномерному линейному пространству, имеет ту же размерность. Базисы (4.37) и (4.40) пространств и называются сопряженными или взаимными. Следовательно, компоненты линейной формы в базисе (4.37) пространства – это её координаты во взаимном базисе пространства .
ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Понятие отображения
Пусть Х и Y – множества элементов произвольной природы. Говорят, что задано отображение (читается: отображение f множества X во множество Y), если задан закон, по которому каждому элементу ставится в соответствие вполне определенный элемент (рис. 4.1).
Рис. 4.1
Если , то называется образом элемента ; – прообразом элемента при отображении f.
Примерами отображений являются функции, которые изучаются в школьном курсе математики и в математическом анализе, например, функция – отображение . Классный журнал является примером отображения множества учеников в классе во множество всех фамилий.
Отображение называется тождественным
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!