Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2021-03-18 | 74 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение.Изоморфизмом линейных пространств называется взаимно однозначный линейный оператор. Если существует изоморфизм , то линейные пространства и называются изоморфными. Изоморфизм обозначается так: .
Так как изоморфизм – взаимно однозначное отображение, то изоморфные объекты содержат одинаковое количество элементов. Кроме того, в силу линейности, действия, производимые над элементами пространства , одновременно производятся и над элементами пространства . Поэтому в математике изоморфные объекты не различаются.
Свойства изоморфизма
1. – рефлективность (изоморфизм осуществляет тождественное отображение).
2. – симметричность (если первый изоморфизм осуществляет с помощью отображения f, то второй – с помощью ).
3. { , } – транзитивность (если первый изоморфизм осуществляется с помощью отображения , второй – , то третий изоморфизм осуществляется с помощью отображения ).
Строгого доказательства этих свойств мы не приводим.
Теорема 4.8. Изоморфные линейные пространства имеют одинаковые размерности.
►Пусть и пусть – изоморфизм. Выберем в какой-либо базис
(4.27)
и покажем, что система
– (4.28)
базис пространства . Действительно, в силу взаимной однозначности f, единственный такой, что . Тогда, если , то . Значит, (4.28) – система образующих в .
Докажем теперь линейную независимость (4.28).
[линейность f ]
[взаимная однозначность f ] [линейная независимость (4.27)] {(4.28) – линейно независима}.
Таким образом, (4.28) – базис в , а значит, . ◄
|
Теорема 4.9. Все n -мерные линейные пространства над полем Р изоморфны между собой, т. е. существует единственное с точностью до изоморфизма n- мерное линейное пространство над полем Р.
►а) Докажем, что .
Выберем в какой-либо базис . Тогда : . Обозначим . Очевидно, отображение – взаимно однозначное. Кроме того, , :
:
Поэтому f – линейный оператор, а значит, и изоморфизм. Итак, .
б) Пусть теперь и – n- мерные линейные пространства над одним и тем же полем Р. Тогда
{ и } [симметричность] { и и } [транзитивность] { }.◄
Таким образом, мы показали, что с точки зрения математики единственным n- мерным линейным пространством над полем Р является .
Образ и ядро линейного оператора
Определения. Образом линейного оператора называется подмножество линейного пространства :
.
Ядром линейного оператора называется подмножество линейного пространства :
.
Теорема 4.10. Образ линейного оператора является подпространством пространства , а его ядро – подпространством пространства .
Упражнение. Докажите теорему 4.10.
Размерность подпространства называется рангом оператора и обозначается , а размерность подпространства называется дефектом и обозначается .
Теорема 4.11. Если – линейный оператор, то
. (4.29)
► Обозначим . Так как – подпространство пространства , то . Рассмотрим сначала случай, когда . Выберем в какой-либо базис
. (4.30)
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!