Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2021-01-31 | 78 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Для установления динамики процесса рассмотрим энергетические зависимости.
Деформация стержня единичной площади попереч ного сечения в результате сжатия зоны длиной l равна:
D/ = s l
3
$'
где s — напряжение;
Е — модуль упругости Юнга.
Приложенная работа на единицу площади составит:
|
3 3
|
o 2l = s 2 mV 2
E 2 E v 0 + 2
где v о — объем стержня единичной площади сечения
на длине волны l;
m — масса стержня на длине волны;
V — скорость частиц стержня.
Объем
5 6 l l
поскольку S =1 — площадь сечения стержня;
' 1 l r r l
где r — плотность материала стержня.
Следовательно,
o l s l rl
= +
или
3 3
|
Отсюда:
=
3
o = r3 "
и s
o = (r7)
-
= = s (r7)
(r3)
Эта формула получена при прямоугольной форме волны (рис. 1.11(в)). Однако можно показать, что она верна и для любой формы волны при плоском фронте этой волны. Если фронт волны сильно искривлен (как
$
при сферическом фронте волны вблизи места взрыва сферического заряда), указанная формула будет непри менима.
Используя выражение
!
где F — сила;
t — время действия силы;
|
V — скорость.
И учитывая, что для единичной площади величина
F численно равна s, а величина m = r l , получим:
|
|
откуда и
l r -3 8 #
2 l * 7*r
где С р — скорость продольной волны.
|
Соответственно, длина волны:
l 2 7* r
В случае растягивающего напряжения скорость вол ны не изменится, а ее направление совпадает с направ лением волны сжатия. Приведенные выше формулы по зволяют найти выражения для других величин. Так как:
o = V (r E )0,5
то относительная деформация:
e = s = V
(r E )0,5
= V (r / E )0,5 = V
$
E E C p
Ускорение частиц:
e 2 s
= 2 = ×
|
Смещение частиц:
2
1 ò = 2 ò e = 3 ò s
Так как сейсмограф регистрирует либо смещение, либо ускорение, то для нахождения скорости частиц необходимо: либо дифференцировать график смеще ния, либо интегрировать график ускорения.
Используя графики рис. 1.11 (б) и рис. 1.11 (г) мож но исследовать взаимодействие двух или более волн. На рис. 1.12 (а) и 1.12 (в) мы имеем случай двух волн, движущихся навстречу друг другу. На рис. 1.12 (б) и
1.12 (г) показано, что взаимодействие волн сводится к их алгебраическому сложению.
После того, как волны минуют друг друга, они вновь принимают начальную форму. Такая же закономер ность имеет место при наложении волн, движущихся в одном направлении.
|
1.13 (а). Рассмотрим стержень с произвольной площа дью поперечного сечения, отличной от единицы. Пусть масса стержня на единицу длины будет m, а модуль упругости выразим через жесткость стержня К = SE (где S — площадь сечения стержня).
|
Тогда скорость перемещения частиц будет:
()-
) æ
ö -
()-
= s r3
= 6 çè 6
· 6 ÷ø
=)
где Р — сила, приложенная в концу стержня.
На переходном сечении I–I (слева от перехода) имеет место зависимость:
9
$
где V i — скорость приближающейся волны;
|
V t — скорость прошедшей волны.
Если материал не разрушается, результирующие скорости частиц слева от сечения и справа от него должны быть равны:
P 1
(m K )0,5
- P r
(m K )0,5
= p t
(m K
)0,5
1 1 1 1 2 2
где P i — сила, обусловленная бегущей волной;
P r — сила, обусловленная отраженной волной;
P t — сила, обусловленная прошедшей через сече ние I–I волной.
Рис. 1.12. Взаимодействие упругих волн:
а — график волн напряжений до взаимодействия; б — график волн напряжений при взаимодействии;
в — график скоростей до взаимодействия; г — график скоростей при взаимодействии.
$
Схема расположения сил относительно сечения I–I приведена на рис. 1.13 (б). Предполагается, что волна имеет форму прямоугольника и скорость в сечении волны постоянна, т. е. ускорение в волне отсутствует и сумма сил поэтому равна нулю.
Уравнение для сил имеет вид:
) & )9 2)
|
|
в — образование страженной волны.
При этом направление силы P r принимается поло жительным (оно неизвестно и определяется в каждом отдельном случае). Из выражения (64) и (65) находим:
)9 ) 0 )
Следовательно,
P i - P t + P i =
(m K )0,5
P t
(m K )0,5 "
1 1 2 2
2 P i
(m K )0,5
= P t
(m K )0,5
+ P t "
(m K )0,5
1 1 1 1 2 2
2 P t = P
(m K )0,5 + (m K )0,5
|
(m K )0,5 t (m K )0,5 ×(m K )0,5
1 1 1 1 2 2
|
|
(m K )0,5 + (m K )0,5
(m K )0,5
=
получим
|
|
$"
или
но
) =
)
( +)
) ) & )9
или
Откуда:
)
( +)
=) +)9
)9 =
)
( +)
-) "
|
|
(+)
(+)
) = ) (-)
9 (+ )
Принимая во внимание, что
m = r S;
K = E S C = (E r )0,5
|
()
æ r 63 6 ö
æ r 3
ö
|
()
è r 63 6 ø
è r 3 ø
Поскольку
E 0,5 = C r 0,5 "
следовательно,
1
|
p 1 1
p 2
то есть
æ r ö
= ç ÷ ×
è r ø
|
2
|
$#
= !
|
Порода А Порода В
|
Произведение r С р называется характеристичес ким импедансом.
Уравнение для прошедшего s t и отраженного s r
напряжения в соответствии с выражениями (66) и (67) может быть записано в виде:
s
o . (+ ) " #
(-)
o 3 s (+ )
Пример 1. Продольная волна, проходящая через породу А со скоростью 4880 м/с и напряжением 70 мПа сталкивается под прямым углом с породой В, скорость продольной волны в которой 3660 м/с. Плотность по роды А — 2900 кг/м3, а породы В — 2600 кг/м3.
Определить напряжения в отраженной и прошед шей волнах.
Решение. 1. Расчетная схема дана на рис. 1.14.
2. По формуле (68) находим значение:
= 2 r !! × # = !
2 r
×
3. По формуле (69) напряжение в прошедшей волне:
s
|
4. По формуле (70) напряжение в отраженной волне:
(-)
o 3 s ( + ) 0! * &! 0 +4
$$
|
Из уравнений (69) и (70) можно сделать следую щие выводы:
1. Длина отраженной волны l = t C p или l = t (E / r )0,5 должна быть такой же, как и бегущей; длина прошедшей волны будет отличной от длины бегущей волны.
|
2. При n > 1 отраженная волна будет отрицатель ной, т. е. с растягивающим напряжением. Проходящая волна всегда сжимающая.
При n < 1 отраженная волна будет сжимающей. При n = ¥ отраженная волна по величине равна бегу
щей, но противоположна по знаку. Это означает, что когда бегущая волна сжимающая доходит до конца стержня, она отражается как растягивающая с той же амплитудой.
Указанные выводы можно подтвердить экспери ментом. Возьмем стержень из хрупкого материала и ударим по его торцу или взрывом вызовем сжимаю щее напряжение, меньшее прочности на сжатие. От другого конца волна отразится как растягивающая и, если напряжение в ней примерно на 10 % выше проч ности стержня на растяжение, в стержне появится разрыв, как показано на рис. 1.13 (в). Это поясняет по явление отслоений обнажений пород в выработках при взрывных работах.
Рассмотрим действие страженной волны напря жений в стержне. Опыт показывает, что удар по од ному концу стержня может привести к откалыванию части стержня на другом его конце, как это показано на рис. 1.15.
При плоском фронте волны напряжений длина отколовшейся части FB стержня может быть определе на из следующих соотношений (рис. 1.15):
+: -
откуда
:
=
+
$%
;
|
|
породы отраженной
волной в стержне
Здесь АJ — длина волны; s i — напряжение в стер жне от удара; t0» -s t , напряжение на фронте отражен ной волны; Бр — прочность стержня на растяжение. Число отколовшихся кусков n получаем из соотношения:
s 0 = s p
Отсюда:
n = s 0
o p
Пример 2. По торцу стержня из горной породы нано сится удар молотком в условиях, приведенных в табл. 1.1.
Таблица 1.1
! | |
" # $ # | % |
|
1. Произойдет ли отрыв части стержня на проти воположном удару конце?
2. Если да, то какова длина оторвавшейся части?
3. Сколько частей оторвется от стержня?
Решение: 1. Расчетная схема приведена на рис. 1.16.
2. Силу удара находим из выражения:
где m — масса молотка, кг;
V — скорость удара, м/с;
F — сила удара, Н;
t — продолжительность удара, с.
$&
Рис. 1.16. Расчетная схема
3. Напряжение в стержне от удара:
o h = ×! =
+4
6
где F — сила удара;
h — КПД удара;
S — площадь сечения стержня, м2;
Так как s i > 6, то часть стержня оторвется.
4. Длина оторвавшейся части стержня:
|
ls 2
D/ =
s
%'
где l — длина упругой волны в стержне, м;
o
|
o i — напряжение от удара, мПа.
5. Длина упругой волны:
l 2
где C p — скорость упругой волны в стержне, м/с;
t — время удара, с;
l × +
Следовательно:
D/ = × +
×
6. Число оторвавшихся частей:
|
2
= 5
|
|
Рассмотрим материал, в котором зависимость де формации от напряжения нелинейная. Простейший случай материала с двумя линейными зависимостями деформации от напряжения приведен на рис. 1.17 (а).
Напряжение s 1 вызовет скорость волны V 1= (Е 1 / r )0,5.
Если в это время добавится напряжение до уровня s 2, тогда скорость волны будет: V 2= (Е 2 / r )0,5.
Если напряжение s 2 будет приложено сразу, фронт
волны разделится на два, как показано на рис. 1.17 (б). Часть волнового фронта, вызванная напряжением
Рис. 17. Влияние модуля упругости среды на волновые
характеристики:
а — линейная зависимость деформации от напряжения; б — перемещение фронта волны;
в — нелинейная зависимость деформации от напряжения; г — перемещение фронта волны.
%
Подобное, но более сложное явление, будет иметь место в материале с нелинейной характеристикой при нагрузке, как показано на рис. 1.17 (в). Здесь волна раз мажется по форме как показано на рис. 1.17 (г), со сред ним наклоном фронта волны, снижающимся с течени ем времени.
|
Зависимость между модулем упругости в трехос ном E 0 и одноосном E напряженном состоянии имеет вид:
E = E (1 - m) = E (1 - m)
0 (1 + m )(1 - 2m )
(1 - m - 2m 2)
%
где m — коэффициент Пуассона.
|
Таблица 1.2
|
10-10 |
* + 7s / | &'' ( | ||
" | ) - " 7¶ | - " m < | ) - " m¶ | ||
, - | 4.39 | 7,8 | 1,78 | 0.12 | 0.22 |
. // | 7.1 | 7.5 | 1,06 | – | – |
. | 6,6 | 7.1 | 1.08 | – | – |
) / - | 7.32 | 10.6 | 1.45 | 0,18 | 0,23 |
) ' | 5, 3 | 14,5 | 2,74 | 0.24 | 0,26 |
) # - $" | 5.05 | 5,3 | 1.05 | — | — |
) | 14,9 | 16,4 | 1.03 | – | – |
0-# | 2,25 | 5.6 | 2.50 | 0,29 | 0.27 |
0-# $" | 6,5 | 6,6 | 1,01 | 0,22 | 0.02 |
# ( | 6,7 | 8,8 | 1.32 | 0.17 | 0.07 |
7.0 | 7,9 | 1.13 | 0,13 | 0.02 | |
- $" | 8.2 | 17,2 | 2,10 | 0.34 | 0.33 |
2.6 | 2.7 | 1.04 | 0,28 | 0,13 | |
# (#$" | 4,5 | 8,6 | 1.90 | 0.21 | 0.42 |
1 # # $" | 7.8 | 8.9 | 1.15 | 0.17 | 0.33 |
7.4 | 8.1 | 1,10 | – | – | |
#$" | 6, 8 | 9.1 | 1.35 | 0.27 | 0.20 |
-& #$" | 0, 9 | 3,2 | 3,52 | 0,41 | 0.35 |
2 ' / ' #$" | 4.7 | 7.9 | 1.68 | 0.16 | 0.36 |
Скорость продольной волны в твердой среде будет:
é 3 (- m) ù
2 = ê r(- m - m )ú
ê úû
где E — модуль упругости при одноосном напряжен
ном состоянии;
r — объемная плотность.
|
Кроме продольных волн (Р — волны), существуют поперечные (S — волны), которые проходят через уп ругую среду. Скорость этих волн в трехмерной среде
6 =- r
где G — модуль упругости второго рода.
Движение частиц в таких волнах перпендикуляр но направлению их распространения. Скорость S – волн меньше скорости Р – волн примерно на треть (в зависимости от m ). Имеются также волны, бегущие по
|
Значения скоростей упругих продольных волн С p
для некоторых горных пород приведены в табл. 1.3. Наиболее обычными являются волны Релея (R —
волны), когда частицы вибрируют в плоскости, нор мальной к направлению движения волны, под прямым углом к поверхности (вниз и вверх). R — волны дей ствуют непосредственно под поверхностью земли и глубина их действия может быть рассчитана.
|
%
Следует заметить, что при переходе волны из од ной среды в другую частота и период колебаний ча стиц в ней остаются постоянными, а длина волны из меняется в соответствии с изменением ее скорости. Поглощение упругой волны средой приводит к относительному уменьшению ее динамических харак теристик (амплитуды, величины и скорости перемеще
ний, напряжений и деформаций).
Для плоской монохроматической волны при рас пространении ее в квазиоднородной среде интенсив ность или плотность снижается по закону Бугера Лам берта:
|
где J 0 — интенсивность или плотность входящей в среду волны, Дж;
К — показатель поглощения, м–1;
R — путь, пройденный волной, м.
Для пород Нюрингринского карьера получена эмпирическая зависимость:
! 0 6 +0
где С p — скорость продольной упругой волны в поро де, м/с.
|
Пример 3. В забое квершлага, проходимого по квар циту, произведен взрыв заряда ВВ. Сколько времени потребуется продольной волне, вызванной взрывом, достичь полевого штрека, расположенного в 750 м от места взрыва?
Решение. 1. Расчетная схема приведена на рис. 1.18.
%
Рис. 1.18. Расчетная схема
|
2 — полевой штрек;
Сp — скорость продольной волны;
L — расстояние до полевого
штрека.
2. Расчетные формулы:
|
= = ê
3¶ (- m¶ )
ù
ú
" 2 ê r( - m - m)ú
2 ë ¶ ¶ û
где 7¶ — динамический модуль упругости, Па;
m¶ — динамический коэффициент Пуассона;
r — плотность кварцита.
3.
|
динамический коэффициент Пуассона m¶ = 0, 07;
плотность кварцита r = 2600 кг/м3.
4. Результаты расчета:
é !! × ( -)
ù
= ê
(- ) - ×
ú =!! #! "
ë û
|
!!
= "
|
Гидродинамическая теория предполагает, что на пряжения в ударной волне достаточно высоки для того, чтобы рассматривать горную породу как сжимаемую жидкость без сопротивления сдвигу. Деформация рас сматривается как результат изменения плотности сре ды под таким высоким напряжением.
Для вывода необходимых соотношений для данно го типа волн рассмотрим случай плоской ударной вол ны в стержне (рис. 1.19).
%"
Рис. 1.19. Ударная волна:
1 — сжатая зона;
2 — несжатая зона;
3 — переходная зона;
U — скорость фронта ударной волны.
|
стоянными, что эти свойства V 0, s 0 и r 0 постоянны и
впереди волны, а между этими зонами имеется переход ная зона (рис. 1.19). Для простоты рассуждения при оцен ке относительного движения переходная зона принима ется стационарной, через которую движется цилиндр справа налево. Относительная скорость движения мате риала будет:
%#
@ 0
|
r @ 0 r6 @ 0 1
По закону сохранения импульса
D D
для плоской волны, в случае единичного сечения за время действия D t, равное одной секунде, получим:
o 6 0 s @ 0 @0 1 !
Наконец, по закону сохранения энергии, работа, про изведенная цилиндром, равна изменению кинетической энергии плюс изменение внутренней энергии материала:
1s 6 0 s 1 0 * & D A #
где D I — изменение энергии на единицу массы.
Принимая во внимание, что s 0 << s 6 и V 0 << V S, можно положить: s 0 = 0 и V 0 = 0. Тогда из (77)
из (78)
Тогда
r0 U = m; m = s S / V S ;
s S = mV S;
o S = mV S;
r0 U = s S / V S "
V S = s S / m
|
|
|
@ - r
Поэтому
m = r0 U
r6s 6 r @ =
r6 s 6
|
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем... Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого... Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности... Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции... © cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста. |