Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2021-04-18 | 134 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Арифметические операции в позиционных системах счисления производится по единому алгоритму. Так, сложение двоичных чисел происходит по классическому алгоритму «столбиком» с переносом числа, кратного двум, единицей в следующий разряд.
Рассмотрим этот алгоритм на примере двух двоичных чисел 10101012 и 1101112:
Дописывание единицы | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
Первое слагаемое | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | |
Второе слагаемое | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | |
Сумма | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Результат сложения выглядит как 100011002. Проверим результат сложения, для чего переведем все числа в десятичную систему счисления:
10101012=8510, 1101112=5510, 100011002=14010, 8510+5510=14010.
Двоичная система, являющаяся основой компьютерной арифметики, весьма громоздка и неудобна для использования человеком. Поэтому программисты используют две кратные двоичной системы счисления: восьмеричную и шестнадцатеричную. В случае шестнадцатеричной системы арабских цифр не хватает, и в качестве цифр используются первые шесть заглавных букв латинского алфавита. Примеры записи натуральных чисел от 1 до 16 в четырех системах счисления помещены в Таблице 1.
Таблица 1. Примеры записи натуральных чисел от 1 до 16 в четырех системах счисления
10-чная | 2-чная | 8-чная | 16-ичная |
0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 10 | 2 | 2 |
3 | 11 | 3 | 3 |
4 | 100 | 4 | 4 |
5 | 101 | 5 | 5 |
6 | 110 | 6 | 6 |
7 | 111 | 7 | 7 |
8 | 1000 | 10 | 8 |
9 | 1001 | 11 | 9 |
10 | 1010 | 12 | А |
11 | 1011 | 13 | В |
12 | 1100 | 14 | С |
13 | 1101 | 15 | D |
14 | 1110 | 16 | E |
15 | 1111 | 17 | F |
16 | 10000 | 20 | 10 |
Из Таблицы 1 видно, что в двоичной системе запись чисел второй восьмерки (от 8 до 15) отличается от записи первой восьмерки (от 0 до 7) наличием единицы в четвертом (справа) разряде. На этом основан алгоритм перевода двоичных чисел в восьмеричные «по триадам». Для применения этого алгоритма надо разбить двоичное число на тройки цифр (считая справа) и записать вместо каждой из троек восьмеричную цифру:
|
101011012 → 10 101 101 → 2558.
2 5 5
Крайняя левая тройка может быть неполной (как в примере), для получения полных троек можно приписать слева недостающие нули.
Убедимся в правильности алгоритма:
101011012 → 1*27+1*25+1*23+2*21+1*20=17310;
2558 →2*26+5*23+5*20=17310.
Для перевода чисел из восьмеричной системы в двоичную используется обратный алгоритм: восьмеричные цифры заменяются на тройки двоичных цифр (при необходимости слева дописываются недостающие нули):
3258 → 3 2 5 → 11 010 101 → 110101012.
011 010 101
Для перевода чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную используется алгоритм «по тетрадам». Строка двоичных цифр разбивается на четверки и вместо них записываются шестнадцатеричные цифры:
101011012 → 1010 1101 → AD16.
А D
Аналогично работает и обратный алгоритм: вместо шестнадцатеричных цифр подставляются четверки двоичных цифр.
Из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и обратно проще переводить через двоичную систему:
D516→ D 5 →1101 0101 → 110101012 → 11 010 101 → 3258.
D 5 3 2 5
При выполнении заданий на сложение чисел разных систем счисления их нужно перевести в одну систему счисления. Лучше всего пользоваться той системой, в которой должен быть представлен результат.
Задание 3. (Задание А6 демоверсии 2004 г.)
Вычислите значение суммы в десятичной системе счисления:
102+108+1016 =?10
Решение.
Переведем все числа в десятичную запись:
102+108+1016 = (1*21+0*20) + (1*81+0*80) + (1*161+0*160) = 2+8+16=2610.
Ответ: 26.
Задание 4.
Найдите сумму x+y, если x=11101012 , y=10110112. Ответ представьте в восьмеричной системе.
Решение.
Найдем сумму: 11101012 + 10110112 :
Дописывание единицы | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
Первое слагаемое | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | |
Второе слагаемое | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
Сумма | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
11101012 + 10110112 = 110100002
Переведем получившееся число из двоичной системы счисления в восьмеричную:
|
11 010 000 → 3208.
3 2 0
Ответ: 320.
Задание 5. (Задание B1 демоверсии 2004 г.)
В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Найдите это основание.
Решение.
Обозначим искомое основание через n. Исходя из правил записи чисел в позиционных счислениях 110n=n2+n1+0. Составим уравнение: n2+n=12, найдем корни: n1=-4, n2=3. Корень n1=-4 не подходит, так как основание системы счисления, по определению, натуральное число большее единицы. Проверим, подходит ли корень n=3:
1103=1*32+1*31+0=9+3=1210
Ответ: 3.
Задание 6.
В классе 11112 девочек и 11002 мальчиков. Сколько учеников в классе?
Решение.
11112=1*23+1*22+1*21+1*20→8+4+2+1=1510.
11002=1*23+1*22+0*21+0*20→8+4=1210
1510+1210=2710
Ответ: в классе 27 учеников.
Задание 7.
В саду 100х фруктовых деревьев, из них 33х яблони, 22х груши, 16х слив и 5х вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья?
Решение.
100х = 33х + 22х + 16х + 5х
1*х2=3*х1+3*х0+2*х1+2*х0+ 1*х1+6*х0+5*х0
х2=3х+3+2х+2+ 1х+6+5
х2-6х-16=0
D=b2-4ac=36+4*16=36+64=100
x1,2= = (6±10)/2
x1= - 2 – не удовлетворяет смыслу задачи,
x2= 8 – основание искомой системы счисления.
Ответ: деревья посчитаны в восьмеричной системе счисления.
Задание 8.
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 17 оканчивается на 2.
Решение.
Последняя цифра в записи числа представляет собой остаток от деления числа на основание системы счисления. Поскольку 17-2=15, то искомые основания систем счисления будут являться делителями 15, это: 3, 5, 15.
Проверим наш ответ, представив число 17 в соответствующих системах счисления:
17 | 3 | 17 | 5 | 17 | 15 | ||||||
-15 | 5 | 2 | -15 | 3 | 2 | -15 | 1 | ||||
2 | -4 | 2 | 2 | 2 | -2 | 1 | 2 | ||||
1 | -2 | 1 | 1 | ||||||||
0 | |||||||||||
1710 = 10123 | 1710 = 1125 | 1710 = 1215 |
Ответ: 3, 5, 15.
Задание 9.
В системе счисления с некоторым основанием число 17 записывается как 101. Укажите это основание.
Решение.
1710 = 101х = 1*х2 + 0*х1+ 1 х0
17=х2+1,→ х2=16,→ x1,2=± =±4
x1= - 4 – не удовлетворяет смыслу задачи,
x2= 4 – основание искомой системы счисления.
Ответ: 4.
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!