Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2020-11-19 | 96 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это же число:
.
Действительно, по свойствам векторных операций
.
2. При сложении векторов соответствующие координаты складываются (вычитаются): если
,
то
.
Действительно, по свойствам векторных операций
.
2.6. Скалярное произведение
Определение скалярного произведения
Пусть угол между ненулевыми векторами и — рис. 2.12
Рис. 12.
Скалярным произведением двух векторов и называется число (или ), задаваемое двумя условиями:
1) если или , то ;
2) если и , то , где — угол между векторами и
Таким образом, скалярное произведение ненулевых векторов равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
Свойства скалярного произведения
1. Коммутативность: .
Действительно, оба выражения состоят из одних и тех же числовых множителей.
2. Выражение скалярного произведения через проекции:
.
Действительно, по свойству проекций
.
3. Дистрибутивность относительно сложения векторов:
.
Действительно, по свойству проекций и предыдущему свойству
.
4. Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения:
.
Действительно,
.
5. Критерий ортогональности векторов. Если и — ненулевые векторы, то их ортогональность равносильна равенству нулю скалярного произведения:
.
Действительно,
.
6. Скалярное произведение базисных ортов. Справедливы равенства:
;
.
Действительно, первая цепочка равенств следует из свойства 5. Далее, если два вектора совпадают, то угол между ними равен нулю; тогда
.
Итак, скалярное произведение одноимённых ортов равно единице, а разноимённых — нулю
|
7. Модуль вектора выражается через скалярное произведение: , поэтому
.
8. Косинус угла между векторами выражается через скалярное произведение:
.
2.7. Геометрический смысл координат вектора
Если вектор имеет в ортонормированном базисе координаты , то
; ; .
Действительно, ; умножим обе части скалярно на орт :
.
По свойству 2
;
с другой стороны, по свойству 6
.
Замечание. Поскольку в декартовой системе координат направление оси Ox совпадает с направлением орта , то первую координату обозначают также через , аналогично вторую — через , третью — через :
.
Скалярное произведение в ортонормированном базисе
Если векторы и имеют в ортонормированном базисе координаты , то для их скалярного произведения справедлива формула
.
Убедимся в этом:
Поскольку скалярное произведение одноимённых ортов равно единице, а разноимённых — нулю, то в правой части остаются только три слагаемых:
.
Векторные характеристики в координатной форме
Выражение модуля вектора через координаты имеет вид:
.
Выражение для косинуса угла между векторами:
.
.
Пример. Пусть в ортонормированном базисе
.
Тогда . Заключаем отсюда, что векторы не ортогональны. Далее,
.
;
поскольку , то угол между векторами является тупым.
Векторы плоскости
Определения, данные для векторов пространства, сохраняются и для векторов плоскости. Декартова система координат Oxy связана с ортонормированным базисом . Определение скалярного произведения векторов и имеет прежний вид:
1) если или , то ;
2) если и , то , где — угол между векторами и .
Сохраняется определение координат вектора как однозначно определённых коэффициентов в его представлении линейной комбинацией базисных ортов:
.
При этом
.
Далее,
.
Если угол между векторами равен , то
Векторное произведение
Операция векторного произведения вводится только для векторов пространства, причём, в отличие от скалярного произведения, её результатом является вектор.
|
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!