Инерционное интегрирующее звено

(Слайд 27)

Звено описывается дифференциальным уравнением:

                                   (4.32)

или

.                              (4.33)

Передаточная функция звена

.                            (4.34)

Примером такого звена является двигатель постоянного тока, если в качестве входной величины рассматривать напряжение на якоре, а в качестве выходной – угол поворота вала двигателя.

Интегрирующее звено с замедлением можно представить как совокупность двух звеньев, включенных последовательно, – идеального интегрирующего и апериодического звена первого порядка.

(Слайд 28)

Для нахождения переходной характеристики удобно передаточную функцию представить в виде суммы

,                  (4.35)

что позволяет представить решение дифференциального уравнения в виде суммы решения для идеального интегрирующего звена и решения для апериодического звена первого порядка, которые были рассмотрены ранее. В результате получаем переходную функцию звена при х ₁ = 1(t) и нулевых начальных условиях

                  (4.36)

и функцию веса

.                                (4.37)

(Слайд 29)

Временные характеристики изображены на рис. 4.14. На характеристиках изображены построения, с помощью которых можно по экспериментальной характеристике определить параметры звена.

Рис. 4.14. Переходная функция (а) и дельта-функция (б)
инерционного интегрирующего звена

(Слайд 30)

Частотная передаточная функция, её модуль и фаза равны соответственно

;                      (4.38)

            (4.39)

(Слайд 31)

Амплитудная, фазовая и амплитудно-фазовая характеристики изображены на рис. 4.15. Из характеристик видно, что звено также пропускает сигналы тем сильнее, чем меньше их частота. В отличие от предыдущего звена фазовый сдвиг равен – 90° только на очень низких частотах. С ростом частоты фазовый сдвиг  при .

Рис. 4.15. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) инерционного интегрирующего звена

Построение ЛАХ выполняется по выражению

.                        (4.40)

(Слайд 32)

Сначала проводится вертикальная линия (рис. 4.16), соответствующая сопрягающей частоте w = 1 / T. При частотах, меньших, чем сопрягающая, можно приближенно положить .

Это будет аналогичная предыдущему звену прямая с отрицательным наклоном 20 дБ/дек, имеющая частоту среза w _ср = k. Прямую можно провести в области малых частот до сопрягающей частоты (прямая а– b).

Правее сопрягающей частоты, то есть при частотах w > 1 / T, в выражение (4.40), можно пренебречь единицей по сравнению с . Поэтому вместо (4.40) можно принять приближенное выражение

.                                     (4.41)

Этому выражению соответствует прямая с отрицательным наклоном 40 дБ/дек. Поэтому правее точки b нужно провести прямую с наклоном 40 дБ/дек (прямая b–c). Ломанная прямая а–b–c представляет собой асимптотическую ЛАХ. Действительная ЛАХ (показана пунктиром) будет иметь наибольшее отклонение от асимптотической в точке b, то есть при сопрягающей частоте. Ошибка в этой точке будет составлять 3 дБ, то есть в линейном масштабе ошибка амплитуды будет в  раз меньше. По мере удаления от сопрягающей частоты влево и вправо действительная ЛАХ будет сливаться с асимптотами, то есть прямыми а–b и b–с.

Рис. 4.16. ЛАХ и ЛФХ инерционного интегрирующего звена

ЛФХ строится суммированием постоянного фазового сдвига y₁ = – 90° и переменного фазового сдвига y₂ = – аrctg w Т. При сопрягающей частоте имеем y₂ = – 45° и y = y₁ + y₂ = – 135°.

Из логарифмических характеристик видно, что звено приближается к идеальному интегрирующему звену при частотах, меньших сопрягающей, и тем точнее, чем меньше рабочая частота по сравнению с сопрягающей.