Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2020-12-07 | 76 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Дано 2 ряда с положительными членами (1) и (2) и - число (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.
Доказательство:
- число по определению предела последовательности:
с которого
Пусть (2) сходится, тогда сходится и
Из правой части следует, что (1) ряд меньше сходящегося ряда по 1 признаку сравнения (1) сходится
Пусть (2) расходится выберем настолько малым, чтобы оставалось >0, для знакоположительности ряда - расходится. Из левой части (*) (1) ряд>ряда расходящегося по I признаку сравнения (1) ряд расходится.
Конец доказательства.
Примеры:
1)
2)
3)
Признак сходимости Даламбера
Дан ряд с положительными членами и
Если - сходиться
Если - расходиться
Если - вопрос о сходимости не решен.
Доказательство:
, начиная с которого
1) Пусть D<1 выберем настолько малым, чтобы
обозначим
рассмотрим правую часть
Рассмотрим ряд из членов геометрической прогрессии , т.к ряд q<1 этот ряд сходится.
Т.к исходный ряд меньше сходящегося ряда из членов меньшего ряда то исходный ряд сходится по I признаку сравнения.
2) Пусть D>1 выберем настолько малым, чтобы >1 <(D- )
из левой части >
следовательно члены ряда растут не стремится к 0 , ряд расходится по достаточному признаку расходимости.
3) D=1
Возьмем 2 обобщенно гармонических ряда – расходится и - сходится.
Для D=
Для D=
При D=1 ряд может сходится или расходится и вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Конец доказательства.
Примеры:
1)
2)
3)
Радикальный признак Коши.
Дан ряд с положительными членами и
Если - сходиться
Если - расходиться
Если - вопрос о сходимости не решен
|
Доказательство:
по определению , начиная с которого
1) Пусть С<1 выберем настолько малым, чтобы , тогда из правой части < , ряд , где q<1 сходится как ряд из членов геометрической прогрессии, со знаменателем <1, тогда исходный ряд сходится по I признаку сравнения, т.к его члены меньше членов сходящегося ряда.
2) Пусть С>1 выберем настолько малым, чтобы >1 из левой части > ; (q>1) расходится, как ряд из членов геометрической прогрессии, расходится по I признаку сравнения, т.к его члены больше членов сходящегося ряда.
3)С=1
Возьмем 2 обобщенно гармонических ряда – расходится (p=1) и -сходится (p=2>1) и покажем, что С=1.
Таким образом при С=1 ряд может как сходится так и расходится.
Конец доказательства.
Примеры:
1)
2)
3)
Интегральный признак Коши.
Дан ряд с положительными членами , что () и функция f(x) – положительная и убывающая, связанная с рядом равенством f(n)= . Тогда несобственный интеграл и сходится и расходится одновременно.
Доказательство:
f(n)=Un
n
S ступенчатой фигуры над рядом (f(x))
- n частичная сумма ряда.
S ступенчатой фигуры под графиком функции f(x)
- n+1 частичная сумма ряда.
очевидно неравенство
Пусть несобственный интеграл сходится
Из левой части <числа - ограничена сверху числом - сходится.
Пусть расходится из правой части (*) неограничен ряд расходится.
Конец доказательства.
Докажем, с помощью интегрального признака Коши, что обобщенно-гармонический ряд:
свяжем с эти рядом несобственный интеграл
(доказано в несобственном интеграле) исходный несобственный интеграл сходится или расходится одновременно.
Примеры:
1)
2)
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!