Процесс двухпозиционного регулирования и особенности настройки двухпозиционных регуляторов при наличии запаздывания в системе

а) Объект без самовыравнивания с запаздыванием

Так как запаздывающее звено имеет передаточную функцию

,                                  (1-24)

то с учетом (1-7), объект без самовыравнивания с запаздыванием имеет передаточную функцию

,                                      (1-25)

 

где  – время запаздывания.

Таким образом, объект без самовыравнивания с запаздыванием можно представить в динамическом отношении в виде интегрирующего и запаздывающего звеньев, соединенных последовательно (рис. 1-15, а).

 

Рис. 1-15. Представление объекта с запаздыванием в виде объекта без самовыравнивания, последовательно соединенного со звеном запаздывания (а)
при отсутствии (б) и наличии (в) запаздывания в нем при постоянном регулирующем воздействии на объект

 

Установившийся процесс регулирования в системе и регуляторе при симметричной (а) и несимметричной (б) статических характеристиках двухпозиционного регулятора с зоной неоднозначности в случае объекта с самовыравниванием

При поступлении на вход регулятора ступенчатого воздействия  выходная величина интегрирующего звена, которая является внутренней промежуточной величиной  объекта, (см. рис. 1-15), будет изменяться по прямой . Так как при прохождении через запаздывающее звено сигнал не меняет своей формы, а только сдвигается по времени на величину запаздывания , то выходная величина объекта (рис. 1-15 в) будет изменяться по прямой .

В связи с тем, что регулятор реагирует на изменение выходной величины объекта, диапазон колебаний регулируемой величины (рис. 1-16) при наличии запаздывания в системе будет больше зоны неоднозначности статической характеристики (рис. 1-7 в) двухпозиционного регулятора.

 

Рис. 1-16. Установившийся процесс регулирования в системе и регуляторе при симметричной статической характеристике двухпозиционного регулятора с зоной неоднозначности в случае объекта без самовыравнивания при наличии запаздывания в системе

 

При симметричной характеристике регулятора длительность положительного импульса равна длительности отрицательного импульса и определяется выражением

.                                       (1-26)

 

Период колебаний

.                                  (1-27)

 

Частота переключений регулятора

.                                   (1-28)

 

Диапазон колебаний регулируемой величины

.                                           (1-29)

Из выражений (1-26) - (1-29) следует, что чем больше время запаздывания в системе, тем больше диапазон колебаний регулируемой величины и тем меньше частота переключений регулятора.

Для объектов с запаздыванием в большинстве случаев целесообразно применении е регуляторов без зоны неоднозначности (рис. 1-5, в).

В этом случае период колебаний будет равен

.                                       (1-30)

Число переключений регулируемой величины

.                                        (1-31)

Диапазон колебаний регулируемой величины

.                                         (1-32)

Если регулятор имеет несимметричную статическую характеристику с зоной неоднозначности (рис. 1-7, б), то длительность положительного импульса будет равна

.                                   (1-33)

Длительность отрицательного импульса

.                                    (1-34)

Период колебаний

.               (1-35)

Частота переключений регулятора

.                                       (1-36)

Диапазон колебаний регулируемой величины

.                                  (1-37)

Положительная амплитуда отклонения регулируемой величины

.

Отрицательная амплитуда отклонения

.

Так как положительная и отрицательная амплитуды колебаний не равны, то среднее значение регулируемой величины отличается от нулевого на величину

                             (1-38)

Следовательно, при наличии запаздывания в системе и несимметричной статической характеристике регулятора при установке задания регулятору необходимо заданное значение регулируемой величины устанавливать отличной от требуемого ее значения по условиям технологии на величину . В этом случае среднее значение колебаний регулируемой величины в процессе регулирования будет равно ее заданному значению по требованию технологии.

При наличии постоянного по величине возмущающего воздействия на объект , согласно (1-32), в законе регулирования появляется дополнительная погрешность

                                   (1-39)

Таким образом, чем больше запаздывание в системе, тем больше погрешность регулирования при возмущающих воздействиях на систему.

б) Одноемкостный объект с самовыравниванием

С учетом (1-16), передаточная функция объекта с самовыравниванием при наличии запаздывания  будет равна:

                                    (1-40)

Установившийся процесс регулирования при симметричной статической характеристике двухпозиционного регулятора с зоной неоднозначности имеет вид, представленный на рис. 1-17.

Рис. 1-17. Установившийся процесс в системе с запаздыванием при симметричной статической характеристике двухпозиционного регулятора с зоной неоднозначности в случае объекта с самовыравниванием

 

Длительности положительного и отрицательного импульсов определяются выражением

.                               (1-41)

Период колебаний

.                           (1-42)

Диапазон колебаний

.                 (1-43)

Колебания регулируемой величины симметричны относительно заданного значения. На рис 1.18 представлен установившийся процесс регулирования при несимметричной статической характеристике двухпозиционного регулятора с зоной неоднозначности.

 

Рис. 1-18. Установившийся процесс в системе с запаздыванием при несимметричной статической характеристике двухпозиционного регулятора с зоной неоднозначности в случае объекта с самовыравниванием

 

В этом случае продолжительность положительного импульса равна:

.                         (1-44)

Длительность отрицательного импульса равна:

.                         (1-45)

Период колебаний

.(1-46)

 

Диапазон колебаний

.                     (1-47)

Положительная амплитуда отклонения регулируемой величины

.              (1-48)

Отрицательная амплитуда

.                  (1-49)

Так как положительная и отрицательная амплитуды колебаний не равны, то среднее значение регулируемой величины отличается от нулевого (см. рис. 1.18) на величину

.                             (1-50)

Постоянную погрешность регулирования можно устранить путем коррекции задания регулятору.

При поступлении на объект постоянного возмущающего воздействия  в законе регулирования появляется дополнительная постоянная погрешность

                                      (1-51)

Если двухпозиционный регулятор не имеет зоны неоднозначности, то для этого случая можно найти выражения, определяющие процесс регулирования, из формул (1-41) – (1-49), полагая в них а = 0. Постоянная погрешность регулирования (12-50) при этом остается такой же.

Упрощенный метод расчета инерционных систем
с двухпозиционным регулятором

Рассмотрим упрощенный метод расчета инерционных систем с двухпозиционным регулятором

При относительно небольшом диапазоне установившихся колебаний регулируемой величины экспоненциальный процесс регулирования можно заменить линейным

.                                  (1-52)

Тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс (скорость движения) равен

.                                          (1-53)

Если объект не имеет запаздывания, то при симметричной статической характеристике регулятора с зоной неоднозначности, аналогично (1-9) – (1-12), получим выражения, определяющие процесс регулирования

.                                 (1-54)

При несимметричной статической характеристике регулятора с зоной неоднозначности, аналогично (1-14) и (1-15), найдем

.                         (1-55)

При наличии запаздывания в системе и симметричной характеристики регулятора с зоной неоднозначности соответственно найдем:

.                          (1-56)

При наличии запаздывания в системе и несимметричной характеристики регулятора с зоной неоднозначности, получим, разделив время, необходимое для прохождения диапазона изменения  на скорость движения, равную производной от закона движения :

. (1-57)

При расчете процесса регулирования упрощенным методом наибольшая погрешность расчета получается при наличии запаздывания в системе.

Определим погрешность при расчете упрощенным методом диапазона колебаний регулируемой величины при наличии запаздывания в системе. При симметричной статической характеристике регулятора, найдем

или

.                       (1-58)

Относительная погрешность равна

.                  (1-59)

или

.                     (1-60)

При симметричной статической характеристике двухпозиционного регулятора без зоны неоднозначности (а = 0) погрешность расчета (1-60) в процентах определяется выражением

.                         (1-61)

Из выражения (1-58) – (1-61) видно, что с увеличением отношения  величина ошибки регулирования увеличивается. На рис. 1-19 погрешность расчета в процентах (1-61) представлена графически. Как видно из рис. 1-19 погрешность расчета при  в случае симметричной статической характеристики двухпозиционного регулятора без зоны неоднозначности не превышает 10%. При  погрешность расчета находится в пределах 5%.

Рис. 1-19. Ошибка расчета диапазона колебаний регулируемой величины объекта с самовыравниванием при линеаризации переходного процесса при симметричной статической характеристике двухпозиционного регулятора без зоны неоднозначности

 

Рассмотрим несколько примеров определения параметров настройки и расчета систем автоматического регулирования с двухпозиционным регулятором при наличии запаздывания в системе.

Пример 4. В системе автоматического регулирования температуры нагревательной электропечи, принципиальная схема которой представлена на рис. 1-8. Напряжение, снимаемое с автотрансформатора,  В. Напряжение сети . Сопротивление нагревательного элемента R = 900 Ом. Заданное значение температуры  = 472 К (). Теплоемкость печи с = 50,208 кДж/К. Коэффициент теплоотдачи А =0,08333 Дж/(с ).

Нагревательная печь в динамическом отношении является инерционным звеном второго порядка, которое приближенно может быть заменено звеном первого порядка с чистым запаздыванием, равным  = 30 с. Номинальное напряжение реле на выходе электронного усилителя .

Напряжение срабатывания реле . Коэффициент возврата реле . Коэффициент усиления участка системы автоматического регулирования от объекта до входа ЭУ в абсолютных единицах .

Требуется произвести расчет переходного процесса системы в установившемся состоянии. Передаточная функция объекта определяется выражением (1-40).

Определим постоянную времени нагревательной печи

  с

В установившемся режиме количество энергии, потребляемой печью, равно количеству энергии, отдаваемой ею в окружающую среду

или

где  – количество тепла, выделяемого нагревательным элементом в единицу времени, Вт;

     – коэффициент передачи нагревательной печи в абсолютных единицах, который равен:

.

При изменении количества тепла, выделяемого нагревательным элементом на , температура нагревательный печи изменится на  и тепловой баланс печи в установившемся состоянии запишется

или

.

В относительных единицах запишем

.

Обозначив в относительных единицах

,  и .

Получим

Таким образом, передаточный коэффициент нагревательной печи, как объекта регулирования, в относительных единицах равен единице.

Количество энергии в единицу времени, необходимое для поддержания заданного значения температуры , равно:

 кВт.

Количество энергии в единицу времени, выделяемой нагревательным элементом при включении регулятора:

 кВт.

Регулирующее воздействие регулятора при его включении

и выключении

.

Согласно (1-6) находим зону неоднозначности регулятора через  и  – напряжения срабатывания и отпускания реле и  – коэффициента усиления участка системы автоматического регулирования от объекта до входа ЭУ.

или в относительных единицах

.

Длительность включения нагревательного элемента определяем по
(1-44).

По выражению (1-45) находим длительность пауз

Период колебаний

.

Согласно (1-47) находим диапазон колебаний регулируемой величины

В абсолютных единицах

Задание регулятору необходимо скорректировать на величину

или в абсолютных единицах

.

Положительная и отрицательная амплитуды колебаний регулируемой величины

,

или в абсолютных единицах

,

.

Пример 5. Для системы автоматического регулирования, рассмотренной в примере 4, определить, на сколько уменьшится диапазон колебаний регулируемой величины при замене выходного реле электронного усилителя с коэффициентом возврата  на реле с коэффициентом возврата .

Зона неоднозначности регулятора при этом реле равна

.

В относительных единицах

.

Диапазон регулируемой величины

.

В абсолютных единицах

.

Таким образом, замена реле даст уменьшение колебания регулируемой величины на

 

Пример 6. Произвести расчет переходного процесса в системе автоматического регулирования, рассмотренной в примере 4, приближенным методом и определить погрешность расчета.

Согласно выражению (1-57) определяем диапазон колебания регулируемой величины

.

В абсолютных единицах

.

Погрешность расчета колебаний приближенным методом составляет

Пример 7. В системе автоматического регулирования, рассмотренной в примере 4, необходимо уменьшить диапазон колебаний регулируемой величины до .

Определить коэффициент усиления  электронного усилителя ЭУ двухпозиционного регулятора, обеспечивающий заданный диапазон колебаний регулируемой величины, если коэффициент усиления участка «выход объекта – вход ЭУ» равен .

Находим допустимый диапазон колебаний регулируемой величины в относительных единицах

.

Из выражения (1-47) находим допустимую зону неоднозначности регулятора

 

Из выражения (1-6) находим требуемый коэффициент усиления ЭУ, учитывая, что

.

Таким образом, за счет повышения коэффициента усиления ЭУ уменьшается зона неоднозначности регулятора, в результате чего сокращается диапазон колебаний регулируемой величины. Однако следует заметить, что при наличии запаздывания в системе только за счет увеличения коэффициента усиления регулятора не всегда возможно уменьшить диапазон колебаний регулируемой величины до необходимого значения. Так, в нашем примере даже при 2 а = 0, что теоретически соответствует бесконечно большому значению коэффициента усиления ЭУ, диапазон колебаний остается достаточно большим.

или

.

Если такой диапазон колебаний регулируемой величины для конкретной системы автоматического регулирования является недопустимым, то необходимо применять специальные методы улучшения качества двухпозиционного регулирования.