Глава 13. Бесконечность не так проста

 

Было только полшестого утра — слишком поздно для ночного перекуса, и слишком рано для раннего завтрака. Пробегая сквозь серый туман, Архканцлер Чудакулли заметил свет в Большом Зале. Заранее набравшись решительности на случай если у Думминга были студенты, он открыл дверь.

Внутри было несколько студентов. Один из них уснул под краном кофеварки.

Думминг Тупс всё ещё размахивая руками сквозь линии временных последовательностей, забравшись на стремянку.

— Что нибудь получается, Тупс? — спросил Чудакулли, продолжая бег на месте.

Как раз вовремя Думмингу удалось сохранить равновесие и не упасть.

— Эм… общий прогресс так сказать, сэр. — ответил он и спустился вниз.

— Частичка большого дела, да? — спросил Чудакулли.

— Да, сэр, и довольно сложного. Хотя у нас готовы указания. Мы почти готовы.

— Вдарь им посильнее, что-то вроде того? — спросил Чудакулли, размахивая кулаками в воздухе.

— Скорее всего, сэр. — зевнул Думминг.

— Я тут подумал пока бегал, Тупс. ну это моя привычка, знаешь, — произнёс Чудакулли.

Он собирается говорить о глазе, подумал Думминг. Я сейчас неплохо разбираюсь в глазах, но затем он спросит про ос-наездников, а это озадачивает, а потом он спросит как именно происходит эволюция и есть там бог-пространство. А затем он спросит, как можно из слизняка из океана получить человека, не используя ничего кроме солнечного света и времени. А после возможно спросит: если люди знают о том, что они люди, знают ли слизни о том, что они слизни? Какая часть слизняка это знает? Откуда тогда берётся самосознание? А было ли оно у больших ящериц? А для чего оно? А что насчёт воображения? И даже если я смогу на всё это как-то ответить, он скажет: слушай, Тупс, ты на всё так точно отвечаешь. Если я спрошу тебя о том, как из большого взрыва можно получить черепах, ложки и Дарвина, то ты придумаешь ещё больше точностей. Как всё это произошло? Кто всё это начал? Как может взорваться путота? В «Теологии видов» куда больше смысла..

— Тупс, с тобой всё в порядке?

Он понял, что Архканцлер смотрит на него с нехарактерным участием.

— Да, сэр. Просто немного устал.

— У тебя губы шевелились.

Думминг вздохнул.

— Так о чём вы подумали, сэр?

— Множество Дарвинов совершат это путешествие, верно?

— Да. Бесконечное множество.

— Хорошо, в таком случае..- начал Архканцлер.

— Но ГЕКС сказал, что тех бесконечностей, в которых он не закончил путешествия, куда меньше. — ответил Думминг. — И ещё меньше бесконечностей тех, кто вовсе не оправлялся в путешествие. А число бесконечностей, где он даже не родился..

— Бесконечностей? — переспросил Чудакулли.

— Во всяком случае — ответил Тупс, — Однако, в этом есть и положительные моменты.

— Быть того не может, Тупс.

— Хм, сэр, как только «Происхождение» будет опубликовано, то число вселенных в которых оно будет опубликовано так же станет бесконечным за бесконечно малый промежуток времени. Так что даже при том, что книга будет написана всего один раз, она будет написана, выражаясь человеческим языком, в невыразимых миллиардах смежных вселенных.

— Я так полагаю, бесконечное число раз? — спросил Чудакулли.

— Да, сэр, но извините, конечно, но бесконечность — не так проста.

— Прежде всего нельзя представить себе её половину.

— Это верно. В действительности это и не число вовсе. До него нельзя досчитать. И в этом-то вся проблема. ГЕКС прав, самое странное число в мультивселенной это не бесконечность, а единица. Только один Чарльз Дарвин напишет «Происхождение видов»..это просто невозможно.

Чудакулли сел.

— Я буду чертовски рад, когда он закончит эту книгу. — произнёс он, — Мы должны разобраться со всей этой узловатостью, вернуть его обратно, и я лично подам ему перо.

— Эм… не всё сразу, сэр. — ответил Думминг. — Он не начнёт писать пока не вернётся домой.

— Справедливо. — произнёс Чудакулли. — На корабле не очень-то и попишешь.

— Сперва он должен всё обдумать, сэр. — ответил Думминг. — Я это хочу сказать.

— И как долго? — спросил Чудакулли.

— Лет примерно двадцать пять, сэр.

— Что?

— Он хотел быть уверен, сэр. Он занимался исследованиями и писал письма. Много писем. Он хотел знать всё обо всём — о шелкопрядах, овцах, ягуарах… Он хотел быть уверен, что прав. — Думминг пролистал бумаги в своей папке. — Вот что меня заинтересовало. Это отрывок из его письма 1857 года, и вот о чём в нём говорится. «какой скачок между отчётливым разнообразием, созданным природой и видами созданными отдельными актами творения Руками Божьими.»

— И это пишет автор «Происхождения»? Больше похоже на автора «Теологии».

— Он собирался сделать большое дело. Он волновался.

— Я читал «Теологию», — ответил Чудакулли. — Частично. И она отнюдь не лишена смысла.

— Да, сэр.

— То есть, если бы мы не наблюдали создание этого мира с самого первого дня, можно было подумать что..

— Я понял, о чём вы хотите сказать, сэр. И думаю, что именно поэтому «Теология» оказалась столь популярной.

— Дарвин, то есть наш Дарвин, подумал, что ни один бог не стал бы создавать столько различных видов усоногих ракообразных. Это же такое расточительство. Он подумал, что совершенное существо не стало бы этим заниматься. Но другой Дарвин, которой был религиозен, сказал что в этом-то всё дело. Говорят, что подобно тому, как человек стремится к совершенство, то и всё животные должны делать тоже самое. И растения. Как говорится, выживает сильнейший. Создания не совершенны, но у них есть врождённое…стремление к совершенству как часть общего Замысла внутри них. Они могут эволюционировать. Фактически, это даже хорошо, так как означает, что всё становится только лучше.

— Звучит логично. — ответил Чудакулли. — По крайней мере, с точки зрения бога.

— А ещё есть все эти легенды про Сады Эдема и Конец Света.

— Я должно быть пропустил эту главу. — произнёс Чудакулли.

— Это просто завуалированная сказка о золотом веке в начале мира и о грядущих разрушениях в конце, сэр. Дарвин считал, что летописцы древности все перепутали. Ну как тролли, помните? Они еще думали, что прошлое впереди, потому что они могут его видеть. В самом деле ужасные разрушения происходили в начале рождения мира.

— А, ты про эти красные раскаленные скалы, сталкивающиеся планеты и остальные штуки, да?

— Именно. И конец света, ну, как ожидается, был бы дорогой совершенных существ и растений в идеальный сад, принадлежащий Богу.

— За поздравлениями и так далее? Призы вручены, оценки даны?

— Вполне возможно, сэр.

— Что-то вроде нескончаемого пира?

— Он говорил не так, но, пожалуй, что да.

— А что насчет ос? — спросил Чудакулли. — Их же всегда берут. И муравьев тоже.

Думминг был готов к этому вопросу.

— Об этом было множество споров, — сказал он.

— И чем они закончились? — поинтересовался Архканцлер.

— Было решено, что раз они вызывают так много разногласий, их заслуги не будут учитываться.

— Ха! И Дарвин протащил все это через священников?

— О да. По крайней мере, через большую их часть.

— Но он же перевернул вверх ногами весь их мир!

— Ну, это все равно бы произошло, сэр. Зато он не понизил статус Бога. Люди и так уже ковыряли землю, доказывая, что мир очень стар, что горы раньше были морским дном, а давным давно существовало множество странных животных. Идеи о том, что Дарвин называл естественным отбором или просто эволюцией, уже давно витали в воздухе. И это было грозным предзнаменованием. Однако Теология видов говорит, что все это было спланировано. Это был огромный План, простирающийся на миллионы лет, включающий в себя даже планету! Все эти землетрясения и извержения вулканов, затопление земель, это было преобразование планеты! Мир, на котором в конце концов окажется твердая земля под ногами, подходящая атмосфера, минералы, которые легко добыть, моря, полные рыбы…

— Мир для людей, другими словами.

— Даже один словом, сэр. — ответил Думминг. — Люди. Венец природы. Существо, которое знает кто оно есть, даёт имена всем вещам и имеет понятие о Божестве. Этот Дарвин позже напишет другую книгу под названием «Возникновение человека». Как ни странно, наш Дарвин собирается написать похожую книгу под названием «Происхождение человека»..

- О, вижу у него проблемы с тем чтобы выбирать слова. — произнёс Чудакулли.

— Возможно. — ответил Думминг. — Теологического Дарвина сочли смелым, но… приемлемым. Кроме того, было слишком много доказательство того, что эта планета была создана для людей. Религии изменила довольно многое, как в общем и техномансия. Бог был ещё в силе.

— Миленько. — произнёс Архканцлер. — Так что там с динозаврами?

— Простите, сэр?

— Ты знаешь о чем я, мистер Тупс. Мы же видели их, припоминаешь? Не те огромные, а маленькие, раскрашивающие свои тела и охотящиеся на других животных? А осьминоги, строящие города под водой? И это я еще про крабов не вспоминал. А, кстати, крабы! Настоящие молодцы. Они строили плоты с парусами и захватывали другие племена. Это то же почти готовая цивилизация! Но все они были уничтожены. Тоже часть «божественного» плана?

Думминг пребывал в нерешительности.

— Они поклонялись крабьему богу. — в качестве утвердительного суждения произнёс он, пока обдумывал мысль дальше.

— Ну да, почему нет? — ответил Чудакулли. — Они же были крабами.

— Хм. Возможно они. не были достаточно подходящими? В каком-то смысле.

— Были слишком умны, — ответил Чудакулли.

Думминг забеспокоился.

— Дарвин ничего о них не знал. — ответил он. — Они не создали ничего, что просуществовало достаточно долго. Я полагаю, что Дарвин написавший «Теологию» предположил бы что им просто ничего не удалось или в чём-то провинились. В одном из священных текстов основной религии упоминается, потоп, утроенный богом, который смыл всё кроме одной семьи и животных в лодке.

— Зачем?

— Думаю, потому что все они были грешниками.

— Как животные могут быть грешниками? Как краб может быть грешником, если уж на то пошло?

— Не знаю, Архканцлер! — выпалил Думминг. — Может если съест запрещённые водоросли. Или выкопает нору не в тот день. Я не теолог!

Они немного посидели в молчании.

— Немного запутанно, да? — спросил Чудакулли.

— Да, сэр.

— Нам придется следить за тем, чтобы «Происхождение» было написано. — Уже, сэр.

— Но ты хотел бы, чтобы кто-то всем этим заправлял, да? — мягко сказал Чудакулли. — Вообще всем.

— Да! Да, хотел бы, сэр! Не бородатый старик в небе, а. нечто! Своего рода структура, для которой добро и зло имеет реальные значения! Я понимаю почему «Теология» была так популярна. Она всё перевернула вверх ногами! Но как происходила эволюция? Откуда взялся порядок? Если в начале у вас горящий небесный свод, то как в конце получились бабочки? Где были бабочки с самого начала? И каким образом? Какая часть горящего водорода строила планы на людей? Даже Дарвин, написавший «Происхождение», призвал к богу, чтобы объяснить появление жизни. Приятно узнать что за всем этим кроется некий. разум.

— Обычно ты так не выражаешься, Мистер Тупс.

Думминг сник.

— Извините, сэр. Думаю, что это всё меня совсем доконало.

— Ну, я могу понять почему. — произнёс Чудакулли. — Здесь должен быть богород. Некоторые вещи сами собой не появятся. Вот глаз, например..

Думминг тихонько взвизгнул.

— …это очень просто, — закончил Чудакулли. — Тупс, ты в порядке?

— Эм, да, сэр, в порядке. Все хорошо. Просто, вы говорите?

— Зрение сохраняет тебе жизнь. — пояснил Чудакулли. — Любое зрение это лучше, чем ничего. Понимаю что имел ввиду Дарвин, написавший происхождение. Вам не нужен бог. Но есть, такие осы, которые паразитируют на пауках. если я конечно не говорю о пауках, которые паразитируют на осах. во всяком случае, кто бы там не паразитировал, он подождёт..

— Ага, — радостно произнёс Думминг, — Это там не гонг к завтраку?

— Я ничего не слышал. — ответил Чудакулли.

— Точно вам говорю, — сказал Думминг, направляясь к двери. — Сэр, я, пожалуй, пойду и проверю.

 

Глава 14. Алеф- N-плекс

 

Волшебники не только постигают кажущуюся нелепость «квантов», всеобъемлющую фразу всех продвинутых физиков и космологов, но и взрывоопасное философское/математическое понятие бесконечности.

Они открыли для себя (конечно на свой манер) одно из величайших откровений математиков девятнадцатого века: существует множество бесконечностей, и некоторые их могут быть больше чем другие.

Звучит, конечно, нелепо. Тем не менее, не смотря на это совершенно естественное чувство, это оказывается истиной.

В отношении бесконечности следует понять две важные вещи. Вопреки тому, что бесконечность часто сравнивают с числами вроде 1,2,3, бесконечность сама по себе не является числом в традиционном смысле этого слова. Как выразился Думминг Тупс, до неё нельзя досчитать. А вторая важная вещь состоит в том, что даже в самой математике существует множество различных понятий, гордо несущих на себе ярлык «бесконечности». Если вы перепутаете их значения, то получится полная ерунда.

А третья, извините, третья важная вещь это то, что вы должны понимать, что бесконечность зачастую является процессом, а не предмет.

Но — четвёртая важная вещь — математики имеют привычку превращать процессы в предметы.

И пятая (всё в порядке, их пять) важная вещь — один вид бесконечности является числом, хотя и несколько не в традиционном смысле этого слова.

Так же как противостоят ей математики, волшебники противостоят физике. Является ли вселенная Круглого Мира конечной или бесконечной? Верно ли, что в любой бесконечной вселенной содержится не только всё то, что может произойти, но и то что должно? Может ли существовать бесконечная вселенная состоящая исключительно из стульев. неподвижная, низменная и дико неинтересная? Мир бесконечности парадоксален, или так кажется на первый взгляд, но мы не должны позволить кажущемся парадоксам вас запугать. Если мы сохраним ясную голову, то сможем направить наш путь сквозь парадоксы и превратить бесконечность в надёжного помощника мышлению.

Философы обычно различают два различных вида бесконечности — «актуальную» и «потенциальную». Актуальная бесконечность представляет собой нечто бесконечно большое и непроизносимое, что до недавнего времени пользовалась дурной славой. Более солидный вид бесконечности — потенциальная, которая возникает когда всякий раз даёт нам понять, что может продолжаться сколь угодно долго. Самый основной процесс такого вида это счёт: 1,2,3,4,5.. Можем ли мы дойти до «наибольшего возможного числа» и остановиться? Дети часто задают такой вопрос и сначала думают, что самое большое число которое они знают, это и есть самое большое число. Какое-то время они думают, что это шесть, потом что — сто, а потом — тысяча. Вскоре они понимают, что если вы можете досчитать до тысячи, то тысяча и один — это только первый шажок вперёд.

В своей книге 1949 года «Математика и воображение» Эдвард Каснер и Джеймс Ньюман представили миру гугл — число, которое содержит сотню нулей. Имейте ввиду, что миллиард содержит только девять нулей: 1000000000.

А гугл настолько большой, что занимает две строки: 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000. Имя было придумано девятилетним племянником Каснера и стало идеей для интернет-поисковика.

Даже при том, что гугл довольно большое число, он определённо не бесконечен. Легко написать ещё большее число:

10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001

Просто добавьте единицу. Ещё более захватывающий способ найти ещё большее число чем гугл это создать гуглплекс (имя так же любезно предоставлено племянником), которое является единицей с гуглом нулей. Даже не пытайтесь его записать: вселенная так мала, (если конечно вы не будете использовать шрифт субатомного размера), и её жизнь так коротка (не говоря уже о вашей).

Хотя гуглплекс довольно крупное число, он по прежнему является довольно определённым числом. В нём нет ничего странного. Он определенно оно не бесконечно (всегда можно добавить единицу). Однако для большинства целей оно достаточно большое, включая и большинства чисел, которые становятся астрономическими. Каснер и Ньюман заметили что «как только люди начинают говорить о крупных числах, они впадают в неистовство. И кажется находятся под впечатлением о том, что раз ноль не равен ничему, то его можно приписать к любому числу сколь угодно раз без каких-либо последствий». Эту фразу мог произнести сам Наверн Чудакулли. В качестве примера они сообщают, что в конце 40-ых годов выдающаяся научная публикация объявила, что число снежных кристаллов необходимых для того чтобы начать ледниковый период это миллиард в миллиардной степени. Это, говорят они, очень поразительно и очень глупо. Миллиард в миллиардной степени это единица с 9 миллиардами нулей. Нормальное число составляет единицу с 30 нолями, что фантастически меньше, хотя по прежнему больше чем состояние банковского счёта Билла Гейтса.

Какой бы не была бесконечность это не обычный «счёт». Если бы самым большим числом было бы энное количество газилионов, тогда то же самое энное количество газилионов и один было бы больше. И даже если всё усложнить, так что к примеру самым большим числом было бы энное количество газилионов, два миллиона девятьсот шестьдесят четыре тысячи, семьсот пятьдесят восемь, тогда энное количество газилионов, два миллиона девятьсот шестьдесят четыре тысячи, семьсот пятьдесят девять всё равно было бы больше.

Мы можете добавить к любому числу единицу и получить число, которое (хотя немного, но отличимо) больше.

Процесс счёта остановиться если вы перестанете дышать, он не закончится от того, что у вас кончатся цифры. Хотя возможно кто-нибудь бессмертный может исчерпать пространство вселенной в которой будет записывать числа или время, чтобы произнесли их все.

Если вкратце: существует бесконечное множество чисел.

Замечательный факт в этом утверждении состоит в том, что нет числа под названием «бесконечность», которое больше чем все остальные. Совсем наоборот: дело в том, что нет самого большого числа. Так что, хоть процесс счёта в принципе может продолжаться вечно, число, до которого вы добрались на каждом определённом этапе, является конечным. «Конечный» означает, что вы можете досчитать до этого числа и остановиться.

Как сказали бы философы: подсчёт это пример потенциальной бесконечности. Это процесс, который может длится вечно (или по крайней мере, так кажется нашим наивным умам), но никогда не достигнет «вечности».

Развитие новых математических идей обычно происходит согласно модели. Если бы математики строили дом, они начали бы со стен нижнего этажа парящих на высоте фута над влагостойким покрытием или там где это покрытие должно быть. Там не было бы дверей и окон, а просто отверстия правильной формы. Со временем добавился бы второй этаж, качество кладки замечательно бы улучшилось, стены внутри были бы отштукатурены, все двери и окна были бы на своих местах, а пол был бы достаточно прочным, чтобы по нему можно было пройти, не провалившись. Третий этаж был бы огромным, сложным, полностью покрытым коврами, на стенах висели бы картины, в комнатах было бы огромное количество мебели впечатляющего не совместимого друг с другом дизайна, в каждой комнате было бы шесть различных видов обоев… Чердак напротив был бы скромен, но элегантен — минималистичный дизайн, ничего лишнего и всё на своих местах. Тогда и только тогда они вернуться к нижнему этажу, выкопают фундамент, зальют его бетоном, проложат водонепроницаемый слой и будут достраивать стены вниз пока не дойдут до фундамента.

В конце вы получите дом, который не развалится. Хотя большую часть времени, потраченного на его стройку, он выглядел бы совершенно не вероятным. Но строители, в азарте возводя стены вверх и заполняя комнаты предметами интерьера, были слишком заняты чтобы это заметить пока строительные инспекторы не ткнули их носом в структурные недостатки.

Когда возникают новые математические идеи, никто не понимает их достаточно хорошо, что в принципе нормально, поскольку они новые. И никто не делает больших усилий чтобы разобраться во всех логических деталях, пока не убедится что идея будет стоящая. Таким образом, основные направления исследований состоит в развитии этих идей, если они ведут к чему-нибудь интересному. Для математика «интересно» в основном означает «могу я найти способы протолкнуть все это дальше?», но лакмусовой бумажкой в этом случае является вопрос «какие проблемы это сможет решить?» Только после получения удовлетворительных ответов на оба эти вопроса несколько упорных и педантичных душ спускаются в подвал решают проблему достойного основания.

Математики использовали бесконечность задолго до того как догадались что это такое и как использовать её на благо. В V в. до н. э., Архимед, выдающийся греческий математик и серьезный претендент на призовое место среди самых выдающихся учёных все времён, разработал способ нахождения объема сферы при помощи (концептуальной) нарезки её на бесконечное число бесконечно тоненьких дисков, подобно тонко-тонко нарезанному хлебу, затем взвешивая их чтобы сравнить их общий объем с объемом подходящего тела, который он уже знал. Как только он получит ответ при помощи этого удивительного метода, он вернулся к началу и нашёл логически приемлемый способ доказать свою правоту. Но без всей этой возни с бесконечностью, он не узнал бы где начать, а его логическое основание так и не сдвинулось бы с мертвой точки.

Ко времени Леонарда Эйлера, настолько продуктивного автора, что его можно считать Терри Пратчеттом математики восемнадцатого века, многие из ведущих математиков возились с «бесконечными рядами» — кошмаром любого школьника о сумме, которая никогда не заканчивается. Вот например:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +…, где двоеточие означает «и так далее». Математики пришли к выводу, что эта сумма не сводится ни к чему толковому, хотя в результате должна составлять два.[61] Если вы остановитесь на каком-либо конечном этапе, то получите нечто меньшее чем два. Но сумма отставания продолжает уменьшаться. Сумма вроде как подбирается к правильному ответу, но в действительности его не достигает. Однако то количество, на которое отстаёт можно можно сократить насколько позволит ваше желание и время.

Ничего не напоминает? Выглядит подозрительно похоже на один из парадоксов Зенона/Ксено. О том как стрела подкрадывается к своей цели, как Ахиллес догоняет черепаху. О том, что вы можете делать бесконечно многое за конечный промежуток времени. Сделайте первое дело. Спустя одну минуту сделайте второе. Спустя ещё полминуты сделайте третье… и так далее. Всего за две минуты вы сделаете бесконечно многое.

Понимание того, что бесконечные суммы имеют разумное значение, это только начало. Оно не развеивает всех парадоксов. По большей части оно только их обостряет.

Математики выяснили, что некоторые бесконечности безопасны, а другие нет.

Единственный вопрос, который возникает после такой блестящей догадки это: как вы узнали? Ответ в том, что если ваше понятие бесконечности не приводит к логическим противоречиям, тогда бесконечность безопасна, а если приводит — то нет. Ваша задача это дать разумный ответ на то, какая «бесконечность» вас интересует. Вы не можете предположить что она автоматически имеет смысл.

Не смотря на то, что на протяжении восемнадцатого и начала девятнадцатого века математики разработали очень много понятий «бесконечности», все они являются потенциальными. В проективной геометрии «бесконечно удалённая точка» это место где пересекаются две параллельные прямые, подобно тому как рельсы железной дороги сходятся на горизонте, и кажется что на горизонте они пересекаются. Но если по равнине едет поезд, горизонт бесконечно удаляется, и вообще не является частью равнины, а только оптическая иллюзия. Так что точка в бесконечности определятся бесконечным процессом движения по железнодорожным путям. Поезд никогда туда не приедет. В алгебраической геометрии круг заканчивается тем, что можно определить как «коническое сечение, которое проходит через две мнимых бесконечно удалённых точки», которое легко можно воссоздать с помощью пары циркулей.

Математики достигли общего консенсуса и он сводится к следующему. Всякий раз, когда вы используете термин «бесконечность», вы действительно подразумеваете процесс. Если этот процесс порождает четко определённый результат, но в связи со сложными интерпретациями, результат имеет значение, для которого в данном контексте вы используете слово «бесконечность».

Бесконечность это процесс зависящий от контекста. Она потенциальна.

И не может оставаться такой и дальше.

В конце девятнадцатого века Дэвид Гилберт был один из двух величайших математиков мира и был одним из величайших энтузиастов нового подхода к бесконечности, в котором, вопреки тому, что мы вам сейчас сказали, бесконечность рассматривается как предмет, а не процесс. Новый подход был детищем Георга Кантора, немецкого математика, чьи работы привели его на территорию чреватыми логическими ловушками. На протяжении века целая область оставалась запутанной. В конце концов он решил разобраться раз и навсегда решив сперва построить фундамент. Он был не единственным, кто делал это, но был одним из самых радикальных. Ему удалось разобраться в области, которая привела его к таким отрезкам времени, но только за счёт возникновения проблем в другом месте.

Многие математики ненавидели идеи кантора, но Гилберту они нравились, и он активно их защищал. «Никто», — заявлял он — «не сможет изгнать вас их рая, который создал Кантор». Это конечно же было настолько парадоксально как и сам рай. Гилберт объяснял некоторые их парадоксальных свойств бесконечности в терминах вымышленного отеля, теперь известного как отель Гилберта.

В отеле Гилберта находится бесконечное число номеров. Все они пронумерованы: 1,2,3,4 и так до бесконечности. Это пример фактической бесконечности — каждый номер существует сейчас и номер под номером энный газилион и один ещё не построен. И вот когда один воскресным утром вы туда приезжаете, то выясняется что все номера заняты.

В отеле с фиксированным количеством номеров, даже если их миллиард миллиардов и еще одна, это будет проблемой. Никакое количество толкущихся вокруг людей не может создать дополнительную комнату (для упрощения задачи условимся, что нормы безопасности и здравоохранения не позволяют подселить в номер второго человека).

Однако, в отеле Гилберта всегда есть комната для еще одного постояльца. Не под номером «бесконечность»,конечно, такой комнаты просто нет. Под номером «один».

А что же делать невезучему из первого номера? Он переезжает в комнату номер «2». Постоялец второй комнаты переезжает в третью, и так далее. Постоялец миллиард- миллиардной комнаты переезжает в комнату «миллиард-миллиардная и один», а хозяин миллиард-миллиардной и один — в миллиард-миллиардную и два. Постоялец комнаты под номером «N» просто переходит в комнату «N+1», и это работает для любого числа N.

В отеле с конечным числом комнат такая штука не прокатит. В нем нет комнаты под номером «миллиард-миллиардная и два», в которую мог бы переселиться постоялец из миллиард-миллиардной и один. В отеле Гилберта комнат бесконечное множество, поэтому каждый может переместиться в соседний номер. Как только это действие совершено, отель снова заполнен доверху.

Но это ещё не всё. В понедельник в совершенно полный отель Гилберта приезжает группа туристов. И нет проблем: управляющий переселяет всех на пятьдесят номеров вперёд. — номер 1 в 51, номер 2 — в 52, и так далее, в результате чего номера с 1-50 остаются свободными для всех туристов.

Во во вторник прибывает бесконечно большая группа туристов, содержащая бесконечное число людей, услужливо пронумерованных A1, A2, A3… Уверены, что на них не хватит номеров? Однако они есть. Уже поселенные гости переселяются в номера с чётными: гость из первого номера переезжает во второй, гость из второго номера переезжает в четвёртый, гость из третьего переезжает в шестой. и так далее. Затем, когда освободятся нечётные номера их занимают новоприбывшие гости: A1 отправляется в 1 номер, A2 отправляется в 3 номер, A3 отправляется в 5 номер. Ничего сложного.

К среде управляющий уже рвёт на себе волосы, потому что бесконечные группы туристов всё появляются и появляются. Группы именуются буквами A, B, C.. из бесконечно долго алфавита, а люди в них — A1, A2, A3…, B1, B2, B3… C1, C2, C3…

.. и так далее. Но у управляющего появляется блестящая идея. На бесконечно большой парковке около бесконечно большого отеля он распределяет всех новых гостей в виде бесконечно большого квадрата: Al A2 A3 A4 A5…

Б1_Б2_Б3_Б4_Б5…

В1_В2_В3_В4_В5…

Г1_Г2_Г3_Г4_Г5…

E1_E2_E3_E4_E5…

Затем он выстроил их в одну бесконечно длинную прямую, в порядке А1-А2 Б1- А3 Б2 В1 — А4 Б3 В2 Г1 — А5 Б4 В3 Г2 Е1…

Чтобы понять смысл, посмотрите на диагонали, идущие из правого верхнего угла в левый нижний. Мы использовали дефисы, чтобы их разделить. Большинство людей предпочтет снова переселить уже живущих постояльцев в четные номера и заполнить нечетные новоприбывшими. Это сработает, однако есть и более элегантный метод, и управляющий, будучи математиком, немедленно его находит. Он загружает всех обратно в бесконечный автобус фирмы, распределяя места в порядке их следования в линии. Это оставляет только одну проблему, которая уже была решена ранее[62].

Отель Гилберта призывает нас к осторожности, когда мы делаем предположения относительно бесконечности. Она может быть не похожей на обычное конечное число. Если вы добавите к бесконечности единицу, она не станет больше. Если вы умножите бесконечность на бесконечность она всё равно не станет больше. Вот что такое бесконечность. Фактически проще сделать вывод о том, что любое действие с бесконечностью будет равняться бесконечности, потому что вы не сможете получить ничего больше чем бесконечность.

Вот как все считали, и это действительно так, но только если все ваши потенциальные бесконечности состоят из конечного числа шагов, которые вы делаете бесконечно долго.

Но в 1880 году Кантор поразмыслил о фактических бесконечностях и открыл ящик Пандоры с бесконечностями всех размеров. Он назвал их трансконечными числами и обнаружил их когда работал в классической, традиционной области анализа. Они были чертовски сложными штуками и привели его в ранее неизведанные закоулки. Погрузившись в глубокие размышления о природе этих вещей, Кантор отвлёкся от своей работы в совершенно респектабельной области анализа, и начал думать о более сложных вещах.

О подсчете.

Обычный способ знакомства с числами — это научить детей считать. Они узнают, что числа это «штуки, которые используются для счёта». Вот к примеру «семь» это там где вы окажетесь если начнёте считать с понедельника до воскресенья. Так что количество дней в неделе равно семи. Но что за зверь это «семь»? Слово? Нет, потому что вместо него можно использовать символ 7. Символ? Но тогда вместо него есть слово, и в любом случае, в какой-нибудь Японии используется совсем другой символ. Так что же такое семь? Легко сказать что такое семь дней, семь овец или семь цветов радуги… но что само по себе значит число? Вы вряд ли сталкивались с явной семёркой, она всегда соотносится с некой совокупностью вещей.

Кантор решил превратить нужду в добродетель и заявил, что число — это что-то, имеющее отношение к набору или скоплению вещей. Вы можете собрать набор из вообще любой коллекции вещей. Интуитивно понятно, что номер, который вы получите во время подсчета показывает, сколько вещей принадлежат к этому набору. Количество дней в неделе определяется числом «семь». Удивительная особенность подхода Кантора заключается в следующем: вы можете узнать, находятся ли в другом наборе семь предметов без каких-либо подсчетов. Для этого вам лишь нужно соотнести члены наборов друг с другом так, чтобы каждому члену из первого набора был подобран элемент из второго. Если, к примеру, второй набор — это цвета спектра, то наборы будут соотнесены таким образом: понедельник — красный, вторник — оранжевый, среда — желтый, четверг- зеленый, пятница — голубой, суббота — фиолетовый[63], воскресенье — октариновый.

Порядок, в котором вещи будут пронумерованы абсолютно неважен. Но нельзя соотносить вторник сразу и с фиолетовым, и с зеленым, или зеленый и со вторником, и с воскресеньем. Или пропускать некоторые элементы.

К примеру, вы попадете в беду, если захотите соотнести дни недели со слонами, на которых стоит Диск: воскресенье- Берилия, понедельник- Тьюбул, вторник- Великий Т’Фон, среда-Джеракин, а четверг?

Точнее, у вас кончатся слоны. Даже если мифический пятый слон возьмет на себя четверг.

В чем разница? Ну, в неделе семь дней, а в спектре семь цветов, поэтому вы можете соотнести эти два множества. А вот слонов у вас всего четыре (ну, может, пять), а четыре или пять никак нельзя приравнять к семи.

Глубокий философский смысл здесь в том, что вам не нужно знать чисел четыре, пять и семь, чтобы обнаружить что нет никакого способа соотнести эти два множества. Разговор о величине цифр подобен размахиванию кулаками после драки. Соотнесение логически первостепенно по отношению к счёту.[64]

 

Пока что ничего нового. Но соотнесение имеет смыл не только для конечных множеств, но и для бесконечных. Вы даже можете соотнести четные числа с остальными:

2 1

4 2

6 3

8 4

10 5 и так далее. Подобные соответствия объясняют происходящее в отеле Гилберта. Вот как у Гилберта появилась идея (помните, крыша вперед фундамента).

Какое же кардинальное число соответствует всем числам (и, соответственно, любого множества, которое можно с ним соотнести)? Классическое название это «бесконечность». Однако Кантор, будучи осторожным, предпочел название, которое не так сильно цепляло внимание, поэтому в 1883 году он дал ему имя «Алеф» — по первой буква еврейского алфавита, и подписал под ней небольшой ноль, по причинам, которые выяснились довольно скоро: Алеф-нуль.

Он знал что именно он начал:

«Я точно знаю, что выбрав такую процедуру я противопоставил свою позицию широко распространённому мнению относительно бесконечности в математике и текущим взглядам на природу числа. " Он получил то, что и ожидал: много критики и особенно от Леопольда Кроникера. «Бог создал целые числа: всё остальное — дело рук человеческих» — заявлял Кроникер.

Сейчас, правда, большинство их нас думает, что и целые числа создал человек.

Зачем тогда вводить новый символ? (тем более еврейский). Если бы по мнению Кантора существовала только одна бесконечность, он смело назвал бы её просто «бесконечность» и использовал бы классический символ перевёрнутой восьмёрки. Он быстро понял, что согласно его точки зрения, могут существовать и другие бесконечности, а он вполне вправе назвать их альф-один, алеф-два, алеф-три и так далее.

Как же могут существовать другие бесконечности? Это является большим и неожиданным последствием неразвитой идеи соотнесения. Чтобы объяснить как это происходит, в каком-то смысле нам нужно будет поговорить о действительно больших числах. Конечных и бесконечных. Чтобы убедить вас в том, что все они белые и пушистые мы введем простую условность.

Если n обозначает любое число любого размера, тогда n-плекс обозначает 10 в степени n, что означает единицу с n нулями. Так что 10 в степени 2 это 100, 10 в шестой степени это 1000 000, миллион; 10 в девятой степени это миллиард. Когда степень равна 100, то мы получает гугл. Таким образом гуглплекс можно описать как 10 в степени гугл.

Подобно Кантору можно легко представить 10 в степени бесконечность. Но давайте быть точнее: как быть с алеф в степени ноль? Что такое 10 в степени алеф-ноль?

Примечательно что оно имеет совершенно разумное значение. Это кардинальное число множества всех действительных чисел — чисел которые могут быть представлены в виде бесконечной десятичной дроби. Вспомним эфеб<