Найти дисперсию для распределения из упражнения 26.

Законы распределения вероятностей

Зная распределения вероятностей случайных величин, можно делать выводы о событиях, в которых участвуют эти величины. Правда, эти выводы будут также носить случайный характер.

Многие из этих распределений лежат в основе целых областей знания - теории массового обслуживания, теории надежности, теории измерений, теории игр и т. п.

Большинство применяемых на практике распределений являются дискретными или непрерывными.

Среди дискретных распределений наиболее важными являются биномиальное и пуассоновское распределения.

Среди непрерывных - нормальное, показательное и распределения, связанные с нормальным: Стьюдента, хи-квадрат и F -распределение Фишера.

Биномиальное распределение

Биномиальное распределение - одно из самых распространенных дискретных распределений. Оно возникает в тех случаях, когда ищут, сколько раз происходило некоторое событие в серии из известного числа независимых наблюдений, выполняемых в одинаковых условиях. При этом распределении разброс вариант является следствием влияния ряда независимых и случайно сочетающихся факторов.

Примером дискретной случайной величины, подчиняющейся биномиальному закону распределения, является число появлений события А при выполнении n испытаний. Возможными значениями этой случайной величины m являются 0,1,2,..., п.

Если для каждого отдельного испытания ввести случайную величину x, которая может принимать только два значения: 1 с вероятностью р и 0 с вероятностью q = (1 - р),то соответствующие вероятности появления т успешных случайных величин x вычисляются по формуле:

Эта формула называется формулой Бернулли, которая определяет распределение случайной величины - числа появлений события А при n испытаниях, называемое биномиальным распределением.

Если число испытаний n велико, а вероятность р реализации события А в одном испытании не близка ни к 0 и ни к 1, то маловероятно, чтобы событие А при n испытаниях случилось очень малое число раз или число раз, близкое к п.

Очевидно, что при т, равном малому числу, вероятность p_n(m) растет с увеличением т, а для т, близких к n, она убывает при увеличении т.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей биномиальное распределение, равны:

При большом количестве испытаний биномиальное распределение стремится к нормальному.

Примером практического использования биномиального распределения является контроль качества партии изделий, когда сплошная проверка качества не возможна (изделие, прошедшее испытание, не подлежит дальнейшему использованию).

Для контроля из партии наудачу выбирают определенное количество образцов изделий (n). Эти образцы проверяют и регистрируют число бракованных изделий (m). Теоретически число бракованных изделий может быть любым, от 0 до n, но вероятности этих чисел различны.

В основе принятия решения лежит сравнение распределения результатов контроля, полученных опытным путем, и теоретического распределения, при котором гарантируется необходимое качество всей партии - низкая вероятность брака P(m £ k), где k - предельное число бракованных изделий.

В Excel для вычисления вероятности отдельного значения биномиального распределения или значения случайной величины по заданной вероятности используются функции БИНОМРАСП и КРИТБИНОМ.

Функция БИНОМРАСП применяется для вычисления вероятности в задачах с фиксированным числом испытаний, когда результатом любого испытания может быть только успех или неудача, испытания независимы, и вероятность успеха постоянна на протяжении всего эксперимента.

Функция КРИТБИНОМ вычисляет наименьшее значение числа успешных исходов случайной величины, для которого интегральное биномиальное распределение больше или равно заданной величине (критерию). Эта функция наиболее часто используется в приложениях, связанных с контролем качества.

Пример 1. Какова вероятность того, что трое из четырех следующих новорожденных будут мальчиками?

Таким образом, ровно трое мальчиков из четырех новорожденных могут появиться с вероятностью p = 0,25.

Пример 2. Какова вероятность того, что появится не более трех мальчиков из четырех следующих новорожденных?

Вероятность этого события будет равна p = 0,9375.

Пример 3. Построить диаграмму биномиальной функции плотности вероятности Р (А= m)при n = 10 и p = 0,2.

В ячейку А1 вводим «m» - количества успешных исходов, в ячейку В1
«p» - вероятность. Заполняем диапазон А2:А12 возможными значениями исходов: 0, 1, 2,…,10.

Из ячейки В2 копируем функцию БИНОМРАСП в диапазон ВЗ:В12. По полученным данным строим искомую диаграмму биномиальной функции распределения.

Пример 4. Для биномиальной функции плотности вероятности из примера 3. найти значение числа m, для которого вероятность интегральногораспределения P ≥ 0,3.

Число успешных событий m = 1.

Упражнения:

29. При бросании монеты может выпасть орел или решка. Вероятность того, что при очередном бросании выпадет орел, равна 0,5. Найти вероятность того, что орел выпадет в точности 6 раз из 10.

30. Построить диаграмму биномиальной функции плотности вероятности Р(А=т) при n = 10 и р = 0,5.

31. Построить диаграмму биномиальной интегральной функции распределения Р (A £ m)при n = 10 и p = 0,2.

При выборочном контроле продукции из партии в 100 изделий выбирается 20 и при обнаружении в этой выборке хотя бы одного дефектного изделия вся партия бракуется. В партии имеется 10 дефектных изделий. Какова вероятность того, что хотя бы одно дефектное изделие попадет в выборку?