Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2020-10-20 | 130 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
§1. Тройные и n-кратные интегралы
1.Определение тройного и n-кратного интеграла
Пусть D кубируема, ее площадь будем обозначать m D, функция f (M) = f (x, y, z) определена и ограничена в области D. Предположим, что D разбита поверхностями на кубируемые подобласти Dk (совокупность { Dk } называется разбиением области D). В каждой из подобластей Dk выберем точку Mk =(x k, h k, z k) Î Dk. Полученный набор точек обозначим X ={ Mk }. Интегральной суммой для набора f, разбиения D, набора промежуточных точек X называется выражение
(1)
Суммирование производится по всем областям разбиения. Величина l (D)= dDk называется характеристикой разбиения D. Здесь – диаметр множества Dk.
Условие Mk Î Dk, для всех k мы будем обозначать X Î D.
Определение. Предел интегральных сумм s (f, D, X) при l (D) ® 0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек) называется тройным интегралом от функции f на D и обозначается
= .
Можно использовать обозначение = (вместо M можно использовать любую подходящую букву, например ).
Более точно это определение выглядит следующим образом:
$ J " e >0 $ d >0:(l (D)< d, X Î D) Þ | s (f, D, X) - J|< e.
Понятие длины, площади, объема распространяется и на области n - мерного евклидова пространства. В этом случае говорят об измеримости множества D n - мерного пространства и о его мере m D. Для измеримой области D и определенной на ней функции f (x)= f (x 1, x 2,…, xn) рассматривается разбиение этой области на измеримые множества { Dk }. В каждой из подобластей выбираются промежуточные точки x k =() Î Dk. Полученный набор точек обозначим X ={ x k }. Интегральной суммой для набора f, D, X называется выражение
(1)
Суммирование производится по всем областям разбиения. Величина l (D)= dDk, где максимум берется по всем множествам разбиения, называется характеристикой разбиения D. Как и раньше, – диаметр множества Dk, где точная верхняя грань берется по всевозможным точкам x =(x 1, x 2,…, xn), y =(y 1, y 2,…, yn) из Dk.
|
Определение. Предел интегральных сумм s (f, D, X) при l (D) ® 0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек) называется интегралом от функции f на D и обозначается
= .
Для n -кратных интегралов имеют места свойства, аналогичные свойствам, сформулированным для двойных интегралов. Перечислим некоторые из этих свойств.
1)
2) Если f и g интегрируемы на D, то f + g также интегрируема и
(f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx.
3) Если f интегрируема на D, то cf (x) также интегрируема и
=c .
4) Если f интегрируема на D, то | f | также интегрируема и
| | £ .
5) Если f и g интегрируемы на D и f £ g на D, то
£ .
6) Если m £ f (x) £ M на D, то $ c Î [ m, M ]:
= c m D.
Следствие. Если f непрерывна на связном компакте D, то $ x Î D:
= f (x) m D.
7) Непрерывная на компакте функция интегрируема на этом компакте.
8) Если m D = 0, то для любой ограниченной функции f будет выполнено
f(x) dx=0.
2. Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда
Пусть V – прямоугольный параллелепипед [ a, b ] ´ [ c, d ] ´ [ g, h ] и функция f (x, y, z) определена на V. Обозначим прямоугольник [ c, d ] ´ [ g, h ] через D.
Теорема. Если существует и для любого x Î [ a, b ] существует , то существует интеграл и имеет место равенство
= .
(здесь и в дальнейшем используются обозначения = )
Доказательство. Рассмотрим разбиение D области V:
D ={ a = x 0 <…< xn = b; c = y 0 <…< ym = d; g = z 0 <…< zl = h }.
Полученные подобласти обозначим Vijk =[ xi, xi +1 ] ´ [ yj, yj +1 ] ´ [ zk, zk +1 ], i =0,…, n -1, j =0,…, m -1, z =0,…, l -1. Кроме того, будем использовать обозначения X =(x, y, z)
mijk = , Mijk = . Тогда для X Î Vijk справедливы неравенства mijk £ f (X) £ Mijk.
Для набора промежуточных точек { x i }, x i Î [ xi, xi +1 ] будет выполнено
mijk D yj D zk £ £ Mijk D yj D zk,
|
mijk D yj D zk £ £ Mijk D yj D zk,
Домножая последние неравенства на D xi и суммируя, получим
mijk D xi D yj D zk £ £ Mijk D xi D yj D zk.
Средняя сумма является интегральной суммой для интеграла , крайние суммы являются суммами Дарбу для интеграла , откуда и следует требуемое утверждение.
Аналогичные теоремы можно доказать для других порядков интегрирования. Таким образом, при выполнении соответствующих условий получаются равенства вида
= ,
= ,
= .
Через Dx, Dy, Dz обозначены проекции области V на координатные плоскости x =0, y =0, z =0, соответственно.
В свою очередь внутренние двойные интегралы можно представить в виде повторных. Для первого из написанных соотношений это будет выглядеть следующим образом
= ,
= .
(используются обозначения = )
Теперь можно собирать внешние повторные интегралы в двойные, в результате получаться три равенства
= ,
= ,
= ,
Здесь Dxy =Dz =[a,b] ´ [c,d], Dzx=Dy =[g,h] ´ [a,b], Dyz =Dx = [c,d] ´ [g,h].
3. Сведение тройного интеграла к повторному интегралу для областей общего вида
Пусть V – область, расположенная между плоскостями x = a, x = b, Lx – плоскость параллельная координатной плоскости Oyz, проходящая через точку x. Для x Î [ a, b ] обозначим через Dx сечение V Ç Lx. Будем предполагать, что Dx квадрируемадля всех x Î [ a, b ]. При этих предположениях справедлива
Теорема. Если существует и для " x Î [ a, b ] существует I (x)= то существует и и
= .
Доказательство. Обозначим через R =[ a, b ] ´ [ c, d ] ´ [ g, h ] прямоугольный параллелепипед, содержащий область V и определим на R функцию
f * (M)= .
Тогда
= , Rx= [c,d] ´ [g,h].
Для левого и правого интегралов справедливы равенства
= + = .
= = .
Замечание. Сечение Dx = V Ç Lx может быть задано в виде
Dx = {(y, z): y 1 (x) £ y £ y 2 (x), z 1 (x, y) £ z £ z 2 (x, y)}.
В этом случае пределы интегрирования в тройном интеграле можно расставить следующим образом = = .
D – представляет собой проекцию V на плоскость z =0. Эту область можно также описать в виде
D = {(x,y):a £ x £ b, y1(x) £ y £ y2(x)}. Расставляя переменные x, y, z в другом порядке можно получить другие аналогичные формулы представления тройного интеграла через повторные.
4. Замена переменных в тройном и n -кратном интеграле
Пусть задано взаимно-однозначное, непрерывно - дифференцируемое отображение с якобианом, отличным от нуля
, (x, h, z) Î S
|
из S в V, где области S и V кубируемы. Тогда для объема области V справедлива формула
m V = (4).
Из этой формулы и теоремы о среднем следует, что
= m V = = m S.
Откуда следует, что в любой точке области M 0 =(x 0, h 0, z 0)
= .
Теорема (о замене переменных). Если f интегрируема в V, то
= .
Доказательство. Интегралы справа и слева существуют. Интегрируемость функции F (x, h, z)= f [ x (x, h, z), y (x, h, z), z (x, h, z)] на S доказывается так же, как и в случае двойного интеграла. Выберем какое-либо разбиение { S j } области S и обозначим через { Vj } соответствующее разбиение области V. Согласно формуле (4)
m Vj = = m S j.
Полученные таким образом точки Mj = (x j, h j, z j) будем рассматривать как промежуточные точки для интегральных сумм функции F (x, h, z) и разбиения { S j }, а соответствующие точки Pj = (xj, yj, zj) для интегральных сумм функции f (x, y, z) и разбиения { Vj }. В этом случае
.
Из этого равенства следует требуемое утверждение.
Пример 1. Цилиндрические координаты
, x2+y2=z2, 0 £ z £ 1
, .
В этом случае D = {(r, j, h): 0 £ j £ 2 p, 0 £ r £ z, " z Î [0,1]}.
= = = = = .
Пример 2. Сферические координаты
A= , x2+y2+z2 £ 1, 0 £ x, 0 £ y, 0 £ z.
, = =
=-sin q (r 2 sin q cos q sin2 j + r 2 sin q cos q cos2 j)- r cos q (r cos2 q sin2 j + r cos2 q cos2 j) =
=-sin q r 2 sin q cos q - r cos q r cos2 q =- r 2 cos q.
A = = = .
Пример 3. В интеграле расставить пределы интегрирования в порядке dxdzdy и dzdxdy.
Пример 4. Заменить тройной интегрлал однократным
= + = + = +
5. Замена переменных в общем случае
Рассмотрим регулярное отображение
( кратко x = x (u))
из области S в область V. При измеримости областей S, V справедлива формула замены переменных
= ,
существование интегралов предполагается.
|
|
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!