Новый критерий и дополнительные ограничения

Давайте осознаем следующее: исходный вариант задачи предполагает максимизацию потенциального дохода – того количества денег, которое может быть получено от реализации всего объёма произведённой продукции. Но мы же чувствуем, что этого недостаточно: необходимо учитывать расходы на производство и реализацию продукции. Если из дохода вычесть все расходы, то мы получим то, что называется прибылью. План, максимизирующий прибыль, – это по-настоящему замечательный план!

Расходы на реализацию продукции пока учитывать не будем, ограничимся учётом затрат на производство, а именно – затрат на комплектующие детали.

Далее поступим так:

1) решим, как и ранее, задачу планирования производства по критерию максимума дохода, и просто вычислим прибыль; естественно, для этого потребуются дополнительные исходные данные – цены на комплектующие детали;

2) ещё раз решим задачу планирования производства, но теперь уже, преследуя цель максимизации прибыли.

Первоначально добавим столбец с ценами на комплектующие детали, как это показано на рисунке 2, и рассчитаем теперь не только доход, но и прибыль. Сделать это очень легко: из дохода вычитаем сумму затрат на комплектующие. Эти затраты вычисляются так: цены на комлектующие детали умножаются на количества использованных деталей, и получаемые суммы суммируются. Поместим прибыль (новый критерий) в ячейке H19.

Рисунок 2 – Добавление столбца с ценами комплектующих деталей

Теперь решим задачу, максимизируя доход, и посмотрим, какая будет получена прибыль. Результаты решения показаны на рисунке 3. Видим, что прибыль составила 12800 руб. при доходе 25000 руб.

Рисунок 3 – Результат решения задачи по критерию максимума дохода

Ещё раз решим задачу оптимизации, сменив ячейку критерия: вместо D10 с доходом укажем H19, в которой хранится прибыть, и получим результат, показанный на рисунке 4.

Обратим внимание на следующие факты:

1) теперь прибыль составила 15800 рублей, т. е. увеличилась на 3000 рублей, или 23,44 % по сравнению с предыдущим решением

2) при увеличении прибыли на 23,44 % произошло сокращение дохода: он уменьшился на 1000 рублей, т. е. на 4 %; вот они хитрости экономики, и как здесь обойтись без методов оптимального планирования?!

3) при использовании разных критериев существенно меняется структура планов: план (200; 200; 0) переходит в (0; 200; 400); отличия радикальны: первый план исключает производство акустических систем, а второй напротив – предусматривает выпуск этих систем в большом количестве, но исключает из производства телевизоры.

Рисунок 4 – Результат решения задачи по критерию максимума прибыли

Конечно же, второй план предусматривает более простую организацию производства: телевизоры производить гораздо сложнее, нежели акустические системы. Но не всё так просто в реальности. Дело в том, что помимо рассмотренных нами ограничений существуют ещё и следующие тограничения:

1) рыночные (конъюнктурные) ограничения – торговая сеть, через которую реализуется выпускаемая продукция, в учётный промежуток времени может реализовывать ограниченное количество каждого вида продукции; эти ограничения наряду с материальными ограничениями (складскими запасами) являются дополнительными ограничениями на объёмы производства «сверху» – производить нереализуемую продукцию смысла нет;

2) договорные (контрактные) ограничения – предприятие может иметь обязательства по поставке конкретных видов продукции конкретным потребителям: эти ограничения являются ограничениями на объёмы производства «снизу» – мы не имеем права произвести продукции меньше объёмов, предусмотренных договорами.

Предположим, что наша торговая сеть способна реализовать в течение учётного промежутка времени не более 250 акустических систем. Добавим это ограничение в задачу. Окно «Поиск решения» при этом приобретает вид, показанный на рисунке 5. Результат решения задачи с учетом конъюнктурных ограничений представлен на рисунке 6. Видим, что оптимальный план теперь таков:

телевизоров – 75; стереосистем – 200; акустических систем – 250.

Оценим стремление программы максимизировать объём производства простых и малозатратных акустических систем и минимизировать объём выпуска сложных в производстве телевизоров с высокой себестоимостью. Это вполне естественно: чем больше отношение Цена/Себестоимость, тем более предпочтительным для производства, с позиции получаемого дохода, является товар.

Заметим, что учет договорных ограничений так же прост, как и учет рыночных ограничений, поэтому поясняющее иллюстрации приводить не будем.

 

 

Рисунок 5 – Окно»Поиск решения» с дополнительным ограничением
на количество производимых акустических систем

Рисунок 6 – Результат решения задачи по критерию максимума прибыли
с дополнительным ограничением на количество производимых
акустических систем

4.2.4 Формирование собственного варианта задачи
планирования производства

Настоятельно рекомендуется выполнить следующий вариант задания.

1. Определить собственный вариант производства – конкретный состав комплектующих деталей и производимых изделий.

2. Решить задачу планирования производства с использованием критерия максимума дохода, учитывая только материальные ограничения и вычисляя получаемую прибыль.

3. Решить задачу планирования производства с критерием максимума прибыли, учитывая только материальные ограничения

4. Решить задачу планирования производства с критерием максимума прибыли, учитывая материальные ограничения и дополнительные рыночные ограничения.

5. Решить задачу планирования производства с критерием максимума прибыли, учитывая материальные, рыночные и контрактные ограничения.

6. Составить отчет, в котором отразить следующее:

· конкретику собственной предметной области – номенклатуру производимой продукции, используемые материалы и комплектующие детали, исходные данные (константы) задачи – запасы на складах, нормативы расхода материалов и комплектующих, цены на материалы и комплектующие;

· значения прибыли и дохода, полученные при выполнении второго пункта задания;

· значения прибыли и дохода, полученные при выполнении третьего пункта задания и изменения прибыли и дохода при переходе на критерий максимума прибыли;

· значения прибыли и дохода, полученные при выполнении четвёртого пункта задания и изменения прибыли и дохода при вовлечении в рассмотрение рыночных ограничений;

· значения прибыли и дохода, полученные при выполнении пятого пункта задания и изменения прибыли и дохода при вовлечении в рассмотрение контрактных ограничений.

Изменения дохода и прибыли представить в абсолютном и процентном выражении по отношению к значению, полученному на предыдущем шаге (пункте) задания.

4.3 Транспортная задача, или задача планирования перевозок

Суть задачи

Предметной областью задачи являются перевозки грузов (продукции) от производителей (заводов) к потребителям (торговым предприятиям; в рассматриваемом варианте задачи потребители представлены их складами). Предполагается, что производители и потребители территориально размещены в разных городах. Производители характеризуются своими производственными возможностями – возможными объёмами производства в плановом промежутке времени. Потребители характеризуются своими потребностями в продукции, производимой заводами.

Необходимо составить план перевозок продукции от производителей к потребителям (определить: кому от кого и сколько перевозить) таким образом, чтобы потребности потребителей были удовлетворены и, одновременно, от каждого из заводов не требовалось бы продукции больше его производственной возможности.

Скорее всего, решение задачи составления плана не единственно, и возможно создание нескольких таких планов. Отличаться они будут не только конкретикой объёмов перевозок от конкретного производителя к конкретному потребителю, но и суммарными затратами на перевозки. Естественно, очень желательно найти такой план, чтобы суммарные затраты на перевозки были бы минимально возможными.

Искомыми переменными в задаче планирования перевозок являются объёмы каждого вида продукции, подлежащие перевозу в течение планового промежутка времени от каждого производителя к каждому потребителю; можно считать, что искомые переменные организованы в матрицу , где  – объём (точнее масса, измеряемая килограммами или тоннами) продукции, перевозимой от –го производителя –му потребителю;  – количество заводов – производителей продукции;  – количество складов потребителей.

Целевой функцией являются суммарные затраты на перевозку продукции от производителей на склады потребителей: , где – затраты на перевозку продукции -му потребителю от всех производителей, вычисляемые по формуле , , где  – стоимость доставки единицы массы продукции от –го производителя –му потребителю. Таким образом, .

Целью планирования является минимизация целевой функции в рамках ограничений, обусловленных потребностями потребителей и производственными возможностями заводов.

Константами задачи являются:

1) потребности потребителей (складов); предполагается, что потребителям необходимо наличие определённых объёмов продукции; эти объёмы входят в ограничения и представляют собой минимально допустимые значения запасов продукции на складах потребителей; превышение запасов над потребностями вполне допустимо; математически совокупность запасов представляет собой вектор , где  – количество потребителей продукции, в Excel этот вектор предстáвим строкой данных;

2) производственные возможности заводов – объёмы продукции, которые могут произвести заводы в планируемом промежутке времени; объёмы производимой продукции представляют собой вектор , где  – количество заводов; в Excel этот вектор предстáвим столбцом данных;

3) цены на перевозку единицы объёма продукции от производителей к потребителям; математически цены на перевозку продукции представляют собой матрицу , где  – стоимость доставки единицы объёма (массы) продукции от –го производителя –му потребителю; в Excel матрицу  предстáвим блоком (прямоугольником) данных.

Вспомогательные функции задачи в текущем рассмотрении следующие:

1) вывезенные с заводов объёмы продукции, вычисляемые по формуле: , ; осознаем, что это сумма поставок от -го производителя всем потребителям; можно считать, что вычисляемые значения указанных функций организованы в вектор ; в Excel этот вектор предстáвим столбцом данных;

2) количества доставленных объёмов продукции потребителям, вычисляемые по формуле: , ; осознаем, что это сумма поставок -му потребителю от всех производителей; можно считать, что вычисляемые значения указанных функций организованы в вектор ; в Excel этот вектор предстáвим строкой данных;

3) затраты на перевозку продукции каждому потребителю от всех производителей, вычисляемые по формуле , , где  – стоимость доставки единицы массы продукции от –го производителя –му потребителю; можно считать, что вычисляемые значения указанных функций организованы в вектор ; в Excel этот вектор предстáвим строкой данных.

Ограничения в рассматриваемом варианте транспортной задачи имеют следующую семантику:

· вывезенные с заводов объёмы продукции  не должны превышать производственные возможности этих заводов : , ;

· количества фактически доставленных объёмов продукции потребителям  должны обеспечивать потребности потребителей : , ;

· все перевозимые объёмы продукции, конечно же, должны иметь положительные значения: , (; ).