Баланс энергии в устройствах СВЧ. Матричные формулировки теоремы Пойнтинга

Из электродинамики известно, что теорема Пойнтинга, определяющая баланс электромагнитной энергии для некоторого объема V, ограничен­ного замкнутой поверхностью  устанавливает фундаментальные свойства поля: запасать в этом объеме электромагнитную энергию, пре­образовывать ее в другие виды, например в тепловую, а также обмени­ваться энергией со свободным пространством через поверхность Сформулируем уравнения баланса энергии в терминах внешних харак­теристик устройства СВЧ и определим свойства матриц  выте­кающие из матричных уравнений баланса. Основой для такого анализа является интегральная формулировка теоремы Пойнтинга:

 (1.30)

В этом соотношении применены те же обозначения, что и в (1.25);  - материальные параметры среды, заполняющей устройство СВЧ;  - векторы электрического и магнитного полей внутри объема V, соответствующие произвольному возбуждению устройства СВЧ. Вычислив поверхностный интеграл в (1.30) аналогично тому, как это было сделано при вычислении поверхностного интеграла в (1.25), получим:

где  - средняя энергия, накапливаемая электрическим и магнитным полями внутри устройства СВЧ;  - средние тепловые потери в устройстве СВЧ.

Каждое слагаемое в сумме, стоящей в левой части последнего выражения, определяет комплексную мощность на соответствующем входе устройства СВЧ.

Представив сумму в уравнении баланса в матричном виде, получим:  (1.31)

Здесь знак "плюс" над символом столбца тока означает операцию эрмитова сопряжения, т.е. последовательно выполняемые операции транспо­нирования и комплексного сопряжения: . Разделим комплексное уравнение (1.31) на два действительных, выделив в левой части дейст­вительную и мнимую части:  (1.32)

 (1.33)

Используя эти соотношения, находим уравнения баланса в терми­нах матриц  Для этого в (1.32), (1.33) подставим значения напря­жения тока Тогда получим:

 (1.34)  (1.35)  (1.36)  (1.37)

При этом учтено, что

Итак, левые части уравнений (1.34) и (1.36) определяют тепловые потери внутри устройства СВЧ для заданных столбцов тока  и напряжения  Левые части уравнений (1.35) и (1.37) определяют разность средних энергий, запасаемых магнитным и электрическим полями в устройстве СВЧ. Так как при любых возбуждающих токах и напряже- ниях на входах эквивалентного многополюсника  то из (1.34) и (1.36) следует, что при любых  справедливы неравенства:  (1.38)         (139)

В теории матриц левые части этих неравенств называют эрмитовыми формами, а сами неравенства определяют их как неотрицательно опре­деленные. При отсутствии потерь в (1.38) и (1.39) для любых  левые части равны нулю. Поэтому равны нулю матрицы эрмитовых форм    (.1.40)

Таким образом, если матрицы многополюсника, эквивалентного устройству СВЧ, удовлетворяют условиям (1.40), то такой многополюс­ник называется реактивным или недиссипативным, т. е. в нем нет теп­ловых потерь.

Следует отметить, что в случае взаимных устройств СВЧ, для ко­торых  и , условия отсутствия потерь (1.40) упрощаются и принимают вид   

Представив матрицы в виде суммы действительной и мнимой частей (1.14), из (1.40) можно сделать вывод, что в общем случае долж­ны выполняться равенства  т.е. при отсутствии тепло­вых потерь матрица  эквивалентного многополюсника является кососимметрической, а матрица  - симметрической. Если же устройство СВЧ взаимно, то  т. е. матрицы  взаимного устройства СВЧ без потерь - чисто мнимые:

Представим уравнения баланса энергии в устройстве СВЧ (1.32) и (1.33) через матрицу рассеяния  Для этого воспользуемся соотноше­ниями (1.3), определяющими эквивалентные напряжения и токи на клеммах многополюсника через комплексные амплитуды падающих и отраженных волн на входах устройства СВЧ, а также определением матрицы рассеяния (1.15). Тогда получим: . (1.41)     (1.42)

Уравнение баланса (1.41) имеет простой физический смысл. Первое сла­гаемое левой части этого уравнения  определяет поток мощности, поступающей внутрь устройства СВЧ. Второе слагаемое  определяет поток мощности, выходящей из устройства СВЧ. Очевидно, что для пассивных линейных устройств СВЧ он не может превышать поток мощности, поступающей в устройство СВЧ. Поэтому, аналогично ранее рассмотренному случаю, эрмитова форма  для любых векторов амплитуд падающих волн  В частности, для реактивных (не-диссипативных) устройств СВЧ без потерь и матрица рассеяния удовлетворяет равенству     (1.43)

В теории матриц это равенство определяет класс унитарных матриц. Таким образом, устройство СВЧ без потерь имеет унитарную матрицу рассеяния.