Матричное описание внешних характеристик устройств СВЧ

В технике СВЧ принято каждому устройству СВЧ ставить в соответст­вие некоторый многополюсник. При этом каждой распространяющейся волне во входных линиях передачи устройства СВЧ ставится в соответ­ствие пара клемм этого эквивалентного многополюсника. В дальнейшем будем считать, что во входных линиях передачи распространяются лишь волны основных типов. Тогда число пар клемм эквивалентного многополюсника совпадает с числом входных линий передачи устрой­ства СВЧ. Входы устройства СВЧ представляют собой поперечные се­чения входных линий передачи. На каждой паре клемм эк­вивалентного многополюсника (рис. 1.1) могут быть определены комплексные напряжения  и токи .

Способы задания эквивалентных напряжений и токов могут быть различные. Чаще всего  и  определяют как амплитуды по­ перечных составляющих электрического  и магнитного  полей на соответствующем входе устройства СВЧ:  (1.1)

где - собственные электрические и магнитные поперечные функции основной волны n-й входной линии передачи; TV-- число входов устройства СВЧ.

Функции  зависят от координат поперечного сечения п –й линии передачи и определяют распределение поперечных составляющих полей в этом сечении. Данные функции для каждого типа линии передачи известны. Аналитические выражения для них приведены в любом учебнике по электродинамике. В соотношения (1.1) эквивалент­ные напряжения и токи входят в нормированном виде. В теории уст­ройств СВЧ принято нормированные ток и напряжение  связывать с ненормированными значениями тока , измеряемого в амперах (А), и напряжения , измеряемого в вольтах (В), соотношениями:   (1.2)

где  - характеристическое сопротивление основной волны в п –й линии передачи. Единицы измерения нормированных тока и напряжения в соответствии с (1.2) одинаковы (Вт^1/2). Так как напряженность электрического поля измеряется в В/м, а магнитного поля - в А/м, из (1.1) определяются единицы измерения функций  - 0м^1/2 м и - (Ом^1/2 м)^-1.

Поперечные составляющие полей (1.1) в поперечном сечении n-й линии передачи складываются из поперечных составляющих полей па­дающей в устройство СВЧ и отраженной от него волн. Обозначив комплексные амплитуды падающей и отраженной волн на рассматриваемом входе через  соответственно, из (1.1) получим:

 (1.3)

В этих выражениях  также измеряются в Вт^1/2. Знак "минус" в выражении для эквивалентного нормированного тока обусловлен тем, что поперечная составляющая вектора магнитного поля отраженной волны имеет противоположную ориентацию по сравнению с попереч­ной составляющей вектора магнитного поля падающей волны. В выра­жениях (1.3) величины и  входят в нормированном виде:

 (1.4)

где  - мощности падающей и отраженной волн на п-м входе устройства СВЧ;  - фазы падающей и отраженной волн на этом же входе.

Представим множество значений , ,  и (п = 1, 2,..., N) в виде матриц, состоящих из одного столбца. Матри­цу, состоящую из одного столбца, будем называть вектором-столбцом или просто столбцом. Таким образом, определены столбцы напряжений , токов , амплитуд падающих  и отраженных  волн:

 (1.5)

К основным внешним характеристикам устройства СВЧ относятся матрица сопротивлений , матрица проводимостей , матрица рассеяния , классическая матрица передачи и волновая матрица передачи . Каждая из этих матриц связывает линейной зависимостью входные воздействия и реакцию на них устройства СВЧ.

Матрицы сопротивлений и проводимостей. Матрицы сопротивлений и проводимостей связывают линейными соотношениями на­пряжения и токи в клеммных плоскостях эквивалентного многополюсника:

 (1.6)

В развернутом виде эти соотношения можно записать так:

      

      

Отсюда следует, что матрицы  - квадратные и имеют порядок N, равный числу пар клемм эквивалентного многополюсника.

Так как в (1.6) эквивалентные напряжения и токи имеют одинако­вые единицы измерения (Вт^1/2), то элементы матриц  безразмерны, т.е. они определенным образом нормированы к характеристическим сопротивлениям входных линий передачи. Установим связь между нор­мированными и ненормированными матрицами сопротивлений и проводимостей. Для этого запишем соотношения (1.2) в матричном виде:  (1.7)

где  - диагональная матрица порядка N, составленная из характери­стических сопротивлений входных линий передачи:

 ;    (1.8)

 - столбцы ненормированных напряжений и токов на клеммах эквивалентного многополюсника. В (1.7) извлечение корня из диаго­нальной матрицы или ее обращение сводится к простому извлечению корня из диагональных элементов этой матрицы или их обращению. Подставив (1.7) в (1.6), получим:

Определяя из первого соотношения столбец , а из второго - столбец , находим:

 (1.9)

Учтем, что ненормированные напряжения и токи связаны друг с другом через ненормированные матрицы сопротивлений  и проводимостей      (1.10)

Сравнивая эти уравнения с (1.9), находим:  (1.11)

Элементы матрицы  (Ом) и матрицы  (Ом^-1) в соответствии с (1.11) могут быть найдены из соотношений

 (1.12)

Из (1.6) следует соотношение, определяющее связь между матрицами     (1.13)

Необходимо подчеркнуть, что эти соотношения справедливы лишь 'в том случае, если определители матриц  отличны от нуля:  т.е. матрицы  - неособенные. Соотношения (1.6) представляют собой матричные аналоги закона Ома. Опреде­лим физический смысл элементов матрицы . Для этого к n-й паре клемм эквивалентного многополюсника подключим генератор тока с амплитудой , а остальные пары клемм оставим разомкнутыми. В этом случае столбец токов примет вид:

где  - символ транспонирования. Тогда из первого соотношения (1.6) получим:

Таким образом,  (при ) есть сопротивление между п-й и m-й парами клемм эквивалентного многополюсника при холостом ходе на всех парах клемм, кроме п-й. При т = п есть входное сопротивление эквивалентного многополюсника на п-й паре клемм.

Рассуждая аналогично применительно к матрице Y (подключая генератор напряжения к n-й паре клемм и замыкая все остальные клем­мы), можно показать справедливость соотношений

т.е.  есть проводимость между п-й и m-й парами клемм при коротком замыкании на всех остальных парах клемм. При т = п  есть входная проводимость многополюсника на n-й паре клемм. В общем случае матрицы являются комплексными и их можно представить в виде:         (1.14)

где  - действительные квадратные матрицы порядка N, определяющие активные и реактивные части входных и взаимных сопро­тивлений и проводимостей.

Следует отметить, что не для всех устройств СВЧ определены матрицы сопротивлений и проводимостей, так как входные сопротивле­ния или проводимости некоторых устройств могут принимать бесконечные значения. Примером таких устройств могут служить коротко-замкнутые четвертьволновый и полуволновый отрезки линий передачи. В технике СВЧ не всегда удобно пользоваться матрицами , поскольку в ряде случаев непосредственное измерение напряжений и токов  на входах некоторых устройств СВЧ сделать весьма затруднительно.

Кроме того, для применения на СВЧ отсутствуют приборы, эквивалентные генератору тока или генератору напряжения. Именно эти приборы необходимы для экспериментального определения элементов матриц .

Матрица рассеяния. При изучении теории линий передачи СВЧ характеристика режимов работы линии определялась соотношением амплитуд падающей и отраженной волн. Амплитуды этих волн и тре­буемые соотношения между ними в СВЧ-диапазоне могут быть измере­ны с помощью стандартной измерительной аппаратуры. Поэтому в тех­нике СВЧ к числу основных внешних характеристик устройства СВЧ относят его матрицу рассеяния. Матрица рассеяния связывает линейной зависимостью амплитуды падающих и отраженных волн на входах многополюсника:

 (1.15)

В этом выражении - столбцы падающих и отраженных волн, определяемые из (1.5). В развернутом виде соотношение (1.15) можно записать так:

                  (1.16)

Отсюда следует, что матрица рассеяния - квадратная и имеет тот же порядок N, равный числу входов устройства СВЧ, что и матрицы и  Так как в (1.15) амплитуды падающих и отраженных волн имеют одинаковые единицы измерений, то элементы матрицы рассеяния без­размерны.

Выясним физический смысл элементов матрицы рассеяния. Для этого к n-му входу устройства СВЧ подключим генератор с амплитудой  , а к остальным входам - согласованные не отражающие нагрузки.

Тогда столбец амплитуд падающих волн примет вид:

Подставляя этот столбец в (1.16), находим:

Таким образом, есть коэффициент передачи по амплитуде с n-го входа устройства СВЧ на m-й. При m =п   есть коэффициент отражения от n-го входа. Следовательно, диагональ­ные элементы матрицы рассеяния являются коэффициентами отражения от соответствующих входов устройства СВЧ.

Установим связь между матрицами . Для этого подставим матричный вид соотношений (1.3) в (1.6). Тогда получим:

В каждом из этих уравнений раскроем скобки и найдем столбец отра­женных волн :

 (1.17)

В этих уравнениях Е - единичная матрица порядка N. На главной диа­гонали такой матрицы стоят единицы, а остальные элементы равны ну­лю. Сравнивая последнюю строчку соотношений (1.17) с определением матрицы рассеяния (1.15), приходим к выводу, что матрица, стоящая слева от столбца а в этих уравнениях, и есть матрица рассеяния:

 (1.18)

Полученные соотношения устанавливают искомую связь. С их помощью можно найти матрицу рассеяния устройства СВЧ, если известны матрица сопротивлений или матрица проводимостей. Следует отметить, что в (1.18) можно менять местами порядок следования сомножителей, хотя в общем случае произведение матриц некоммутативно:

Нетрудно получить и обратные соотношения, определяющие матрицы  и  через матрицу  Для этого из (1.3) выразим векторы  через  и

 (1.19)

Подставив (1.19) в (1.15) и выполнив матричные преобразования, анало­гичные ранее проделанным в (1.17), находим:

 ; (1.20)

Следует еще раз подчеркнуть, что обращение матриц в (1.18), (1.20) допустимо лишь в тех случаях, когда обращаемые матрицы неособенные, т.е. их определители отличны от нуля. В частности, из (1.20) следует, что матрицы  определены лишь для тех устройств СВЧ, для которых матрицы  - неособенные. При этом необходи­мо отметить, что матрица рассеяния  существует (определена) для лю­бых линейных пассивных устройств СВЧ.

Классическая и волновая матрицы передачи. В ряде случаев геометрические структуры устройств СВЧ таковы, что можно выделить две группы входных линий передачи, одна из которых является непо­средственно входами устройства, а другая - выходами. При этом экви­валентный многополюсник (рис. 1.2, где  - классическая матрица передачи) также имеет две группы клемм. Причем вторую группу (2) принято считать входными клеммами, а первую (1) - выходными. Следует отметить, что число пар клемм в каждой из групп может быть различным. Например, как показано на рис. 1.2, входных пар клемм может быть М, а выходных - N, причем N необязательно равно М. Такая ситуация возникает, например, при соединении нескольких устройств СВЧ, которое на эквивалентной схеме представляется каскадным соединением эквивалентных многополюсников (рис. 1.3). При каскадном соединении многополюсников необходимо, чтобы количество пар клемм эквивалентных многополюсников, соответствующих объединяемым выходам и входам устройства СВЧ, было одинаковым. Классическая матрица передачи  связывает линейной зависимостью эквива­лентные напряжения и токи на выделенных группах клемм эквивалентного многополюсника:

 (1.21)

где  - столбец, составленный из напряжений и токов на первой группе входов:

 - столбец, составленный из напряжений и токов на второй груп­пе входов:

Для выяснения физического смысла элементов матрицы  представим (1.21) в виде:  (1.22)

где  - столбцы напряжений и токов на соответствующих группах клемм;  - блоки классической матрицы передачи.

Запишем (1.22) в развернутом виде:      (1.23)

Отсюда следует, что блок есть матрица коэффициентов передачи по напряжению между входными и выходными клеммами эквивалентного многополюсника при  Эта матрица в общем случае - прямоугольная и состоит из М столбцов, по числу входных пар клемм многополюсника, и N строк, по числу выходных пар клемм многополюсника. Блок  есть матрица взаимных сопротивлений между входными и выходными клеммами многополюсника при  и также имеет размерность NxM. Блок  - матрица размерностью NxM взаимных проводимостей между входными и выходными клеммами многополюсника при  Блок  - матрица размерностью NxM коэффициентов передачи по току между входными и выходными клеммами многополюсника при Таким образом, классическая матрица передачи  в общем случае является прямоугольной, и чис­ло ее столбцов равно удвоенному числу входных пар клемм многополюсника 2М, а число строк - удвоенному числу выходных пар клемм 2 N.

Основным достоинством матрицы  является то, что при каскад­ном соединении нескольких многополюсников (см. рис. 1.3) результи­рующая классическая матрица передачи этих многополюсников опреде­ляется как произведение матриц передачи отдельных многополюсников, причем порядок следования многополюсников определяет порядок перемножения матриц:     (1.24)

Следует, однако, отметить, что матрица  как и матрицы  определена не для всех устройств СВЧ, а лишь для тех из них, для которых при выделенных группах входных и выходных клемм определены мат­рицы взаимных сопротивлений и проводимостей, т.е. определены блоки

Волновая матрица передачи устройства СВЧ применительно к их каскадному соединению также обладает мультипликативным свойством (1.24), т. е. при каскадном соединении многополюсников их результи­рующая волновая матрица передачи определяется произведением вол­новых матриц каждого из многополюсников в порядке их следования.

Волновая матрица передачи  связывает линейной зависимостью амплитуды падающих и отраженных волн на выходных клеммах эквивалентного многополюсника с амплитудами падающих и отраженных волн на входных клеммах многополюсника (см. рис. 1.2): 

где  - столбец, составленный из амплитуд падающих а₁ и отраженных волн на первой группе входов:

 - столбец, составленный из амплитуд отраженных  и падающих волн на второй группе входов:

Последнее равенство может быть представлено в развернутом виде:

Отсюда следует, что, как и матрица  волновая матрица в общем случае - прямоугольная и имеет размерность 2Nx2M

Следует отметить, что элементы блоков волновой матрицы переда­чи не имеют четкого физического смысла, а сама матрица  определена не для всех устройств СВЧ и ограниченно применяется на практике.

Зависимость матриц внешних характеристик от положения клеммных плоскостей. Как отмечалось в п. 1.1, смещение клеммных плоскостей вдоль входных линий передачи приводит к изменению, мат­риц внешних характеристик. Это объясняется тем, что при смещении клеммных плоскостей изменяются фазы падающих и отраженных волн. Если обозначить через  амплитуды падающей и отраженной волн на n-м входе устройства СВЧ до смещения клеммных плоскостей, то после смещения получим:

где  - продольная постоянная распространения в п-й входной линии передачи;  - величина смещения клеммной плоскости вдоль входной линии передачи, причем  - при смещении в сторону устройства СВЧ, - при смещении от устройства СВЧ. В матричном виде соотношения для  имеют вид , где  - диагональная матрица, элементы которой определяются как  Определив из этих соотношений  и  и подставив их в формулу, определяющую матрицу рассеяния (1.15), получим  Отсюда находим . Так как  связаны между собой через матрицу рассеяния , соответствующую смещенным клеммным плоскостям , то, сравнивая это равенство с последним соотношением, находим:

Так как матрица  - диагональная, то из этого равенства легко установить аналитическую связь между элементами матриц : 

Очевидно, что при смещении клеммных плоскостей изменяются матрицы  Однако не удается получить простой аналитической связи между элементами матриц сопротивлений и проводимостей до и после смещения клеммных плоскостей. Матричные же соотношения для  и  получаются подстановкой в (1.20).