Влияние геометрической симметрии устройства СВЧ на его внешние характеристики

Симметричным называется устройство СВЧ, которое не изменяется при преобразованиях симметрии. Каждое преобразование симметрии харак­теризуется изменением нумерации входов устройства СВЧ без измене­ния самого устройства. Примером таких устройств может служить сим­метричное Y-разветвление линий передачи (рис. 1.6,а). В таком разветв­лении линии передачи расходятся под углом 120° друг к другу из одной точки. При развороте такого устройства вокруг оси на 120° оно не изме­няет геометрической структуры, изменяется лишь порядок нумерации его входов (рис. 1.6,6). Существуют различные типы симметрии: пло­скостная, осевая, точечная, комбинированная и т.п. Каждому типу сим­метрии соответствуют определенные преобразования симметрии, на­пример поворот вокруг оси на какой-либо угол, зеркальное отображение относительно какой-либо плоскости и т.п. Рассмотрим некоторое симметричное устройство СВЧ и определим на его входах и клеммах экви­валентного многополюсника векторы  После преобразования симметрии из-за изменения нумерации входов эти векторы изменятся. Обозначим их  Каждому преобразованию симметрии устрой­ства СВЧ ставится в соответствие некоторый оператор симметричного преобразования R. Матрица этого оператора имеет размерность, равную числу входов устройства СВЧ, и состоит из нулей и единиц. Единицы стоят на пересечении тех строк и столбцов, номера которых соответст­вуют входам, изменившим свое место. Например, для симметричного Y-тройника (см.рис. 1.6.) матрица оператора поворота R на 120° по часовой стрелке имеет вид:

Таким образом, столбцы амплитуд падающих и отраженных волн, токов и напряжений до и после преобразования симметрии связаны со­отношениями:  (1.50)

Очевидно, что столбцы, например, напряжений и токов до и после преобразования связаны друг с другом одной и той же матрицей сопро­тивлений Матрицы инвариантны относительно преобразова­ний симметрии, так как геометрическая структура устройства в резуль­тате преобразования не изменяется. Поэтому справедливы уравнения:

 (1.51)  (1.52) Подставив в (1.52) значения векторов из (1.50), получим

В левые части этих равенств подставим значения  из (1.51):

Так как эти соотношения справедливы для любых столбцов  то  (1.53)

Отсюда следует, что матрицы внешних характеристик симметричных устройств СВЧ коммутируют с матрицами операторов симметричных преобразований. Из теории матриц известно, что если нормальные матрицы  коммутируют, т.е.  то они имеют одинаковые собственные векторы, которые образуют полную ортонормированную систему. Матрица  нормальна, если она удовлетворяет равенству  Матрица рассеяния устройства СВЧ без потерь унитарна  и поэтому всегда нормальна. Полнота системы собственных векторов означает, что произвольный вектор размерностью N может быть представлен как линейная комбинация собственных векторов. Ортонормированность системы соб­ственных векторов означает удовлетворение их равенствам (1.46). Таким образом установлено, что модальные матрицы (матрицы собствен­ных векторов) операторов симметричных преобразований и матриц внешних характеристик  симметричных устройств СВЧ совпадают. Можно показать, что множество операторов симметрии какого-либо устройства СВЧ вместе с единичным оператором  образуют группу относительно операции симметричного преобразования. В алгебре группой называют множество каких-либо элементов, для которых опре­делена групповая операция, называемая умножением и удовлетво­ряющая ряду условий. Среди операторов симметрии можно выделить так называемые образователи группы, различные произведения кото­рых образуют любой элемент группы. Определив в множестве операто­ров симметрии устройства СВЧ образователи группы, можно найти их модальные матрицы. Тогда в спектральных представлениях матриц внешних характеристик симметричных устройств СВЧ     неизвестными остаются только N собственных чисел каждой из матриц. Из этих соотношений в общем виде может быть определена структура элементов матриц внешних характеристик. Из анализа выражений для элементов этих матриц могут быть найдены ограничения на пределы изменения этих элементов. Например, анализируя симметричные трой­ники, можно показать, что невозможно обеспечить одновременное со­гласование всех их входов.

//л1 УСВЧ Макс