Деформации при кручении и условие жесткости вала

Из выражения (5.5) следует, что

,

интегрируя которое по длине вала, получим:

.

Если М _к = const и = const по всей длине вала, то

,

где - жесткость вала при кручении.

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины, называют относительным углом закручивания

.

Для обеспечения требуемой жесткости вала необходимо, чтобы наибольший относительный угол закручивания не превосходил допускаемого:

.

Эта формула выражает условие жесткости вала при кручении. Обычно принимается на 1 м длины вала.

 

Расчеты на прочность и жесткость валов круглого и кольцевого сечений

При расчетах на прочность при кручении (также как и при растяжении) могут решаться три задачи:

а) проверочный расчет – проверить, выдержит ли вал приложенную нагрузку;

б) проектировочный расчет - определить размеры вала из условия его проч­ности;

в) расчет по несущей способности - определить максимально допустимый крутящий момент.

- При проверочном расчете на прочность рекомендуется следующий порядок расчета валов при кручении:

1) по схеме вала и действующим на него скручивающим моментам строят эпюру внутренних крутящих моментов по отдельным участкам;

2) выбирают материал для рассчитываемого вала и определяют для этого ма­териала допускаемое напряжение, например по формуле (5.9), ;

3) для участка вала с максимальным по модулю значением крутящего момента записывают условие прочности при кручении

- Проектировочный расчет проводится, исходя из условия прочности на основе следующего соотношения:

     

Для сплошного круглого сечения , отсюда можем записать вы­ражение для определения диаметра вала из условия его прочности:

                                            

Для кольцевого сечения

Определив размеры вала из условия прочности, проверяют вал на жесткость.

Условие жесткости требует, чтобы максимальный относительный угол закручивания , был меньше или в предельном случае равен допускаемому углу закручивания единицы длины вала, т.е.

. (5.11)

Из условия прочности можно найти необходимый для обеспечения прочности полярный момент сопротивления сечения, а по нему и диаметр вала:

но W_ρ = 0,2 d ³, поэтому

(5.12)

Из формулы (5.11) можно найти необходимый полярный момент инерции сечения, а по нему и диаметр вала

В этой формуле допускаемый относительный угол закручивания должен быть выражен в радианах; если этот угол дан в градусах, то соотношение для определения I_p будет выглядеть следующим образом:

но I_p = 0,1 d ⁴ , поэтому

(5.13)

Из двух диаметров, рассчитанных по формулам (5.12) и (5.13), в качестве окончательного диаметра выбирается больший, который обычно округляется до целых миллиметров.

В случае расчета размеров вала кольцевого поперечного сечения при заданном соотношении внутреннего d _вн и наружного диаметров d, т.е. при заданном параметре k = d _вн / d, формулы (5.12) и (5.13) принимают вид:

(5.14)

(5.15)

 

Пример 2.

Подобрать диаметр сплошного вала, передающего мощность N =450 л.с. при частоте вращения n =300 об/мин. Угол закручивания не должен превышать одного градуса на 2 метра длины вала; =40 МПа, G =8  МПа.

Решение.

Крутящий момент определяем из уравнения

Диаметр вала по условию прочности определяется из уравнения

Диаметр вала по условию жесткости определяется из уравнения

Выбираем больший размер 0,112 м.

 

Пример 3.

Имеются два равнопрочных вала из одного материала, одинаковой длины, передающих одинаковый крутящий момент; один из них сплошной, а другой полый с коэффициентом полости . Во сколько раз сплошной вал тяжелее полого?

Решение.

Равнопрочными валами из одинакового материала считаются такие валы, у которых при одинаковых крутящих моментах, возникают одинаковые максимальные касательные напряжения, то есть

.

Условие равной прочности переходит в условие равенства моментов сопротивления:

.

Откуда получаем:

.

Отношение весов двух валов равно отношению площадей их поперечных сечений:

.

Подставляя в это уравнение отношение диаметров из условия равной прочности, получим

.

Как показывает этот результат, полый вал, будучи одинаковым по прочности, вдвое легче сплошного. Это объясняется тем, что в силу линейного закона распределения касательных напряжений по радиусу вала, внутренние слои относительно мало нагружены.

 

Пример 4.

Найти мощность в квт, передаваемую валом, если диаметр сплошного вала , число оборотов вала в минуту , модуль сдвига и угол закручивания участка вала длиной 7,5 м равен 1/15 ра­диан.

Решение.

Из формулы

Определим передаваемую мощность

Пример 5.

Определить, на сколько процентов увеличится на­ибольшее напряжение вала при кручении, если в валу сделано центральное отверстие (С=0,4).

Решение.

Полагая , полу­чим следующие выражения для напряжений сплошного и полого валов:

           

Искомая разница в напряжениях

Пример 6.

Заменить сплошной вал диаметра = 300 мм по­лым равнопрочным валом с наружным диаметром =350 мм. Найти внутренний диаметр полого вала и сравнить веса этих валов.

Решение.

Наибольшие касательные напряжения в обоих валах должны быть равными между собой:

Отсюда определим коэффициент С

Внутренний диаметр полого вала

Отношение весов равно отношению площадей поперечных сечений:

Из приведенных примеров 5 и 6 видно, что изготовление пусто­телых валов, т.е. валов, у которых малонагруженная внутренняя часть удаляется, является весьма эффективным средством сниже­ния затраты материала, а следовательно, и облегчения веса валов. При этом наибольшие напряжения, возникающие в пустотелом валу, мало отличаются от максимальных напряжений в валу сплошного сечения при том же наружном диаметре.

Так в примере 5 за счет сверления при , да­ющем облегчение вала на 16%, максимальные напряжения в наруж­ных волокнах полого вала возросли всего на 2,6%. В примере 6 равнопрочный пустотелый вал, но с несколько большим наружным диаметром по сравнению со сплошным валом, оказался легче сплошного на 53,4%. Эти примеры наглядно свидетельствуют о рацио­нальности применения пустотелых валов, что широко используется в некоторых областях современного машиностроения, в частности, в моторостроении.

Пример 7.

К стальному валу (см.рис.5.10) приложены скручивающие моменты: М ₁, M ₂, M ₃, M ₄. Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) при заданном значении определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его величину до ближайшей большей, соответственно равной: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм;

3) построить эпюру углов закручивания;

4) найти наибольший относительный угол закручивания.

Дано: М ₁ = М ₃ = 2 кНм, М ₂ = М ₄ = 1,6 кНм, а = b = с = 1,2 м, = 80 МПа.

Рис.5.10

 

Решение.

1. Построить эпюру крутящих моментов.

При построений эпюр М _кр примем следующее правило знаков: крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части бруса действующий на него момент представляется направленным по движению часовой стрелки.

Крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях брусьев, определяются по внешним окручивающим моментам с помощью метода сечений. На основании метода сечения крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Для брусьев, имеющих один неподвижно закрепленный (заделанный) и один свободный конец, крутящие моменты всех поперечных сечений удобно выражать через внешние моменты, приложенные с той стороны от рассматриваемого сечения, с которой расположен свободный конец. Это позволяет определять крутящие моменты, не вычисляя реактивного момента, возникающего в заделке.

Для построения эпюры крутящих моментов необходимо найти величины крутящих моментов на каждом участке вала.

I участок (КД):

кНм,

II участок (СД):

кНм,

III участок (СВ):

кНм,

IV участок (ВА):

кНм.

По значению этих моментов строим эпюру М _кр в выбранном масштабе. Положительные значения М _кр откладываем вверх, отрицательные - вниз от нулевой линии эпюры (см. рис.5.11).

Рис.5.11

 

2. При заданном значении определим диаметр вала из расчета на прочность.

Условие прочности при кручении имеет вид

.

- максимальный крутящий момент, взятый по абсолютной величине. Определяется из эпюры М _кр (рис.5.11).

кНм;

- полярный момент сопротивления для сплошного круглого вала.

Диаметр вала определяется по формуле

.

Принимаем d = 50 мм = 0,05 м.

3. Построим эпюру углов закручивания.

Угол закручивания участка вала длиной l постоянного поперечного сечения определяется по формуле

.

где - жесткость сечения вала при кручении.

Н/м²;

- полярный момент инерции круглого вала

м⁴.

Вычислим углы закручивания сечений В, С, D и К относительно закрепленного конца вала (сечения А)

рад,

рад,

рад,

рад.

Строим эпюру углов закручивания (рис.5.11).

4. Найдем наибольший относительный угол закручивания

рад/м.

 

Пример 8.

Определить напряжения и погонный угол закручивания стальной разрезной трубы (рис.5.12), имеющей диаметр средней линии d =97,5 мм и толщину мм. Крутящий момент – 40 Нм. Модуль сдвига материала трубы G = 8·10⁴ МПа. Сравнить полученные напряжения и угол закручивания с напряжением и углом закручивания для сплошной трубы.

Рис.5.12

 

Решение.

Касательные напряжения в разрезной трубе, представляющей собой тонкостенный стержень, определим по формуле

где - развернутая длина осевой линии трубы.

Напряжение в сплошной трубе определяется по формуле

Угол закручивания на метр длины для разрезной трубы определяется по формуле

Погонный угол закручивания для сплошной трубы определяется по формуле

Таким образом, в сплошной трубе по сравнению с разрезанной вдоль образующей при кручении напряжения меньше в 58,3 раза, а угол закручивания – в 1136 раз.