Построение эпюр крутящих моментов

Построение эпюр крутящих моментов

Зная величины внешних скручивающих моментов и используя метод сечений, мы можем определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала. Крутящий момент М _к в сечении вала числено равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, действующих по одну сторону от сечения, при этом могут рассматриваться как левая, так и правая отсеченные части вала.

Примем правило знаков для крутящего момента: его положительное направление соответствует повороту сечения по ходу часовой стрелки, если смотреть на сечение со стороны внешней нормали (рис. 5.2).

Рис.5.2

 

При наличии распределенной моментной нагрузки m (рис.5.3) крутящие моменты М_К связаны дифференциальной зависимостью

(5.1)

из которой вытекает следующая формула:

(5.2)

где – крутящий момент в начале участка.

Согласно формуле (5.2) на участках с равномерно распределенной нагрузкой m крутящий момент изменяется по линейному закону. При отсутствии погонной нагрузки (m = 0) крутящий момент сохраняет постоянное значение (М_К = М_Ко = const). В сечениях, где к валу приложены сосредоточенные скручивающие моменты, на эпюре М_К возникают скачки, направленные вверх, если моменты направлены против часовой стрелки, либо вниз – при обратном направлении моментов.

Рис. 5.3

 

Пример 1.

Построить эпюру крутящих моментов для жестко защемленного стержня (рис.5.4, а).

Рис.5.4

 

Решение.

Следует отметить, что алгоритм и принципы построения эпюры крутящих моментов полностью совпадают с алгоритмом и принципами построения эпюры продольных сил.

1. Намечаем характерные сечения.

2. Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.

3. По найденным значениям строим эпюру (рис.5.4, б).

 

Рис.5.5

 

Для того чтобы проинтегрировать это выражение необходимо знать закон распределения напряжений в сечении. Выделим из вала элементарное кольцо длиной dz и толщиной (рис.5.6).

Правый торец элемента повернется относительно левого на угол , образующая СВ повернется на угол и займет положение СВ ₁. Угол - относительный сдвиг. Из треугольника ОВВ ₁ найдем:

Рис.5.6 Рис.5.7

 

.

Из треугольника СВВ ₁: . Откуда, приравнивая правые части, получим

.

На основании закона Гука при сдвиге:

. (5.4)

Подставим выражение (5.2) в (5.1):

.

Откуда

. (5.5)

Подставим значение в выражение (5.4) получим:

.

Таким образом, касательные напряжения при кручении прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения до рассматриваемой точки и одинаковы в точках, одинаково удаленных от центра тяжести сечения (рис. 5.7). При получим . Наибольшие напряжения возникают в точках контура сечения при :

.

Величина отношения полярного момента инерции к радиусу вала называется моментом сопротивления сечения при кручении или полярным моментом сопротивления

.

Для сплошного круглого сечения

.

Для кольцевого сечения

,

где .

Тогда максимальные касательные напряжения равны

.

 

Рис.5.8 Рис.5.9

 

Таким образом, характер разрушения зависит от способности материала вала сопротивляться воздействию нормальных и касательных напряжений. В соответствии с этим, допускаемые касательные напряжения принимаются равным - для хрупких материалов и - для пластичных материалов.

 

Пример 2.

Подобрать диаметр сплошного вала, передающего мощность N =450 л.с. при частоте вращения n =300 об/мин. Угол закручивания не должен превышать одного градуса на 2 метра длины вала; =40 МПа, G =8  МПа.

Решение.

Крутящий момент определяем из уравнения

Диаметр вала по условию прочности определяется из уравнения

Диаметр вала по условию жесткости определяется из уравнения

Выбираем больший размер 0,112 м.

 

Пример 3.

Имеются два равнопрочных вала из одного материала, одинаковой длины, передающих одинаковый крутящий момент; один из них сплошной, а другой полый с коэффициентом полости . Во сколько раз сплошной вал тяжелее полого?

Решение.

Равнопрочными валами из одинакового материала считаются такие валы, у которых при одинаковых крутящих моментах, возникают одинаковые максимальные касательные напряжения, то есть

.

Условие равной прочности переходит в условие равенства моментов сопротивления:

.

Откуда получаем:

.

Отношение весов двух валов равно отношению площадей их поперечных сечений:

.

Подставляя в это уравнение отношение диаметров из условия равной прочности, получим

.

Как показывает этот результат, полый вал, будучи одинаковым по прочности, вдвое легче сплошного. Это объясняется тем, что в силу линейного закона распределения касательных напряжений по радиусу вала, внутренние слои относительно мало нагружены.

 

Пример 4.

Найти мощность в квт, передаваемую валом, если диаметр сплошного вала , число оборотов вала в минуту , модуль сдвига и угол закручивания участка вала длиной 7,5 м равен 1/15 ра­диан.

Решение.

Из формулы

Определим передаваемую мощность

Пример 5.

Определить, на сколько процентов увеличится на­ибольшее напряжение вала при кручении, если в валу сделано центральное отверстие (С=0,4).

Решение.

Полагая , полу­чим следующие выражения для напряжений сплошного и полого валов:

           

Искомая разница в напряжениях

Пример 6.

Заменить сплошной вал диаметра = 300 мм по­лым равнопрочным валом с наружным диаметром =350 мм. Найти внутренний диаметр полого вала и сравнить веса этих валов.

Решение.

Наибольшие касательные напряжения в обоих валах должны быть равными между собой:

Отсюда определим коэффициент С

Внутренний диаметр полого вала

Отношение весов равно отношению площадей поперечных сечений:

Из приведенных примеров 5 и 6 видно, что изготовление пусто­телых валов, т.е. валов, у которых малонагруженная внутренняя часть удаляется, является весьма эффективным средством сниже­ния затраты материала, а следовательно, и облегчения веса валов. При этом наибольшие напряжения, возникающие в пустотелом валу, мало отличаются от максимальных напряжений в валу сплошного сечения при том же наружном диаметре.

Так в примере 5 за счет сверления при , да­ющем облегчение вала на 16%, максимальные напряжения в наруж­ных волокнах полого вала возросли всего на 2,6%. В примере 6 равнопрочный пустотелый вал, но с несколько большим наружным диаметром по сравнению со сплошным валом, оказался легче сплошного на 53,4%. Эти примеры наглядно свидетельствуют о рацио­нальности применения пустотелых валов, что широко используется в некоторых областях современного машиностроения, в частности, в моторостроении.

Пример 7.

К стальному валу (см.рис.5.10) приложены скручивающие моменты: М ₁, M ₂, M ₃, M ₄. Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) при заданном значении определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его величину до ближайшей большей, соответственно равной: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм;

3) построить эпюру углов закручивания;

4) найти наибольший относительный угол закручивания.

Дано: М ₁ = М ₃ = 2 кНм, М ₂ = М ₄ = 1,6 кНм, а = b = с = 1,2 м, = 80 МПа.

Рис.5.10

 

Решение.

1. Построить эпюру крутящих моментов.

При построений эпюр М _кр примем следующее правило знаков: крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части бруса действующий на него момент представляется направленным по движению часовой стрелки.

Крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях брусьев, определяются по внешним окручивающим моментам с помощью метода сечений. На основании метода сечения крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Для брусьев, имеющих один неподвижно закрепленный (заделанный) и один свободный конец, крутящие моменты всех поперечных сечений удобно выражать через внешние моменты, приложенные с той стороны от рассматриваемого сечения, с которой расположен свободный конец. Это позволяет определять крутящие моменты, не вычисляя реактивного момента, возникающего в заделке.

Для построения эпюры крутящих моментов необходимо найти величины крутящих моментов на каждом участке вала.

I участок (КД):

кНм,

II участок (СД):

кНм,

III участок (СВ):

кНм,

IV участок (ВА):

кНм.

По значению этих моментов строим эпюру М _кр в выбранном масштабе. Положительные значения М _кр откладываем вверх, отрицательные - вниз от нулевой линии эпюры (см. рис.5.11).

Рис.5.11

 

2. При заданном значении определим диаметр вала из расчета на прочность.

Условие прочности при кручении имеет вид

.

- максимальный крутящий момент, взятый по абсолютной величине. Определяется из эпюры М _кр (рис.5.11).

кНм;

- полярный момент сопротивления для сплошного круглого вала.

Диаметр вала определяется по формуле

.

Принимаем d = 50 мм = 0,05 м.

3. Построим эпюру углов закручивания.

Угол закручивания участка вала длиной l постоянного поперечного сечения определяется по формуле

.

где - жесткость сечения вала при кручении.

Н/м²;

- полярный момент инерции круглого вала

м⁴.

Вычислим углы закручивания сечений В, С, D и К относительно закрепленного конца вала (сечения А)

рад,

рад,

рад,

рад.

Строим эпюру углов закручивания (рис.5.11).

4. Найдем наибольший относительный угол закручивания

рад/м.

 

Пример 8.

Определить напряжения и погонный угол закручивания стальной разрезной трубы (рис.5.12), имеющей диаметр средней линии d =97,5 мм и толщину мм. Крутящий момент – 40 Нм. Модуль сдвига материала трубы G = 8·10⁴ МПа. Сравнить полученные напряжения и угол закручивания с напряжением и углом закручивания для сплошной трубы.

Рис.5.12

 

Решение.

Касательные напряжения в разрезной трубе, представляющей собой тонкостенный стержень, определим по формуле

где - развернутая длина осевой линии трубы.

Напряжение в сплошной трубе определяется по формуле

Угол закручивания на метр длины для разрезной трубы определяется по формуле

Погонный угол закручивания для сплошной трубы определяется по формуле

Таким образом, в сплошной трубе по сравнению с разрезанной вдоль образующей при кручении напряжения меньше в 58,3 раза, а угол закручивания – в 1136 раз.

 

 

Рис. 5.13

 

в точке В              

, (5.17)

здесь необходимо учесть, что b - малая сторона прямоугольника.

Значения угла закручивания определяется по формуле:

,                             (5.18)

где - момент инерции при кручении, аналог полярного момента инерции поперечного сечения бруса.

Коэффициенты , и зависят от отношения сторон , и их значения приведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1. Значения коэффициентов для прямоугольных сечений

1,0	0,208	0,140	1,0
1,2	0,219	0,166	-
1,4	0,228	0,187	0,865
1,6	0,234	0,204	0,845
1,8	0,240	0,217	-
2,0	0,246	0,229	0,796
2,5	0,258	0,249	-
3,0	0,267	0,263	0,753
4,0	0,282	0,281	0,745
6,0	0,299	0,299	0,743
8,0	0,307	0,307	0,743
10,0	0,313	0,313	0,743
Более 10	0,333	0,333	0,743

               

Значения , и для различных сечений приведены в табл.4.2.

Таблица 4.2. Геометрические характеристики жесткости и прочности для

некоторых сечений при кручении прямого бруса

Форма поперечного сечения	Момент инерции при кручении	Момент сопротивления при кручении	Наибольшие касательные напряжения
Квадрат			В серединах сторон В углах
Круг с лыской			В середине плоского среза
Эллипс			В конце малой полуоси большой
Равносторонний треугольник			В серединах сторон в углах
Правильный шести- или восьмиугольник	(для шестиугольника , для восьмиугольника )	(для шестиугольника , для восьмиугольника )	В серединах сторон в углах
Форма клина			В точках длинных сторон ближе к широкому основанию
Полое эллиптическое сечение	; (); ()		В конце малой полуоси , большой , при малой толщине (равномерно по сечению)
Незамкнутое кольцевое сечение			В точках внутреннего и наружного сечения

 

Пример 9.

Имеются два равнопрочных вала из одного материала, одинаковой длины, передающие одинаковый крутящий момент; один из них круглого поперечного сечения, а другой - квадратного. Во сколько раз квадратный вал тяжелее круглого?

Решение.

Условие равной прочности имеет следующий вид:

,

где ; значение коэффициента определяется по таблице 4.1 и составляет для квадратного сечения () .

Из условия равной прочности получаем:

.

Отношение весов двух валов равно отношению площадей их поперечных сечений:

.

Подставляя в это уравнение отношение из условия равной прочности, получим

.

 

Сдвиг

Сдвигом называют деформацию, представляющую собой искажение первоначально прямого угла малого элемента бруса (рис.5.14) под действием касательных напряжений . Развитие этой деформации приводит к разрушению, называемому срезом или, применительно к древесине, скалыванием. Примером сдвига является резка полосы ножницами. На сдвиг работают жесткие соединения конструкций – сварные, заклепочные и так далее.

 

Деформация сдвига оценивается взаимным смещением граней 1 – 1 и 2 – 2 малого элемента (рис. 5.15), называемым абсолютным сдвигом и более полно – относительным сдвигом (углом сдвига)

, (5.19)

являющимся безразмерной величиной.

В предположении равномерного распределения касательных напряжений по сечению площадью А, они определяются по формуле

, (5.20)

где Q – поперечная сила в данном сечении.

Условие прочности записывается по минимальной площади среза S _min, отражающей минимальное число соединяющих элементов (заклепок, болтов, штифтов и т.д.) или минимальную длину сварного шва.

Величина допускаемых напряжений зависит от свойств материала, характера нагрузки и может быть определена по 3-ей теории прочности: , а так как при чистом сдвиге , то

, (5.21)

При расчете болтовых или заклепочных соединений учитывается смятие контактирующих поверхностей, то есть пластическую деформацию, возникающую на поверхности контакта.

,

где A _см – площадь проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость.

При выполнении проектного расчета, то есть при определении необходимого диаметра заклепки, болта или при определении их количества необходимо учитывать условие прочности на срез и на смятие, из двух значений следует взять большее число, округлив его до ближайшего целого в меньшую сторону.

Примечания: 1. Так как болты и заклепки ослабляют соединяемые листы, последние проверяют на разрыв в ослабленных сечениях

.

При расчетах сварных швов наплывы не учитывают, а считают, что в разрезе угловой шов имеет форму прямоугольного равнобедренного треугольника и разрушение шва происходит по его минимальному сечению, высота которого

,

где – минимальная толщина соединяемых листов.

В пределах упругости касательное напряжение прямо пропорционально относительному сдвигу

(5.22)

– это закон Гука при сдвиге; G – модуль сдвига, Н/м², характеризующий жесткость материала при сдвиге.

Закон Гука при сдвиге через абсолютные деформации:

, (5.23)

где а – расстояние между сдвигаемыми гранями; А – площадь грани.

Модуль сдвига G, модуль продольной упругости Е и коэффициент Пуассона материала связаны зависимостью

Удельная потенциальная энергия деформации сдвига равна

На практике чаще всего теория сдвига применяется к расчету болтов, заклепок, шпонок, сварных швов и других элементов соединений.

Расчет заклепок на срез

Мы изучали, что при простом растяжении или простом сжатии две части стержня, разделенные наклонным сечением, стремятся не только оторваться друг от друга, но и сдвинуться одна относительно другой. Растяжению сопротивляются нормальные, а сдвигу — касательные напряжения.

На практике целый ряд деталей и элементов конструкций работает в таких условиях, что внешние силы стремятся их разрушить именно путем сдвига.

В соответствии с этим при проверке прочности таких элементов на первый план выступают касательные напряжения. Простейшими примерами подобных деталей являются болтовые и заклепочные соединения. Заклепки во многих случаях уже вытеснены сваркой; однако они имеют еще очень большое применение для соединения частей всякого рода металлических конструкций: стропил, ферм мостов, кранов, для соединения листов в котлах, судах, резервуарах и т. п. Для образования заклепочного соединения в обоих листах просверливают или продавливают отверстия. В них закладывается нагретый до красного каления стержень заклепки с одной головкой; другой конец заклепки расклепывается ударами специального молотка или давлением гидравлического пресса (клепальной машины) для образования второй головки. Мелкие заклепки (малого диаметра — меньше 8 мм) ставятся в холодном состоянии (авиационные конструкции).

Для изучения работы заклепок рассмотрим простейший пример заклепочного соединения (рис.5.16). Шесть заклепок, расположенных в два ряда, соединяют два листа внахлестку. Под действием сил Р эти листы стремятся сдвинуться один по другому, чему препятствуют заклепки, на которые и будет передаваться действие сил P).

 

Рис.5.16.

 

Для проверки прочности заклепок применим общий порядок решения задач сопротивления материалов.

На каждую заклепку передаются по две равные и прямо противоположные силы: одна—от первого листа, другая — от второго. Опытные исследования показывают, что одни из заклепок ряда нагружаются больше, другие — меньше. Однако к моменту разрушения усилия, передающиеся на различные заклепки, более или менее выравниваются за счет пластических деформаций. Поэтому принято считать, что все заклепки работают одинаково. Таким образом, при заклепках в соединении, изображенном на рис.5.16, на каждую из них действуют по две равные и противоположные силы (рис.5.17); эти силы передаются на заклепку путем нажима соответствующего листа на боковую полуцилиндрическую поверхность стержня. Силы стремятся перерезать заклепку по плоскости mk раздела обоих листов.

Рис.5.17.

 

Для вычисления напряжений, действующих по этой плоскости, разделим мысленно заклепочный стержень сечением mk и отбросим нижнюю часть (рис.5.17). Внутренние усилия, передающиеся по этому сечению от нижней части на верхнюю, будут уравновешивать силу т. е. будут действовать параллельно ей в плоскости сечения, и в сумме дадут равнодействующую, равную . Следовательно, напряжения, возникающие в этом сечении и действующие касательно к плоскости сечения, это — касательные напряжения . Обычно принимают равномерное распределение этих напряжений по сечению. Тогда при диаметре заклепки d на единицу площади сечения будет приходиться напряжение:

Величина допускаемого касательного напряжения , или, как говорят, допускаемого напряжения на срез, принято определять в виде: . Зная , мы напишем условие прочности заклепки на перерезывание в таком виде:

т. е. действительное касательное напряжение в материале заклепки должно быть равно допускаемому , или меньше его.

Из этого условия можно определить необходимый диаметр заклепок, если задаться их числом, и наоборот. Обычно задаются диаметром заклепочных стержней d в соответствии с толщиной t склепываемых частей (обычно ) и определяют необходимое число заклепок :

Знаменатель этой формулы представляет собой ту силу, которую безопасно может взять на себя каждая заклепка.

Пусть ; тогда

Рис.5.18

 

При выводе формулы расчета заклепки на перерезывание, помимо оговоренных, допущена еще одна неточность. Дело в том, что силы действующие на заклепку, не направлены по одной прямой, а образуют пару. Эта пара уравновешивается другой парой, образующейся из реакций соединенных листов на головку заклепки (рис.5.18) и ведет к появлению нормальных напряжений, действующих по сечению mk.

Кроме этих нормальных напряжений, по сечению mk действуют еще нормальные напряжения, вызванные тем, что при охлаждении заклепочный стержень стремится сократить свою длину, чему мешает упор головок заклепки в листы. Это обстоятельство, с одной стороны, обеспечивает стягивание заклепками листов и возникновение между ними сил трения, с другой — вызывает значительные нормальные напряжения по сечениям стержня заклепки. Особых неприятностей эти напряжения принести не могут. На заклепки идет сталь, обладающая значительной пластичностью; поэтому даже если бы нормальные напряжения достигли предела текучести, можно ожидать некоторого пластического удлинения стержня заклепки, что вызовет лишь уменьшение сил трения между листами и осуществление в действительности той схемы работы заклепки на перерезывание, на которую она и рассчитывается. Поэтому эти нормальные напряжения расчетом не учитываются.

При проектировании строительных конструкций применяется следующее условие прочности на срез для заклепок и болтовых соединений

(5.24)

где Q – поперечная сила, равная внешней силе F, действующей на соединение; R_bs – расчетное сопротивление на срез; – расчетная площадь сечения болта или заклепки; d – диаметр заклепки или наружный диаметр болта; n_s – число срезов одного болта или заклепки; – коэффициент условий работы соединения, имеющий значения в интервале ; n – число болтов или заклепок.

Если величины F, R_bs, , n_s известны, то задаваясь числом заклепок или болтов n, можно найти необходимый для обеспечения прочности на срез диаметр

. (5.25)

А зная d, F, R_bs, , n_s, можно определить потребное число заклепок или болтов

(5.26)

 

 

Рис.5.21

 

В несколько других условиях будут работать заклепки соединения, показанного на рис.5.21, а. Здесь стык двух листов осуществлен при помощи двух накладок. Сила Р при помощи первой группы заклепок передается от левого листа обеим накладкам, а от последних при помощи второй группы заклепок передается правому листу.

Называя через число заклепок, необходимое для передачи усилия Р от листа на накладки и от накладок на другой лист, получаем, что на каждую заклепку передается усилие от основного листа . Оно уравновешивается усилиями , передающимися на заклепку от накладок (рис.5.21, б).

Стержень заклепки теперь подвергается перерезыванию уже в двух плоскостях; средняя часть заклепки сдвигается влево. Допускают, что срезывающая сила равномерно распределяется по двум сечениям, mk и gf. Напряжение и условие прочности для двухсрезной заклепки принимает вид:

и

Таким образом, при двойном перерезывании число заклепок по срезыванию оказывается в два раза меньше, чем при одиночном перерезывании.

Переходим к проверке на смятие. Толщина склепываемых листов ; толщина накладок не должна быть меньше 0,5 t, так как две накладки должны взять от основного листа всю силу Р. Поэтому: