Трансдефинитный Порядковый Сегмент

Этот сегмент из

∗

, определяется как

:= класс n-тупелей ординалов α

1

,..., α

н

,

с

α

я

∈

,

α

1

> 0 если n > > 1,

является трансдефинитным обобщением десятичной системы счисления. Замена малого основания 10 на
большое основание

приводит к соответствию между "однозначными" натуральными числами

0

,..., 9 и α ∈

, а также между "многозначными" натуральными числами и

трансдефинитные ординалы

:

1

, 0, 1, 1,..., 1, α,..., 2, 0, 2, 1,..., 1, 0, 0,...

Отныне мы будем обозначать ординалов

∈

пользуясь

α, β, γ,.... Ординалы, имеющие
длину 1, называются малыми ординалами или просто порядковыми числами; ординалы, имеющие длину
> 1, называются большими или трансдефинитными ординалами. Хорошее упорядочение < из них on
соответствует хорошему упорядочению натуральных чисел в десятичной системе счисления, упорядоченному
по длине и, в случае равных длин двух ординалов, по первому появлению
разности: для

α = α

1

,..., α

м

и

β = β

1

,..., β

н

мы определяем:

α < β:= m

i (α

я

< β

я

∧

j

я

= β

я

)).

Мы классифицируем ординалы в соответствии со значениями на их последних местах значений. Есть

последовательные ординалы со значениями на последнем месте

α + 1, предельные ординалы или лиминалы, имеющие предельные
числа в качестве значений последнего места, и 0 -ординалы, которые либо сами являются 0, либо большие ординалы
, имеющие значения последнего места 0. Мы называем эти литорали, поскольку они граничат с кардинально
огромным океаном, тогда как лиминальные стоят на сравнительно твердой почве с обеих сторон:
непосредственные преемники впереди, близкие предшественники позади, которые отделены только
наборами ординалов. (Замена значения последнего места

λ лиминального любым β < λ приводит к
близкому предшественнику.) Как мы делаем расчеты с этими экстенсивно неопределенными
величинами?

Это очень просто. Ну-порядок

< на

уже определяет дополнение,

умножение и возведение в степень внутри

если основные принципы арифметики естественны

и порядковые номера придерживаются к:

* Принцип добавления. Сумма:

α и β-наименьшие γ, которые для всех δ

превышает сумму:

α и δ (для β > 0).

* Принцип умножения. Продукт от

α и β-наименьший γ, который для всех

δ

* Принцип возведения в степень. Сила этого слова:

α и β-наименьший γ, который для всех

δ < β по крайней мере превышает α-кратную мощность α и δ (для β > 0).

Эти принципы, которые не зависят от нотации, действительны для любого сегмента сети Интернет.

∗

. Они являются, наряду с начальными уравнениями

α + 0 = α, α

0

= 1, что эквивалентно

316

U. Blau

обычные определения суммы, произведения и степени натуральных чисел (ограничиваются

ω) и

порядковых номеров (ограничено до

). Для сегмента

, мы не рассматриваем повышение

а пока-к власти. Мы определяем сумму и произведение следующим образом. Позволь

Л

α

будьте длина

n из

α = α

1

,..., α

н

∈

и

α

я

∈

будь то

я

th

член Совета

α.

Если

Л

α

< Л

β

, потом отпустить

α + β:= β;

в противном случае, если

Л

α

= m + n, L

β

= n (m ≥ 0, n ≥ 1),

потом отпустить

α + β:= α

1

,..., α

м

, α

М+1

+ β

1

, β

2

,..., β

н

(Д

+)

Если

α = 0 ∨ β = 0, то пусть α * β:= 0;

в противном случае, если

Л

α

= m, L

β

= n(m ≥ 1, n ≥ 1),

потом отпустить

α · β:= β

1

,..., β

Н-1

, α

1

· β

н

, α

2

,..., α

м

,

где

α

я

:=

α

я

если

β

н

является ли номер преемника

0

если

β

н

= 0 или β

н

это предельное число

(i = 2,..., м)

(Д

·)

Этот продукт любопытно запутан, узел, связанный Кантором путем переключения естественного
порядка порядковых факторов: ‘

α * β 'означает" α, β раз". Если мы адаптируем наше письмо к

общеупотребительный:

α × β: = β · α ('α раз β’)

узел развязался:

Если

α = 0 или β = 0, тогда пусть α × β:= 0;

в противном случае, если

Л

α

= m, L

β

= n (m ≥ 1, n ≥ 1),

потом отпустить

α × β:= α

1

,..., α

М-1

, α

м

× β

1

, β

2

,..., β

н

где

β

я

:=

β

я

если

α

м

является ли номер преемника

0

если

α

м

= 0 или α

м

это предельное число

(i = 2,..., северный)

(Д

×)

С помощью этих определений принципы сложения и умножения доказуемы; я буду

не вникай в это здесь.

4

Основные свойства порядковой арифметики переносятся из

Для

, в частности

(α + β) + γ = α + (β + γ)

(α · β) · γ = α · (β · γ)

α · (β + γ) = α · β + α · γ.

Конечно, сложение и умножение не являются коммутативными на

; например, для

порядковый номер

α > 1 имеем:

α + 1, 0 = 1, 0 < 1, α = 1, 0 + α.

α · 1, 0 = 1, 0 < α, 0 = 1, 0 · α.

4

Доказательства всех утверждений, не доказанных в настоящей статье, можно найти в моей неопубликованной работе

рукопись [5].

Самые большие и самые малые числа

317

А как насчет возведения в степень? Вообще, 1

, 0

н

= 1, 0,..., 0 С n нулями; следовательно,

1

, 0

ω

является наименьшим порядковым номером снаружи

. С 1-го числа

, 0 представляет класс

в

,

является нотационной системой для начального сегмента

ω

от

∗

.

Для чего философу нужны трансдефинитные ординалы?