Предыстория парадокса Рассела

Николас Гриффин

Абстрактный. В статье рассматривается то, что известно о процессе, с помощью которого Рассел пришел к своему параграфу-

dox, объединяющий вклады Айвора Грэттана-Гиннеса, Грегори Х. Мура, Алехандро
Гарсиадьего и Альберто Коффы. Он также затрагивает вопрос о том, почему Рассел был так обеспокоен
результатом, когда предыдущие мыслители (Бурали-Форти, Кантор), приходя к аналогичным результатам,
не были.

Моя цель в этой статье-проследить линию мысли, которая привела Рассела к открытию
его парадокса и к его осознанию того, что это была, по сути, важная и трудная
проблема, и в ходе этого пролить свет на небольшую загадку в
исторических записях. Загадка заключается в следующем: Рассел был не первым человеком, который нашел парадокс
в теории множеств, но он был первым, кто поднял действительно большой шум по этому поводу. Я хочу понять
, почему-и почему Рассел это сделал, и почему другие этого не сделали.

Итак, во-первых, простые факты хронологии. Самореферентные парадоксы того типа, который
Рамси классифицировал как семантический или лингвистический, существовали в течение очень долгого времени.
Вряд ли Святой Павел сознавал, что он создал парадокс, когда сказал Титу, что
Критский пророк действительно сказал, что все критяне-лжецы, поскольку он использовал это, мягко говоря
, двусмысленное свидетельство в качестве основания для резкого упрека их. Но писатели
с более высокой логической остротой, например Сервантес, давно использовали их в качестве шуток и головоломок.
С этим нет никаких особых проблем. В конце концов, нет никаких оснований предполагать, что
язык последователен.

Теория множеств, логика и математика-это совершенно другое дело, и именно там
наша история должным образом начинается. Хронология здесь короткая, но запутанная. История, которая
рассказывается студентам, заключается в том, что последовательность выполняется

1897:

Самый большой порядковый парадокс бурали-Форти;

1899:

Величайший кардинальный парадокс Кантора;

1901:

Классовый парадокс Рассела.

Это имеет два преимущества: это легко запомнить для экзаменов, и это кратко изложить
в качестве исторического отступления в курсе по теории множеств. К сожалению, история редко
бывает такой, какой хотелось бы ее видеть, и это не исключение. Реальная история
гораздо сложнее, и из трех приведенных дат только третья является однозначно
правильной. Несколько человек сыграли свою роль в распутывании сложного исторического рекорда,
но я бы упомянул, в частности, Ивора Grattan-Guinness, Альберто Коффа, Грегори Мур

350

Н. Гриффин

и Алехандро Гарсиадьего, из чьих сочинений Я многое почерпнул, что будет
очевидно любому, кто их знает.

Рассмотрим, во-первых, величайший порядковый парадокс. Позволь

быть порядковым номером объекта

хорошо упорядоченный набор всех ординалов, нет. Для любого порядкового номера

a, a + 1 > a. таким образом

+ 1 >

.

Но, для каждого

а ∈ нет, а ≤

. Таким образом

+ 1 ≤

. Теперь понятно, что это аргумент

по этим направлениям впервые появились в [4],

1

но вопреки тому, что говорит Ван Хейеноорт в
переиздании статьи, она не “сразу вызвала интерес математического
мира” ([32]: 104). Это было скорее, как указывает Гарсиадьего ([19]: 25-26), полностью
проигнорировано—отдельно, то есть для краткой заметки самого Бурали-Форти [5], пытающегося исправить
недопонимание в оригинальной статье понятия Кантора о хорошо упорядоченном множестве.

Существует более простой ответ на вопрос, почему интерес математического
мира не был сразу вызван открытием аналогичного парадокса Кантора
о величайшем Кардинале: Кантор не опубликовал его. Да он и не говорил об этом-как о парадоксе. Однако он
все же обратил внимание на ее существование.

2

о том, что он называл непоследовательными множествами, из которых
множество всего мыслимого было одним, а множество всех кардиналов-другим. Он писал
Дедекинду об этом в письмах от июля и августа 1899 года.,

3

что устанавливает наименьшую
верхнюю границу на дату. Было предложено много более ранних дат, включая 1890,
1892, 1895 и 1896 годы.

4

Сам Кантор сказал:

5

эта идея пришла ему в голову еще в 1883 году, но
, по-видимому, нет никаких текстуальных доказательств этого, кроме его воспоминаний. Ясно то
, что мир не узнал Кантора противоречива множеств от Кантора
сам до 1932 года, когда его письма к Дедекинд были опубликованы, правда
, что любой математик мог бы их обнаружил для себя довольно легко, как только
Кантор питания-сеть теорема была доказана [8] путем применения силы-комплекс теорема в
комплект всех наборов.

Наконец, в мае

6

или (в начале) июня 1901 года

7

приходит парадокс Рассела. Он
впервые появился в проекте Рассела 1901 года части I принципов математики ([ CPBR3 ]:
195). Он появился с гораздо большей проработкой и известностью в окончательном, 1902
году черновом варианте того же раздела книги (опубликованном в 1903 году). Еще до публикации
" принципов " Рассел сообщил об этом Фреге в своем знаменитом письме от 16 июля 1917 года.

1

На самом деле это не совсем верно: Бурали-Форти считал, что нет не просто хорошо упорядочен, а идеально упорядочен.

Этот вопрос обсуждается в [29].

2

Слово "существование" здесь спорно. Смотреть ниже.

3

Документальная запись даже здесь была запачкана дрянным монтажом со стороны Цермело. Два письма,
от июля и августа 1899 года, были объединены в одно в его издании Кантора Gesammelte Abhandlungen
[12], см. [20]: 126-8. Последующее издание Briefe [13] должным образом разделяет их снова. Частичный
английский перевод in ([32]: 113-117), к сожалению, следует за Zermelo. Более подробно об этом говорится в
переписке Кантора с Гильбертом, см. [13]: 390–400. Там Кантор называет наборы, которые не являются несогласованными
"готовыми".

4

Доказательства в пользу и против всех этих дат могут быть собраны-часто с трудом и путем вывода из

краткие замечания см. в [19]: 33-6.

5

В письме от 9 марта 1907 года к Грейс Янг, процитированном в [29]: 342.

6

Согласно автобиографии Рассела ([ авто ]: vol. i, 147).

7

Согласно “моему умственному развитию “(1944), ([ CPBR11 ]: 12);” моему долгу перед немецким обучением "
(1995), ([ CPBR11 ]: 107); и письму Филиппу Журдену от 15 апреля 1910 года, см. [21]: 132. Мое философское
развитие ([ MPD ]: 75) говорит “весна”, что предполагает не конец июня.

Предыстория парадокса Рассела

351

Июнь 1902 года ([32]: 124-5) и до Пеано и Уайтхеда.

8

Примерно в то же время,
и совершенно независимо, группа вокруг Гильберта в Геттингене обнаружила
парадоксы. Когда Гильберт получил второй том Книги Фреге Grundgesetze, он сказал
Фреге, что проблема “была известна нам здесь”. Он приписывал Цермело открытие
парадокса Рассела “три или четыре года назад” ([18]: 51). Цермело сообщил
об этом Гуссерлю в апреле 1902 года ([28]: 442). Согласно Grattan-Guinness ([23]: 216)
Zermelo упомянул его в печати только один раз ([36]: 191-2). Гильберт включил как
Рассела-Цермело, так и величайшие кардинальные парадоксы в свой лекционный курс 1905 года о
"Логические принципы математического мышления", см. [23]: 216.

Бурали-Форти, Кантор и Рассел-все они по-разному относились к этим
результатам. Как отмечают Мур и Гарсиадьего [29], Бурали-Форти не собирался
демонстрировать существование противоречия в канторианской теории множеств и не думал
, что он это сделал. Его явная цель в этой статье состояла в том, чтобы доказать, что существуют бесконечные
ординалы, для которых закон трихотомии Кантора терпит неудачу.

9

Случай с Кантором опять был другим. Бурали-Форти, по крайней мере, рассматривал это противоречие
как нечто такое, чего следует избегать, отвергая предложение, из которого оно было выведено,
а именно закон трихотомии. Кантор, напротив, рассматривал эти противоречия как положительные
дополнения к своей теории множеств. В своих письмах к Дедекинду он приходит к выводу, что как множество
всех ординалов, так и множество всех трансфинных кардиналов являются " абсолютно бесконечным, непоследовательным
собранием[s]” ([11]: 115, 116). Как
указывает Даубен ([16]: 244), принятие этих теорем дает определенные технические преимущества.

10

Более того, Кантор
в 1899 году понял, как и Бурали-Форти в 1897 году, что рассмотрение их как простого шага в
доказательстве reductio поставит под угрозу всю его систему.

У него также были более философские причины для принятия непоследовательных множественностей.
Наборы для Кантора были коллекциями, элементы которых можно было рассматривать как объединенные в
одно целое, и которые сами, таким образом, могли рассматриваться как единство. Но были
собрания, сказал он Дедекинду “такие, что "предположение, что все [их] элементы
"находятся вместе", приводит к противоречию, так что невозможно представить
множественность как единство, как " одну законченную вещь’ ” ([11]: 114). Это были его абсолютно
бесконечные или непоследовательные множества, такие как собрание всех кардиналов, всех
мыслимые вещи, причем из всех классов. Кантор был вынужден к этому различению своими доказательствами
того, что каждый подлинный набор имел кардинальное число и что набор мощности набора всегда
имел большее кардинальное число, чем исходный набор. Если бы несогласованное множество,
как у всех кардиналов, было подлинным множеством, то оно должно было бы иметь максимально возможную
мощность. Однако, согласно теореме о степенном множестве, его степенное множество должно иметь большее значение.
Это, для Кантора, было доказательством, а не тем, что было что-то не так с transfinite set

8

Письмо к Пеано потеряно. Неясно, было ли когда—либо письмо к Уайтхед-Расселу, возможно
, сообщило результат лично. Уайтхед ответил цитатой из браунинга:” никогда больше не радуйтесь уверенному
утру " ([ MPD ]: 75).

9

Кантор фактически опубликовал доказательство закона трихотомии вскоре после публикации статьи Бурали-Форти

([10]: 216).

10

Главным из них было то, что это позволило ему доказать сопоставимость всех кардиналов и (так он
думал—доказательство было на самом деле ошибочным) показать, что не существует бесконечных множеств, чьи силы не
были бы алефами.

352

Н. Гриффин

теория, но что собрание всех кардиналов не было подлинным набором, что у него не
было кардиналов, и что не было величайшего кардинала.

Возможно, нет ничего удивительного в том, что Дедекинд нашел непоследовательные
кратности Кантора неясными ([20]: 129) или что Роберт Банн отрицал, что Кантор намеревался утверждать, что
они существуют. Банн пишет: "Кантор на самом деле не имеет" двух видов " кратностей...
. Кантор говорил о непоследовательной множественности, когда он мог бы лучше говорить о таком
свойстве, что предположение о том, что существует множество всех вещей, обладающих этим свойством
, приводит к противоречию” ([3]: 246). Ну, может быть, но это было совсем не то, что Кантор
имел в виду. Для него непоследовательные множественности были реальны, но всегда за пределами рационального
понимания—ибо полное понимание их вовлекло бы, per Impossible,
рассмотрение их как объединенных, законченных вещей. В конечном счете он связал их со своими религиозными
заботами, см. [16]: 245-6.

Различие Кантора было расплывчатым, но в конечном счете достигло математической точности в
теории множеств фон Неймана, где проводится различие между множествами и классами.
Здесь проводится различие между подлинными множествами, которые являются элементами других
множеств, и классами, которые не являются таковыми. В теории множеств фон Неймана предположение о том, что
класс является элементом множества, приводит к противоречию. Фон Нейман-это точное,
техническое различие, но в математическом смысле

11

Рассел, однако, был бы интуитивно созвучен способу Кантора проводить
различие,который отражает нечто от величия первоначальной концепции Кантора
теории множеств. Рассел, как я покажу, сочувствовал бы этому различию
(по крайней мере, за вычетом его богословских атрибутов), поскольку он не был склонен к более поздним последовательным
приемам в теории множеств, к которым он всегда проявлял глубокое безразличие.

Рассел пришел к своему собственному парадоксу, рассматривая доказательство Кантора о том, что нет
величайшего кардинала. "Мне казалось, - писал он, - что число всех
вещей в мире должно быть максимально возможным“.

12

"Соответственно, - продолжает он,
- я изучил его доказательство с некоторой тщательностью и попытался применить его к классу
всех существующих вещей. Это привело меня к рассмотрению тех классов, которые не
являются членами самих себя, и к вопросу о том, является ли класс таких классов членом самого себя.”
([ Auto ]: vol. i, 147, см. Также [ пом ]: 362n.). Именно Рассел видел в получившемся
парадоксе серьезную проблему, требующую решения. Но не сразу: сначала он подумал
“что” в рассуждениях была какая-то тривиальная ошибка " (там же.). Это, без сомнения, объясняет его
относительно долгое молчание на эту тему. Хотя парадокс был обнаружен в мае-июне
1901 года, Рассел, по-видимому, не сообщал о нем никому (за исключением, возможно, Уайтхеда)
до июня 1902 года, когда он написал об этом как Фреге, так и Пеано. Это было, как отмечают Мур
и Гарсиадьего, только когда Рассел получил испуганный ответ Фреге, он
понял, насколько трудно будет решить эту проблему. Но здесь я хочу подчеркнуть
, что, в отличие от Бурали-Форти и Кантора, Рассел с самого начала понял, что у него есть
проблема. Вопрос для него был в том, был ли он большой или маленький; тривиальный

11

В отличие от богословских намерений Кантора.

12

Мы должны помнить, что в то время Рассел был радикальным реалистом, который признавал еще многое

в мире, в том числе и в сетах, чем были поддержаны философские взгляды большинства людей.

Предыстория парадокса Рассела

353

ошибка в рассуждении или вопрос, который требовал фундаментальной реконструкции логики.

И вопрос для меня, в остальной части этой статьи, таков: Почему это было так?

Чтобы найти ответ, мы должны вернуться в философское прошлое Рассела. Рассел
впервые открыл Кантора в 1896 году и сделал в то время подробное, но почти полностью
критическое исследование тех из его работ, которые Йоста Миттаг-Леффлер собрал во
французском переводе в специальном выпуске своего журнала " Acta Mathematica " в 1883 году.

13

Рассел вернулся к Кантору в 1899, 1900 и 1901 годах и, без сомнения, впоследствии, становясь
все менее критичным в этом процессе. Но во время первой встречи Рассел был
гегельянцем, изо всех сил пытающимся дать отчет о непрерывном количестве.

14

Теперь гегельянцы
любят противоречия, и можно было бы ожидать, что Рассел будет наслаждаться
противоречиями непрерывного количества. Но Рассел, как и большинство британских
гегельянцев конца XIX века, был последовательным гегельянцем. То есть он ожидал
найти противоречия, но ожидал, что они будут постепенно устраняться по мере
восхождения по иерархии уровней понимания к пониманию самого себя.

Абсолютный. В то время как Кантор связывал Абсолют со своими непоследовательными кратностями,

Рассел ожидал, что Абсолют будет полностью последователен, что он станет царством, в котором
противоречия, заполнявшие низшие уровни (царство видимости, а не реальности)
, в конце концов разрешатся.

15

Необычным для британских гегельянцев было то, что восхождение Рассела к Абсолюту происходило
через изучение специальных наук, начиная с геометрии. Каждая специальная наука,
думал он, изучает какой-то аспект видимости, но, сварив их все вместе в
единую философски хорошо продуманную систему, он приблизится (как он надеялся) к
метафизической науке Абсолюта; науке о реальности, а не просто о видимости.
В соответствии с этим планом он приступил к собиранию противоречий в специальных
науках.

16

Был один особенно распространенный тип, который он назвал противоречием
относительности и который не будет касаться нас здесь, хотя он имел большое значение для
Рассела. Это зависит от доктрины внутренних отношений должны быть найдены в
британской Гегелианцев, в частности Брэдли, а в 1898 году, что составило логический
гештальт-переключения, он перешел от относительно этих противоречий, а выводы
вытекают из правильной теории отношений, видя в них ошибки, которые признаны недействительными
теории отношений, которая привела их. Именно этот переход положил конец его приверженности
к Гегельянству.

В его гегелевских попытках разобраться с арифметикой и с непрерывными величинами
мы находим предсказуемую совокупность традиционных парадоксов о бесконечности. Таковы были
виды парадоксов, которые можно было вывести из Зенона, и парадоксы, которые можно было найти в
основаниях исчисления о невозможности формирования конечной величины путем
суммирования бесконечно малых величин. Консистентное рвение Рассела было настолько велико, что,

13

См. ([23]: 97-8) для описания компиляции и ([ CPBR2 ]: 460-81) для заметок Рассела по этому поводу.

14

См. “О некоторых трудностях непрерывной количественной оценки” [ CPBR2 ]: 46-58.

15

Метафизическая модель для этого была [2]. Оптимизм Рассела в том, что теоретическая артикуляция

Абсолютное было бы возможно, однако, исходит от Мактаггарта.

16

Я подробно обсуждал эту работу в [24]. Гораздо более краткое резюме можно найти в [26].

354

Н. Гриффин

в течение некоторого времени в 1895-1896 годах он рассматривал возможность решения этих проблем путем возвращения к
предчтительной традиции конечных неделимых объектов.

17

В геометрии Рассел нашел одну антиномию, которая заслуживает нашего
внимания, и это антиномия необходимой гипостатизации точки. В течение своего
Гегельянского периода Рассел придерживался реляционного взгляда на пространство, а также взгляда, который он получил
от Брэдли, что отношения были ничем иным, как их термины. Таким образом, с одной
стороны, геометрия не имела ничего, кроме системы отношений, с которой можно было бы работать, но, с
другой стороны, требовала терминов для этих отношений. Точки зависели своей реальностью от
отношений, а отношения-своей реальностью от точек. С точки зрения Рассела, геометрическое
точка была вызвана из ничего, чтобы попытаться (безуспешно) разрешить это
противоречие.

18

То, на что я хочу обратить внимание в данном случае-это критерий реальности, который имплицитно присутствует в

IT. Для Рассела быть реальным означало быть способным быть термином отношения.

19

и это, поскольку
он оставил свое гегельянство и стал реалистом, стало принципом, что быть
реальным-значит быть способным быть субъектом предложения. Этот взгляд он продолжал
придерживаться-прямо-вперед, “что вы видите, то и получаете", своего рода путь—через

принципы математики. Эта доктрина продолжала существовать даже за пределами принципов, но
после 1905 года его изменившиеся взгляды на то, что было логическим предметом предложения
, совершенно радикально изменили смысл доктрины. Именно эта доктрина, я полагаю, что, по крайней мере
отчасти это объясняет, почему Рассел не мог относиться к непоследовательным множественностям Кантора,
когда он их обнаружил, с тем же хладнокровием, что и Кантор. Признание
таких пунктов вообще требовало превращения их в логический субъект предложения, а это, в
свою очередь, означало, что они реальны, тем самым ставя под угрозу его поиск последовательного объяснения
реальности.

Отказ от гегельянства одним махом освободил Рассела от многих
противоречий, которые прежде его беспокоили— - все противоречия теории относительности были
устранены разом. Восторг Рассела от того, что он освободился от них, очевиден в неопубликованной
работе, которую он сделал в 1899 году, например в “фундаментальных идеях и аксиомах
математики”. Но хотя число противоречий было сокращено, оно не было
сведено к нулю. “Фундаментальные идеи “должны были содержать главу об”антиномии
бесконечного числа". Сама глава не сохранилась (если она вообще была написана) среди
различные фрагменты этой книги находятся в архивах Рассела, но в своем
оглавлении Рассел резюмирует главу следующим образом:

Антиномия бесконечного числа. Это происходит наиболее просто от применения
идеи тотальности к числам. Существует и не существует множество чисел. Этот

17

Здесь на него оказал влияние французский философ Артур Ханнекен,чей [27] он рассмотрел в уме

([ CPBR2 ]: 36-43).

18

Как гегельянец Рассел обращался к босковичским точечным атомам, чтобы обеспечить что-то реальное для привязки
геометрических точек. Отказавшись от гегельянства, он принял абсолютную теорию пространства, ср. [ CPBR3 ]:
Часть II.

19

Это не следует путать с его критерием существования, который заключался в том, что существовать-значит иметь следствия.
В технических терминах его (слегка) более поздней философии критерий реальности может быть сформулирован как критерий
бытия.

Предыстория парадокса Рассела

355

и причинно-следственная связь

20

это единственные известные мне антиномии. Этот же более
всепроникающий. Он не показывает, что конечные числа являются самопротиворечивыми.
Показывает ли он, что отношение части и целого таково?

21

Я думаю
, что это не так. Это отношение, по-видимому, подразумевает тотальность, что невозможно, но
в силу условий, а не само отношение. Ни одна существующая метафизика
не избегает этой антиномии. ([ CPBR2 ]: 267)

Эта линия мысли удивительно похожа на ту, которая привела Кантора к его непоследовательным
множественностям, как и следующее замечание, также из его подробного оглавления,
где он говорит о “ всех концепциях " и " всех числах”:

Тотальность здесь кажется необходимой; но если мы сделаем это так, то бесконечное число с
его противоречиями становится неизбежным, будучи числом понятий или
чисел. Единственный способ избежать этого противоречия-отрицать необходимость
тотальности. ([ CPBR2 ]: 266)

Но Рассел все еще был далек от понимания совершенной
арифметики Кантора. Здесь нет никаких следов ни восходящей последовательности алефов Кантора, ни,
что более важно, решающей теоремы о степенном множестве. Расселовское понимание
антиномии бесконечного числа все еще отчетливо доканторианское. Он объясняет антиномию
в другом месте своего оглавления:

Есть много чисел, следовательно, есть и ряд чисел. Если бы это
было так

N, N + 1-это также число, поэтому числа чисел не существует.

([ CPBR2 ]: 265)

Но это, конечно, вовсе не парадокс, потому что принцип таков

N + 1 > N, на котором

оно основано терпит неудачу где

N-бесконечный кардинал.

Точно неизвестно, когда Рассел пришел к этому выводу. Проект
принципов математики 1899-1900 годов, проект, который он написал До открытия Пеано на
Парижском конгрессе в начале августа 1900 года, раскрывает его, во многих отношениях, не намного
дальше вперед.

22

Он, конечно, воспринимает Кантора здесь более серьезно, чем раньше. Он
рассмотрел канторову трактовку континуума ([ CPBR3 ]: 110-15), и еще
одна глава посвящена трансфинитным числам ([ CPBR3 ]: 119-25). Кантору приписывают
то, что он создал “математическую теорию бесконечности” и установил “раздел
математики логически до исчисления и даже до иррациональных чисел”. Тем не менее,
Рассел продолжает::

20

Далее в оглавлении Рассел говорит об антиномии причинности следующее: "Каждый элемент
имеет свое действие, но никакое действие не может быть утверждено отдельно от целого. Иллюстрация из сочетания
ускорений.” ([ CPBR2 ]: 271). Рассел ссылается на эту проблему в предисловии к [ POM ]: xvi–xvii.

21

Рассел пытался в это время (до того, как он открыл Пеано) основать математику на
фундаментальном отношении часть-целое. Гуссерль в то же самое время работал, совершенно независимо, в том же
направлении.

22

Несмотря на то, что читал [7] в июле 1899 года. Это была единственная работа, которую он записал, прочитав в том месяце
([ CPBR1 ]: 362), что говорит о том, что он особенно заботился о ней (или, возможно, просто был слишком занят
другими вещами). Он перечитал его в августе 1900 года.

356

Н. Гриффин

Я не могу убедить себя в том, что его теория разрешает какую-либо философскую
трудность бесконечности или делает антиномию бесконечного числа один
чуточку менее грозной. Как и большинство математических идей на эту тему, он
состоит из умелого сочетания двух сторон антиномии в
пропорциях, наиболее полезных для получения результатов. ([ CPBR3 ]: 119)

Затем он представляет кучу головоломок о бесконечном, таких как традиционная, в которой
существует столько же целых чисел, сколько четных, и новая, в которой коммутативность
сложения терпит неудачу для бесконечных ординалов ([ CPBR3 ]: 121).

23

Он, однако, не считает

эти пункты как никак решающие против Кантора.

Его главным возражением оставалась прежняя антиномия бесконечного числа, но теперь она была переделана
таким образом, чтобы избежать ошибочного допущения в первоначальном варианте. Прочитав
больше Кантора к настоящему времени, он гораздо более осторожен в различии между конечными и
бесконечными числами. Рассмотрим класс конечных чисел и предположим, что он имеет кардинальное
число

n. теперь либо n является конечным, либо бесконечным. Если n бесконечно, то это не может быть число

конечные числа. Но если...

n является конечным существует конечное число n + 1 больше, чем n. Итак, один раз

снова,

n-это не число конечных чисел ([ CPBR3 ]: 121-2).

Рассел признает, что теория Кантора призвана избежать этой дилеммы, но он
работает через другую версию дилеммы, на этот раз начиная, так сказать,
сверху, с

ω, и работа вниз. Предположим, что число конечных чисел равно ω, которое

бесконечен, в то время как " число непосредственно предшествующее

ω... конечно". Но если N-это

номер непосредственно предшествующий

ω тогда N, а не ω, является числом конечных чисел. Для

быть числом конечных чисел,

ω должно быть последним из конечных чисел “ " не то

следующий за ними номер” ([ CPBR3 ]: 122).

Он все еще упускает подлинный парадокс величайшего кардинала, главным образом потому, что он
по-прежнему не хочет признать, что последовательность алефов (или омег) Кантора может подняться с
земли.

24

” В целом, - заключает он, - кажется невозможным утверждать
, что любое число бесконечно” ([ CPBR3 ]: 125). Но, придя к этому выводу,
как ни странно, он делает шаг к подлинному парадоксу. Число конечных чисел,
утверждает он, не может быть конечным, потому что для любого конечного числа добавление к нему 1 дает
большее число, которое также является конечным. Следовательно, либо нет числа конечных
чисел, либо, если оно есть, оно бесконечно. Если, как заключает Рассел, бесконечных
чисел не существует, то из этого следует, что нет и числа конечных чисел. Это, в свою очередь, конфликтует
с тем, что он называет аксиомой, а именно утверждением, что “данный набор многих терминов
должен содержать некоторое определенное число терминов” ([ CPBR3 ]: 124). То, что (конечные) числа
образуют подлинное собрание, доказывается, по его мнению, тем фактом, что “ все конечные числа ” являются
законным понятием; и он доказывает это последнее на том основании, что понятие может
иметь место в истинном предложении. Поэтому единственный выход-это отвергнуть аксиому:

23

Это немного озадачивает, почему Рассел должен был рассматривать тот факт, что

ω + 1 = 1 + ω как задача, так как

он уже знал об алгебрах, где коммутативность сложения терпит неудачу из [33].

24

Хотя теперь он знал гораздо больше о работе Кантора и даже признавал ее важность, это было не так уж важно.

базовая позиция мало чем отличалась от той, которую он занял в 1896 году, см. [ CPBR2 ]: 51-2.

Предыстория парадокса Рассела

357

Как бы ни была очевидна эта аксиома,многое можно сказать в ее пользу. Его
принятие, как мы видели, ведет к противоречиям; его отрицание ведет только к
странностям. Если мы отрицаем это, мы можем сказать, без фактического противоречия, что нет
никакого числа конечных чисел

... В этом случае коллекция бесконечна
, когда ее части состоят из нескольких членов, но вся коллекция
не имеет числа; и коллекция чисел бесконечна в этом смысле.
([ CPBR3 ]: 125)

Мы не знаем, когда была написана эта часть проекта 1899-1900 годов, но нет
никаких сомнений, что Рассел придерживался этих выводов вплоть до Парижского конгресса. Он
приходит к точно такому же выводу в “Является ли положение во времени абсолютным или относительным?"
которую он прочитал в Оксфорде в мае 1900 года ([ CPBR3 ]: 231). Он сделал то же самое замечание в
сноске в своей книге о Лейбнице:

Общий принцип, согласно которому все агрегаты являются феноменальными, не следует
смешивать

25

согласно принципу, который также придерживался Лейбниц, бесконечные
агрегаты не имеют числа. Этот последний принцип, возможно, является одним из
лучших способов вырваться из антиномии бесконечного числа. ([ POL ]:
117n)

Интересно, что эта сноска не фигурирует в рукописи к книге и, таким образом
, была добавлена на позднем этапе ее подготовки. Предисловие к книге Рассела Лейбница
датировано "сентябрем 1900 года", то есть после Парижского конгресса, но известно, что это очень
позднее дополнение,

26

поэтому лучше всего предположить, что сноска была добавлена незадолго до

Конгресс, когда Рассел читал корректуры для книги.

Отношение Рассела к бесконечному вообще и к работе Кантора в частности
резко изменилось сразу же после его возвращения с Парижского конгресса. В
знаменитой статье Рассела " о логике отношений”, написанной в начале октября 1900 года и опубликованной
Пеано в 1901 году, определены трансфинитные числа и представлены правила сложения
бесконечных кардиналов

27

по-видимому, без всяких философских угрызений совести. Без сомнения
, понимание Расселом технических особенностей трансфинитной арифметики Кантора и его
способность сделать первые шаги к логизации теории помогли второму
чтению [7] в августе 1900 года. Более того, техническая статья в символической логике, такая как
“логика отношений”, возможно, не казалась Расселу лучшим местом для изложения
его философских возражений против бесконечного. Но эти соображения не могут объяснить
изменения в "логике отношений", ибо на самом деле философские возражения
Рассела исчезли.

Это впервые ясно выражено в его популярной статье " недавняя работа о
принципах математики”, написанной в январе 1901 года, где он говорит, что проблемы математической теории являются

25

Из этого можно заключить, что Рассел сам был виновен в том, что привел их в замешательство.

26

См. [1]: vol. i, 9.

27

Умножение бесконечных кардиналов пришлось ждать до [34]. Не все достижения Рассела были
сделаны в октябре 1900 года, как указывает Родригес-Консуэгра ([30]: 157-62)—наиболее примечательно
, что позднее было добавлено знаменитое логическое определение кардинальных чисел Рассела. Проект документа от октября 1900 года см.
[ CPBR3 ]: 590-612.

358

Н. Гриффин

бесконечно малое, бесконечное и непрерывность были полностью устранены
Вейерштрассом, Дедекиндом и Кантором, причем с решениями “настолько ясными, что не оставляют больше
ни малейшего сомнения или затруднения” ([ CPBR3 ]: 370)—несколько удивительное суждение,
учитывая трудность, которую они дали Расселу за предыдущие четыре года. Еще более
иронично-в свете суждения Рассела, сделанного всего лишь полгода назад, что Кантор
просто объединил “две стороны антиномии в пропорциях, наиболее полезных для
получения результатов” ([ CPBR3 ]: 119)—теперь Рассел утверждал, что Кантор " про --
ceeded единственно правильным способом "который должен был взять" пары противоречивых предложений,
в которых обе стороны противоречия обычно рассматривались бы как доказуемые,
и... строго исследовать предполагаемые доказательства” ([ CPBR3 ]: 272-3). Эта процедура
показала, что противоречия все зависит от одного принципа, а именно, “если одна
коллекция является частью другого, тот, который в составе имеет меньше терминов, чем одна
из которых это часть и что, когда однажды эта сентенция была отклонена, все шло хорошо”
([ CPBR3 ]: 373).

Рассел, конечно же, почувствовал Иронию судьбы и действительно использовал ее. Он даже
заимствовал некоторые из его собственного языка из 1899-1900 проект принципов: “с
удержанием из этой аксиомы”, - писал он в “последние работы” принципа просто заявил о
относительное число элементов в коллекции, где одна является правильной частью другой “приводит к
абсолютной противоречий, хотя его отказ приводит только к странности” ([ CPBR3 ]: 375)—
почти точно процитировал его ранее вывод о тезис о том, что есть ряд
чисел. "Было очевидно, - пишет он теперь, - что существуют бесконечности—например,
число чисел " ([ CPBR3 ]: 372)—отрицание которого он тщательно
пытался доказать в прошлом году. И когда он осудил усилия предыдущих
философов как "непонятную чушь" ([ CPBR3 ]: 372), он, безусловно, намеревался
включить свою собственную более раннюю работу. Весь этот отрывок в “недавней работе " следует рассматривать как
личную шутку за счет работы Рассела о бесконечности в предыдущем году.

Что же случилось, чтобы произвести такой полный переворот? Ответ заключается не только в
более тщательном изучении Кантора. Это, несомненно, помогло, но Рассел
с некоторой тщательностью изучал Кантора с 1896 года, не думая о том, что противоречия
бесконечности стали хоть на йоту более сговорчивыми. Полнота обращения
предполагает еще один гештальт-сдвиг, но в данном случае более сложный, чем
преобразование модуса ponens в модус tollens. Решающим отличием, как мне кажется,
было то, что Рассел после Парижского конгресса изменил свою логику. До начала Парижской конференции
Логика Конгресса Рассела была построена на примитивном соотношении часть-целое. Хотя это
отношение и лежало в основе его логики, казалось неизбежным пожертвовать "очевидной"
истиной, что число чисел бесконечно, ради сохранения принципа
, что надлежащая часть набора имеет меньше членов, чем целое. Как только он принял
логику Пеано, последний принцип больше не был священным.

Нет сомнения, что Рассел в своей “недавней работе” полагал, что проблемы
Бесконечности были полностью и решительно решены. Но гордость приходит раньше падения,
и Рассел должен был дорого заплатить за свое высокомерие в “недавней работе”. В самом деле,
в самом эссе есть один признак того, что нам грозит беда. Рассел оспаривает доказательство Кантора о том, что
нет никакого наибольшего числа, в котором, по его мнению, есть “какая-то очень тонкая ошибка”.

Предыстория парадокса Рассела

359

” Если бы это доказательство было верным, - говорит Рассел, - противоречия бесконечности вновь проявились
бы в сублимированной форме “([ CPBR3 ]: 375).

То, что это было источником парадокса Рассела, подтверждается тем, что Рассел сказал в своей книге:

Мое философское развитие почти шестьдесят лет спустя:

Я пришел к этому противоречию, рассмотрев доказательство Кантора о том, что нет
никакого наибольшего кардинального числа. Я думал, в своей невинности, что число
всех вещей, которые есть в мире, должно быть как можно большим числом,
и я приложил его доказательство к этому числу, чтобы увидеть, что произойдет

...
Применение аргумента Кантора привело меня к рассм