Определитель матрицы и обратная матрица

Матрицы и операции над ними

    Матрицей называется прямоугольная таблица чисел вида

,

 

имеющая n столбцов и m строк. Числа a_ij, ; , называют элементами матрицы А. Если нужно указать размеры матрицы, то пишут . Иногда матрицу обозначают в виде

= (a_ij).

    Если , то матрицу А называют квадратной, а число n - ее порядком. Квадратная матрица порядка n называется диагональной, если  при любых

:

.

    Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали , , называется единичной и обозначается буквой Е:

Матрица вида

 

 

2

называется нулевой и обозначается О.

    Квадратная матрица  называется треугольной, если все элементы ее, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Матрица  называется вектором-строкой, а матрица  называется вектором-столбцом,  - одноэлементная матрица.

    Матрица, полученная из данной  заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной, к данной и обозначается . например, если , то , а если , то . Матрица  называется симметрической, и обозначается А ¢, если . Для такой матрицы .

    Определение. Матрицы ,   равны между собой, , если , ; .

    Произведением матрицы  на число a называется матрица , для которой c .

    Пример. ,   .

    Суммой двух матриц  и  называется матрица , для которой .

    Пример. .

Аналогично определяется разность матриц.

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число являются линейными операциями, так как обладают следующими свойствами:

1. ;

    2.

    3. A+O=A;

    4. ;

    5. ;

    6. ;

    7. ;

    8. ;

9. .

Упражнение. Доказать, что .

Над матрицами можно производить элементарные преобразования:

1. перестановка местами двух строк или столбцов;

2. умножение всех элементов строки или столбца на число ;

3. прибавление ко всем элементам одной строки или столбца соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Две матрицы  и  - эквивалентные, если одна из них получается из другой при помощи элементарных преобразований. Пишут А ~ В. При помощи элементарных преобразований матрицу  можно привести к элементарному каноническому виду В, т.е. к матрице, у которой существуют , , а , . Например:

~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ = B.

 

Если число столбцов матрицы  равно числу строк матрицы , то определяется произведение этих матриц , при котором получается матрица  такая, что

(поэлементное умножение i -ой строки матрицы А на k -й столбец матрицы В).

    Пример. Пусть  и .

Тогда

Однако здесь произведение  не существует, так как , где 3 - число столбцов для матрицы В, а 2 - число строк для А.

    Если  и , то существуют матрицы  и , при этом . В общем случае . Например, если , , то     .

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1. ;

    2. ;

    3. ;

4. .

 

Образцы решения контрольных работ.

Задание №1

Вычислить А ² - 3 АВ, где

А =                     В =

Решение.

А ² = А ∙ А = ∙  =

(Для получения элемента, стоящего в первой строке и в первом столбце, матрицы А ²перемножим соответствующие элементы первой строки матрицы А и элементы первого столбца этой матрицы, т.е первый элемент первой строки матрицы А умножим на первый элемент первого столбца матрицы А; второй элемент первой строки матрицы А на второй элемент первого столбца этой матрицы; третий элемент первой строки матрицы А умножим на третий элемент первого столбца матрицы,и их произведения сложим;

для получения элемента, стоящего в первой строке и во втором столбце, перемножим соответствующие элементы первой строки матрицы А и элементы второго столбца матрицы  А и их произведения сложим и т.д.)=

=

=  =

Аналогичным способом находим произведение матриц А и В:

А ∙ В = ∙  =

=

=  =

Затем находим

3∙ А ∙ В = 3∙ =(чтобы умножить матрицу на число надо каждый элемент матрицы умножить на это число)= .

Тогда А ² - 3 АВ =  -  =(чтобы вычесть две матрицы, надо вычесть их соответствующие элементы)=

= .

Задание №2

Решить систему уравнений

 

                                                      (1)

1)  методом Гаусса;

2) по правилу Крамера;

3) матричным способом.

Решение.

1) Метод Гаусса.

Составим расширенную матрицу, соответствующую системе (1) и приведем ее к треугольному виду. Для этого запишем расширенную матрицу данной системы:

и  приведем эту матрицу к треугольному виду с помощью элементарнях преобразований, а именно:

- перестановкой строк;

- умножением элементов строки матрицы на число;

- сложение соответствующих (стоящих на одинаковых местах) элементов двух строк и помещение сумм этих элементов на место соответствующих элементов одной из складываемых строк.

Чтобы привести матрицу к треугольному виду надо получить нули на месте элементов, стоящих под главной диагональю. Сперва получим нули в первом столбце во второй, третьей и четвертой строках, т.е. надо изменить вторую, третью, четвертую строки. Так как первая строка не изменяется, изменения в других строках будем производить относительно нее: выберем на главной диагонали неизменяемой строки главный элемент, в нашем примере это 2. Если в столбце, в котором мы хотим получить нули,   имеется 1, то для облегчения счета, строку с1 на первом месте лучше поставить на место первой расширенной матрицы и сделать ее, тем самым, неизменяемой.В нашем примере вторая строка содержит на первом месте 1. Поменяем ее с первой строкой. Эту операцию обозначим следующим образом: С ₂ С ₁,здесь С ₂ – вторая строка,   С ₁ – первая строка, при этом получим эквивалентную матрицу

Теперь главным элементом будет 1.Обведем его в квадрат.Чтобы получить на месте 2 во второй строке 0, надо каждый элмент первой строки умножить на (-2) и сложить с соответствующим элементом второй строки и их сумму записать на место соответствующего элемента второй строки. Эту операцию обозначим следующим образом:

С ₂:= -2∙ С ₁ + С ₂,

здесь:= - это оператор присваивания, т.е. значение выражения с правой стороны записывается на место величины, стоящей слева. Получим при этом эквивалентную матрицу

Чтобы получить вместо 3 в третьей строке нуль, проделаем операцию

С ₃:= -3∙ С ₁ + С ₃,

а чтобы получить вместо (-1) в четвертой строке нуль, проделаем операцию

С ₄:= С ₁ + С ₄.

В результате получим эквивалентную матрицу

Теперь нужно получить нули во втором столбце в строках три и четыре, т.е. изменяемыми будут третья и четвертая строки. Выберем главный элемент в неизменяемой строке во втором столбце и который стоит на диагонали (в примере это 3), но среди изменяемых строк имеется строка, в которой во втором столбце стоит 1, поменяем ее со строкой, в которой мы выбрали главный элемент (т.е. надо поменять местами вторую и четвертую строчки)

С ₄   С ₂,

при этом получим эквивалентную матрицу

Теперь главным элементом будет 1. Заключим его в квадрат.Чтобы получить вместо 5 число нуль, проделаем операцию

С ₃:= -5∙ С ₂ + С ₃,                                 

а чтобы получить вместо 3 нуль, проделаем операцию

С ₄:= -3 С ₂ + С ₄,                            

при этом получим эквивалентную матрицу

Осталось получить нуль в третьем столбце четвертой строки. Главный элемент выбераем в третьем столбце на диагонали (это -22)(так как  изменяемой будет только четвертая строка, и среди изменяемых строк в третьем столбце нет единицы, то -22 и будет главным элементом). Чтобы получить вместо 15 нуль, проделаем следующую операцию

 

С ₄:=- 15∙ С ₃ +22∙ С ₄,                    

при этом получим эквивалентную матрицу

 

(разделив последнюю строчку полученной матрицы на 41,т.е. С ₄:= С ₄: 41,    

 получим эквивалентную матрицу)

 

 

Запишем по полученной матрице эквивалентную систему уравнений:

 

 

Из последнего уравнения имеем

x ₄ = - 1.

Подставляя это значение в предпоследнее уравнение, получим

- 22 x ₃ -  35∙(- 1) = - 9. Отсюда находим

  

Тогда из второго уравнения получим для x ₂ равенство

x ₂ +3∙2 + 5∙(-1) = 2 или x ₂ = 2 – 6 +5 =1.Аналогично,подставляя найденные значения для x ₂, x ₃ и x ₄ в первое уравнение,получим

x ₁ - 1 + 2∙2 +3∙(-1) = 1 или x ₁ = 1.

Ответ: .

 

Задание №3

 

Решить методом Гаусса.

.

Составим расширенную матрицу и приведем ее с помощью элементарных преобразований к треугольному виду.

A = С ₂ С ₁  

С ₂:= -2∙ С ₁ + С ₂, С ₃:= С ₁ + С ₃,   С ₄:= - С ₁ + С ₄

 

 С ₃:= -5 С ₂ + С ₃,                     С ₄:= - С ₁ + С ₄

Разделим третью строку на 14, а четвертую на 4

  С ₄:= - С ₃ + С ₄

r = rang A = 3 < 4. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений, из которых 3 являются базисными. Положим x, y, z  за базисные решения, так как базисный минор . Тогда находим общее решение системы.Для этого составим по полученной матрице систему уравнений

 =>   =>  

=> .

Обозначим: t = С. Тогда система имеет множество решений:

  ,где С-параметр решения.

 

Задание №4

Задания к контрольной работе №1

Задание №1

1.Даны матрицы А =  и В = .

Вычислить А ² + ВА+2В.

2.Даны матрицы А =  и В = .

Вычислить А ² + АВ-3В.

3.Даны матрицы А =  и В = .

Вычислить В ² + АВ- 3 А.

4.Даны матрицы А =  и В = .

Вычислить В ² - 3 В + ВА.

5.Даны матрицы А =  и В = .

Вычислить В ² +2А + ВА.

6.Даны матрицы А =  и В = .

Вычислить 2 А ² -3В + ВА.

7.Даны матрицы А =  и В = .

Вычислить В ² - 2 В + 3ВА.

8.Даны матрицы А =  и В = .

Вычислить В ² -3В + 2 АВ.

9.Даны матрицы А =  и В = .

Вычислить 2А ² - 3 В + ВА.

10.Даны матрицы А =  и В = .

Вычислить В ² -4А + ВА.

 

 

Задание №2

 Решить системы линейных алгебраических уравнений

а) методом Гаусса;

б) по правилу Крамера;

в) матричным способом.

 

 

1.                                                6.

2.                                               7.

3.                                              8.

4.                                                9.

5.                                             10.

 

Задание №3

Решить систему линейных алгебраических уравнений

а) методом Гаусса;

1.                                                2.

3.                                             4.

5.                                           6.

7.                                               8.

9.                                       10.

  Задание №4

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.

 1.                                          2.

3.                                          4.

5.                                               6.

7.                                         8.

9.                                             10.

 

 

УДК 517

Зубков А.Н.,Павлова М.Н.

Матрицы и их применение /А.Н.Зубков,М.Н.Павлова.–Ростов –на-Дону:Издательский центр ДГТУ,2011.-41с.

 

Учебное пособие написано в соответствии с учебной программой по высшей математике для технических специальностей ДГТУ и его филиалов. Цель работы – отразить применение таких основных понятий линейной алгебры как матрица и определитель при решении систем линейных алгебраических уравнений.

В пособии приводятся основные понятия и теоремы, которые необходимы в практическом применении при решения задач контрольных работ первого семестра студентами очно-заочной и вечерней форм обучения.

 

 

                           Рецензенты:

 …………………………………канд.физ.-мат.наук, доцент ЮФУ………………..

………………………………………………доцент ДГТУ

 

 

                                   В В Е Д Е Н И Е

…..Предлагаемое учебное пособие написано в соответствии с учебной программой по высшей математике для технических специальностей ДГТУ и его филиалов. Цель работы – отразить применение таких основных понятий линейной алгебры как матрица и определитель при решении систем линейных алгебраических уравнений, которые необходимы студентам первого семестра прежде всего при выполнении контрольных заданий для очно-заочной и вечерней форм обучения.

  Работа состоит из пяти разделов,которые выделены в виде параграфов. В первых четырех из них приводятся основные понятия и формулируются теоремы, используемые при решении задач. В необходимых случаях даются примеры, поясняющие смысл определений и теорем. Затем приводятся подробные решения сформулированных задач со ссылкой на приведенные ранее формулы, определения и теоремы. Даются упражнения для закрепления усвоения основных понятий. В заключительном пятом параграфе излагаются подробно решения типовых задач,связанных с решением систем линейных алгебраических уравнений и которые необходимы при решении контрольных заданий.В заключение приводится список типовых заданий для студентов, необходимых для успешного усвоения ими данного материала

 

                                         Содержание

ВВЕДЕНИЕ

§ 1.Матрицы и операции над ними.

§ 2.Опредедителб матрицы и обратная матрица.

§ 3.Решение систем линейных алгебраических уравнений.

§ 4.Характеристическое уравнение. Собственные векторы и собственные значения матрицы A_n‰n.Приведение матрицы A_n‰n  к диагональному виду.

§ 5.Образцы решения контрольных работ.

 

Рекомендуемая литература

1.Кострикин А.И.Введение в алгебру/А.И..Кострикин.-М.:Наука,1977.

2.Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы/Н.В.Ефимов.-Наука,1964.

3.Шипачев В.С. Высшая математика./В.С. Шипачев.- М.: Высшая школа,1985.

Матрицы и операции над ними

    Матрицей называется прямоугольная таблица чисел вида

,

 

имеющая n столбцов и m строк. Числа a_ij, ; , называют элементами матрицы А. Если нужно указать размеры матрицы, то пишут . Иногда матрицу обозначают в виде

= (a_ij).

    Если , то матрицу А называют квадратной, а число n - ее порядком. Квадратная матрица порядка n называется диагональной, если  при любых

:

.

    Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали , , называется единичной и обозначается буквой Е:

Матрица вида

 

 

2

называется нулевой и обозначается О.

    Квадратная матрица  называется треугольной, если все элементы ее, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Матрица  называется вектором-строкой, а матрица  называется вектором-столбцом,  - одноэлементная матрица.

    Матрица, полученная из данной  заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной, к данной и обозначается . например, если , то , а если , то . Матрица  называется симметрической, и обозначается А ¢, если . Для такой матрицы .

    Определение. Матрицы ,   равны между собой, , если , ; .

    Произведением матрицы  на число a называется матрица , для которой c .

    Пример. ,   .

    Суммой двух матриц  и  называется матрица , для которой .

    Пример. .

Аналогично определяется разность матриц.

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число являются линейными операциями, так как обладают следующими свойствами:

1. ;

    2.

    3. A+O=A;

    4. ;

    5. ;

    6. ;

    7. ;

    8. ;

9. .

Упражнение. Доказать, что .

Над матрицами можно производить элементарные преобразования:

1. перестановка местами двух строк или столбцов;

2. умножение всех элементов строки или столбца на число ;

3. прибавление ко всем элементам одной строки или столбца соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Две матрицы  и  - эквивалентные, если одна из них получается из другой при помощи элементарных преобразований. Пишут А ~ В. При помощи элементарных преобразований матрицу  можно привести к элементарному каноническому виду В, т.е. к матрице, у которой существуют , , а , . Например:

~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ = B.

 

Если число столбцов матрицы  равно числу строк матрицы , то определяется произведение этих матриц , при котором получается матрица  такая, что

(поэлементное умножение i -ой строки матрицы А на k -й столбец матрицы В).

    Пример. Пусть  и .

Тогда

Однако здесь произведение  не существует, так как , где 3 - число столбцов для матрицы В, а 2 - число строк для А.

    Если  и , то существуют матрицы  и , при этом . В общем случае . Например, если , , то     .

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1. ;

    2. ;

    3. ;

4. .

 

Определитель матрицы и обратная матрица

    Каждой матрице можно сопоставить число det A, | A | или D, которое называют определителем матрицы и находят следующим образом:

    1. . ;

2. .

;

   

    4. В общем случае, если A = , то det A находится с помощью разложения Лапласа: , , где A_ij =  - алгебраическое дополнение элемента , т.е.

! _ij = ,

где  - минор элемента , т.е. определитель квадратной матрицы А, полученный из А вычеркиванием i -ой строки и j -ого столбца.

    Пример.

Можно показать, что  (использовать правило Лапласа) и что  Û если имеются в А нулевая строка или нулевой столбец или две пропорциональные строки или столбца.

    Наибольший из порядков миноров  матрицы   A_{n ‰ n}  называется ее рангом и обозначается r,  или rang A. Очевидно, что . Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. Ранг матрицы А равен числу единиц на главной диагонали канонической матрицы, к которой приводится матрица А путем элементарных преобразований. Например,

    .

    Квадратная матрица A =. A_{n ‰ n} называется невырожденной, если , т.е. базисный минор совпадает с определителем матрицы . В противном случае, когда rang А < n,   A называется вырожденной матрицей. В этом случае .

    Матрица B = , удовлетворяющая условиям

,

называется обратной   к   A_{n ‰ n} и обозначается