Теорема о циркуляции магнитного поля.

 

      Закон Био-Савара-Лапласа

,

где m₀ = 4p×10^-7 Гн/м – магнитная постоянная, m - магнитная проницаемость среды, I – сила тока в проводнике,  - элемент тока, протекающего в участке ,  - радиус-вектор, направленный от элемента тока к точке, в которой определяется магнитная индукция .

      В скалярной форме:

dB = mm₀I×dl×sina/(4pr²),

где a - угол между векторами и .

      Магнитная индукция в центре кругового тока:

B = mm₀I/(2R),

где R – радиус кругового тока силой I.

      Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током, являющегося частью бесконечного прямолинейного проводника:

B = mm₀I(cosa₁ - cosa₂)/(4ph),

где - a₁ и a₂ – углы, под которыми виден отрезок с током из точки наблюдения А, h – расстояние от отрезка с током (или его продолжение) до точки наблюдения А.

      Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции:

,

где SI_охв – алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром L.

      Магнитная индукция поля, создаваемого точечным движущимся зарядом (2-я формула закона Био-Савара-Лапласа):

,

где  - скорость заряда q,  - радиус-вектор, направленный от заряда к точке наблюдения.

      В скалярной форме:

В= mm₀qu×sina/(4pr²),

a - угол между вектором скорости и радиус-вектором.

      Принцип суперпозиции магнитных полей:

,

где - индукция магнитного поля в некоторой точке, - индукция магнитного поля i-го участка проводника в этой точке.

 

примеры решения задач

 

      Задача 1. Вычислить магнитную индукцию в точке 0 для бесконечного проводника с током, изображенного на рисунке. Принять R = 0,1 м, I = 10 А, j = 30⁰.

      Решение.

      По принципу суперпозиции для магнитных полей магнитная индукция в точке 0:

, где  - магнитные индукции в точке 0 от 1-го, 2-го и 3-го участков проводника соответственно.

      Для 1-го участка используем формулу индукции магнитного поля отрезка проводника:

B₁ = m₀I(cosa₁ - cosa₂)/(4ph), где h = R, a₁ = 0⁰, a₂ = 90⁰. Следовательно, B₁ = m₀I/(4pR).

      Магнитная индукция кольцевого тока в центре кольца B_к = m₀I/(2R). Участок 2 составляет 2/3 окружности радиуса R, тогда B₂ = m₀I/(3R).

      Для участка 3 рассмотрим магнитную индукцию  в точке 0, создаваемую элементом  участка по закону Био-Савара=Лапласа . Поскольку çç , то , т.е.  и В₃ = 0. Учитывая, что в точке 0 по правилу буравчика вектор  направлен "к нам", а вектор  "от нас", получим:

В = В₂ - В₁ = m₀I/(3R) - m₀I/(4pR) = m₀I(1/3 -1/4p)/R.

В = 4×3,14×10(0,333 - 0,08)/0,1=3,2×10^-5 Тл.

Ответ: В = 3,2×10^-5 Тл.

      Задача 2. Два бесконечных проводника с токами I₁ = 30 F, I₂ = 40 А представляют собой взаимноперпендикулярные скрещивающиеся прямые, расстояние между которыми равно h = 0,2 м. Найти индукцию магнитного поля в точке, расположенной посередине между проводниками.

      Решение.

      Проведем через проводники с токами две параллельные плоскости. Отрезок MN перпендикулярен обеим плоскостям. Его концы лежат на проводниках. Отрезок представляет собой минимальное расстояние h между проводниками. Точка А расположена посередине отрезка MN. По принципу суперпозиции магнитных полей . Векторы  построены по правилу буравчика для 1-го и 2-го проводника соответственно, причем . По теореме Пифагора . По формуле индукции магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с током: B₁ = m₀I₁/(2p 0,5×h), B₂ = m₀I₂/(2p×0,5×h). Тогда

.

 Тл.

Ответ: В_А = 10^-4 Тл.

 

      Задача 3. Протон движется в вакууме по прямой с постоянной скоростью 10⁶ м/с по направлению к некоторой точке С. Точка А расположена на расстоянии h = 6 м от точки С так, что отрезок АС перпендикулярен траектории протона. Найти индукцию магнитного поля, создаваемого протоном в точке А в тот момент, когда расстояние от протона до точки С равно l = 8 м.

      Решение.

      По закону Био-Савара-Лапласа магнитная индукция, создаваемая протоном в точке А,

,

 – радиус-вектор проведенный от протона в точку А, q = 1,6×10^-19 Кл – заряд протона.

      В скалярном виде B = m₀qu×sina/(4pr²),

где a - угол между вектором скорости и радиус-вектором.

По правилу буравчика вектор магнитной индукции направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы скорости и радиус-вектор, "от нас".

По теореме Пифагора r² = l² + h², по определению синуса прямоугольного треугольника sina = h/r.

Тогда B = m₀qu×h/(4p(l² + h²)^3/2).

В = 4×3,14×10^-7×1,6×10^-19×10⁶×6/(4×3,14(8² + 6²)^3/2) = 9,6×10^-23 Тл.

Ответ: В = 9,6×10^-23 Тл.

 

      Задача 4. По бесконечному прямолинейному цилиндрическому проводнику радиуса R = 0,1 м протекает постоянный электрический ток плотностью j = 800 А/м² по сечению проводника. Найти напряженность магнитного поля в точках, расположенных на расстояниях r₁ = 0,05 м, r₂ = 0,2 м.

      Решение.

      Проведем круговой контур L₁ радиуса r₁ с центром на оси проводника. По теореме о циркуляции вектора напряженности магнитного поля

,

где SI_охв1 – алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром L_1.

В любой точке контура ||  и = const;

SI_охв1 = J×S₁ = J×p×r²₁, где S₁ – площадь круга радиуса r₁.

Получим Н_l = Н = const для точек контура L₁, тогда , или Н₁×2pr₁ = jpr₁². Следовательно, Н₁ = jr₁/2 = 800×0,05/2 = 20 А/м.

      Выберем контур L₂ радиуса r₂ с центром на оси проводника. По теореме о циркуляции вектора напряженности магнитного поля

, где åI_охв2 = jS = jpR², где S – площадь поперечного сечения проводника, Н₂ = const для всех точек контураL₂.

Получим: Н₂×2pr₂ = jpR², отсюда Н₂ = jR/(2r₂),

Н₂ = 800×0,1²/(2×0,4) = 10 А/м.

Ответ: Н₁ = 20 А/м, Н₂ = 10 А/м.

 

      Задача 5. По плоскости протекает электрический ток с линейной плотностью j = 80 А/м (ток, приходящийся на единицу длины в направлении перпендикулярном току). Найти индукцию магнитного поля тока плоскости.

      Решение.

      Выберем контур L в виде прямоугольника с основанием а и высотой b, плоскость которого перпендикулярна плоскости с током и который делится плоскостью тока пополам параллельно основаниям прямоугольника.

      Мысленно разделим плоскость с током на узкие параллельные полосы вдоль направления тока. Линии магнитной индукции  для тока, протекающего по каждой полосе, представляют собой окружности с центрами на полосах и с направлением по ходу часовой стрелки. Если по принципу суперпозиции сложить векторы магнитной индукции от каждой полосы, то над плоскостью получим вектор , направленный горизонтально влево, а под плоскостью - вектор , направленный горизонтально вправо. По теореме о циркуляции вектора магнитной индукции , где åI_охв – суммарный ток, охватываемый контуром L. Для верхнего и нижнего оснований прямоугольника , а для боковых сторон  и В_L = 0. åI_охв = j×а. Тогда 2Ва = m₀/jа. Следовательно, В = m₀×j/2.

В = 4×3,14×10^-7×80/2 = 5×10^-5 Тл.

      Ответ: В = 5×10^-5 Тл.

 

Задачи для самостоятельного решения

3.1. Определить индукцию магнитного поля в центре соленоида, со­держащего 500 витков, если сила тока в обмотке соленоида равна 10 А. Длина соленоида равна 20 см, его диаметр - 4 см. Формулу магнитной индукции бесконечного соленоида считать неприменимой.

3.2. В центре кругового витка радиуса 30 см индукция магнитного поля равна 20 мкТл. Вычислить магнитную индукцию на его оси в точке, расположенной на расстоянии 40 см от плоскости витка.

3.3. Принимая, что электрон в водородоподобном атоме движется со скоростью 4 Мм/с по круговой орбите радиусом 0,1 нм. Опре­делить индукцию магнитного поля в её центре.

3.4. Индукция маг­нитного поля в точке, расположенной на оси кругового контура радиуса 0,5 м на расстоянии 50 см от его плоскости, равна 4 мкТл. Определить силу тока в контуре.

3.5. Вычислить индукцию магнитного поля в центре квадратного кон­тура со стороной 20 см, по которому протекает ток 10 А.

3.6. Контур с током имеет форму правильного шестиугольника со стороной 10 см. Определить силу тока в контуре, если индукция магнитного поля в центре контура равна 20 мкТл.

3.7. Длинный тонкий проводник, по которому течёт ток 20 А, изогнут под прямым углом. Определить индукцию магнитного поля тока в точке, лежащей на биссектрисе прямого угла на расстоянии 14,1 см от его вершины.

3.8. Два одинаковых круговых витка радиусом 10 см имеют общую ось. Расстояние между центрами витков равно 20 см. Токи в витках равны 10 А и противоположно направлены. Определить индукцию магнитного поля в середине отрезка, соединяющего центры витков.

3.9. Тонкий длинный проводник с током 5 А изогнут под прямым углом так, что изгиб имеет форму четверти окружности радиусом 10 см. Определять индукцию магнитного поля тока в центре этой окружности.

3.10. Бесконечный прямой проводник образует виток радиусом 50 см. Определить ток в проводнике, если индукция магнитного поля в центре витка равна 40 мкТл (рис. 3.1).

 

J

3.11. Длинный прямой проводник с током 10 А имеет изгиб в виде квадрата, сторона которого равна 20 см. Определить индукцию магнитного поля в точке А, расположенной в центре изгиба (рис. 3.2).

 

3.12. Бесконечно длинный проводник, по которому течет ток 5 А, изогнут так, как показано на рис. 3.3. Радиус изогнутой части равен 0,1 м. Определить индукцию магнитного поля тока в точке О.

3.13. Определить индукцию магнитного поля в точке О контура, по которому течёт ток 20 А. Контур изображен на рис. 3.4. R = 0,1 м.

3.14. Длинный проводник, по которому течёт ток 15 А, имеет вид, показанный на рис. 3.5. Радиус полуокружности R = 20 см. Определить индукцию магнитного поля тока в точке О.

3.15. Вычислить индукцию магнитного поля тока в точке 0 контура, показанного на рис.3.6. Ток в контуре равен 5 A, R = 10 см.

3.16. Определить индукцию магнитного поля тока в точке 0 контура, показанного на рис.3.7. Ток в контуре равен 10 А, R = 20 см, φ = 120⁰.

3.17. Длинный проводник, по которому течёт ток 20 А, изогнут под прямым углом. Найти индукцию магнитного поля в точке, которая лежит на перпендикуляре к проводникам, восстановленным в точке изгиба, и удалена от плоскости проводника на расстояние 0,5 м.

3.18. Тонкое кольцо радиусом 10 см, равномерно заряженное с ли­нейной плотностью заряда 0,2 мкКл/м, вращается с постоянной угловой скоростью 5 рад/с вокруг перпендикулярна к плоскости кольца и проходящего через его геометрический центр. Определить индукцию магнит­ного поля в центре кольца.

3.19. По двум прямолинейным бесконечным проводам, образующим вза­имно перпендикулярные скрещивающиеся прямые, текут токи 5 А и 10 А. Расстояние между проводами равно 20 см. Определить индукцию магнитного поля токов в точке, лежащей посредине между проводами.

3.20. Два длинных прямолинейных проводника с токами 10 А и 15 А расположены в одной плоскости так, что угол между направлениями токов равен 60⁰. Определить индукцию магнитного поля токов в точке, лежащей на биссектрисе этого угла на расстоянии 20 см от его вершины.

3.21. Электрон движется прямолинейно с постоянной скоростью 6 м/с. Определить максимальную индукцию магнитного поля, создаваемого электроном, в точке, отстоящей от его траектории движения на 1 мм.

3.22. Тонкий диск радиусом 10 см, равномерно заряженный с поверх­ностной плотностью заряда 0,2 мкКл/м², вращается с постоянной угловой скоростью 10 рад/с вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его геометрический центр. Определить индукцию маг­нитного поля в центре диска.

3.23.Два протона движутся параллельно друг другу с одинаковой скоростью 600 км/с. Найти отношение сил электрического и магнитного взаимодействия этих частиц.

3.24. Два равных точечных заряда 0,1 мкКл движутся навстречу друг другу со скоростью 100 км/с. Найти индукцию магнитного поля движущихся зарядов в точке на расстоянии 4 см от первого заряда и на расстоянии 3 см от второго в тот момент, когда расстояние между ними равно 5 см.

3.25. Два одинаковых точечных заряда 0,2 мкКл движутся в одной плоскости вдоль взаимно- перпендикулярных прямых. Скорости зарядов рав­ны 2 Мм/с и 3 Мм/с. В некоторый момент времени заряды оказываются на одинаковом расстоянии 10 см от точки пересечения их траекторий движе­ния, удаляясь от этой точки. Определить в этот момент времени индукции магнитного поля этих зарядов в точке пересечения их траекторий.

3.26. Пользуясь теоремой о циркуляции вектора индукции магнитного поля, вычислить расстояние, на котором бесконечный прямолинейный ток 10 А создает магнитное поле индукцией 0,1 мкТл.

3.27. По тонкой трубе радиусом 2 см течет ток 20 А. Определить индукцию магнитного поля тока на расстояниях 1 см и 4 см от оси трубы.

3.28. В прямолинейном проводнике радиусом 4 см протекает ток с постоянной плотностью 800 А/м². Определить индукцию магнитного поля тока на расстоянии 5 см от оси проводника тока.

3.29. Ток 100 А течет по длинному прямому проводнику радиусом 5 см. Определить индукцию магнитного поля в точке на расстоянии 2 см от оси проводника. Считать, что проводник изготовлен из немагнитного материала, а рас­пределение тока равномерно по его сечению.

3.30. По тонкой длинной трубе протекает ток 10 А. На оси трубы расположен тонкий проводник, по которому течет ток 6 А в обратном направлении. Определить индукцию магнитного поля токов вне трубы на расстоянии 20 см от ее оси.

3.31. По двум коаксиальным тонкостенным трубам радиусами 10 см и 30 см текут токи соответственно 50 А и 100 А в противоположных направ­лениях. Найти индукцию магнитного поля в точках на расстояниях 20 см и 40 см от общей оси труб.

3.32. На оси тонкостенной трубы радиусом 10 см расположен тонкий проводник, по которому течет ток 10 А. По трубе течет ток 40 А в том же направлении. Найти расстояние от оси трубы до точки, в которой индук­ция магнитного поля токов такая же, как и на расстоянии 5 см от оси трубы.

3.33. По длинной трубе с внутренним радиусом 3 см и внешним 4 см протекает ток с постоянной по сечению плотностью тока 500 А/м². Определить индукцию магнитного поля в точке на расстоянии 10 см от оси трубы.

3.34. Воздушный соленоид длиной 0,2 м и радиусом 0,3 см имеет 300 витков. Ток в соленоиде 5 А. Применяя теорему о циркуляции вектора индукции магнит­ного поля, вычислить индукцию магнитного поля тока внутри соленоида. Счи­тать поле однородным и заключенным лишь внутри соленоида.

3.35. На два длинных коаксиальных цилиндра радиусами 3 см и 5 см намотаны проводники равного диаметра - 0,5 мм - так, что соседние витки прилегают плотно друг к другу. По проводникам пропускают токи 20 А и 30 А соответственно для внутреннего и внешнего цилиндров. Направления токов одинаковы. Пользуясь теоремой о циркуляции вектора индукции магнитного поля, вычислить магнитную индукцию в точке на расстоянии 4 см от общей оси цилиндров.

3.36. По обмотке воздушного тороида, содержащей 1000 витков, течет ток силой 5 А. Внутренний радиус тороида равен 8 см, внешний - 12 см. Определить индукцию магнитного поля в точках на средней линии тороида.

3.37. По длинному прямому проводнику круглого поперечного сечения радиусом 2 см протекает ток 100 А, равномерно распределенный по его сечению. Вычислить циркуляцию вектора индукции магнитного поля тока по контуру, имеющему форму квадрата со стороной 1 см. Центр контура лежит на оси проводника, а его плоскость перпендикулярна к этой оси. Магнит­ная проницаемость проводника равна 1.

3.38. По проводнику круглого поперечного сечения радиусом 0,2 см течет ток, равномерно распределенный по сечению с плотностью тока 800 А/м². Определить циркуляцию вектора индукции магнитного поля по контуру в виде правильного треугольника, вписанного в сечение провод­ника. Проводник изготовлен из диамагнитного материала.

3.39. По прямолинейному проводнику круглого поперечного сечения радиусом 0,2 см течет ток, распределенный по сечению с постоянной плотностью тока 2000 А/м². Определить, на каком расстоянии от оси проводни­ка вне его индукция магнитного поля тока такая же, как и на расстоянии 0,1 см. Магнитную проницаемость материала проводника считать равной 1.

3.40. По обмотке тороида, имеющего 3000 витков, течет ток силой 10 А. Определить индукцию магнитного поля в точке, расположенной внут­ри тороида на расстоянии 20 см от центра тороида. Сердечник в тороиде отсутствует.

3.41. По бесконечной плоскости течет ток одного направления. Ли­нейная плотность тока, т.е. ток, приходящийся на единицу длины в нап­равлении, перпендикулярном к току, равна 100 А/м. Пользуясь теоремой о циркуляции вектора индукции магнитного поля, определить модуль вектора индукции магнитного поля. Доказать, что поле однородно с обеих сторон от плоскости.

3.42. По проводнику круглого сечения течет ток, равномерно рас­пределенный по сечению. Найти отношение циркуляции вектора индукции магнитного поля по двум контурам: по окружности, ограничивающей сече­ние проводника, и квадрату, вписанному в эту окружность.

3.43. По тонкостенной длинной трубе течёт ток 10 А. По оси трубы расположен тонкий проводник, по которому течет ток 2 А в обрат­ном направлении. Радиус трубы 3 см. На каком расстоянии от оси трубы вне ее магнитная индукция такая же, как и на расстояния 1 см?

3.44. Тороид содержит 800 витков. Наружный диаметр тороида равен 20 см, внутренний - 10 см. Ток, протекающий по обмотке тороида, равен 10 А. Определить максимальное значение магнитной индук­ции в тороиде.

3.45. В условиях предыдущей задачи определить минимальное зна­чение магнитной индукции в тороиде.

3.46. Тонкий проводник с током 5 А расположен на общей оси двух тонкостенных труб радиусами 2 см и 5 см, по которым текут токи соотве­тственно 2 А и 3 А. Токи текут в одном направлении. Определить значе­ние индукции магнитного поля на расстоянии 4 см от проводника.

3.47. Ток 10 А течет по длинной тонкостенной трубе радиусом 5 см и возвращается по сплошному проводнику радиусом 1 мм, расположенному на оси трубы. Определить индукцию магнитного поля на рас­стоянии 2 см от оси трубы.

3.48. По длинному прямолинейному проводнику круглого поперечного сечения диаметром 0,8 см течет ток, равномерно распределенный по сече­нию проводника. Определить силу тока в проводнике, если индукция маг­нитного поля в точке, расположенной на расстоянии 0,2 см от оси про­водника, равна 1 мТл.

3.49. Длинный соленоид имеет квадратное сечение 0,5 х 0,5 см² и 2000 витков на каждом метре длины. По обмотке соленоида течет ток 20 А. Определить индукцию магнитного поля в средней точке на оси соленоида.

3.50. По длинной трубе с внутренним диаметром 5 см и внешним 7 см течет ток, равномерно распределенный по сечению трубы. На оси трубы расположен тонкий проводник с током 10 А. Определить направление и плотность тока в трубе, при которых индукция магнитного поля вне трубы будет равна нулю.

3.51. Ток 20 А течет по длинному прямому проводнику, сечение ко­торого имеет форму тонкого по­лукольца (рис. 3.8). Плотность тока постоянна по сечению, R = 0,1 м. Определить индукцию магнитного поля в точке 0.

3.52. Непроводящая сфера радиусом 10 см, равномерно заряженная с поверхностной плотностью заряда 5 мкКл/м², вращается с угловой ско­ростью 20 рад/с вокруг оси, проходящей через ее центр. Найти индукцию магнитного поля в центре сферы.

3.53. Тонкостенный цилиндр радиусом 5 см и высотой 10 см, равно­мерно заряженный с поверхностной плотностью заряда 10 мкКл/м², враща­ется с угловой скоростью 10 рад/с вокруг собственной оси. Определить индукцию магнитного поля в средней точке на оси цилиндра.

3.54. Два протона движутся параллельно друг другу с одинаковой скоростью 2 Мм/с на расстоянии 20 см друг от друга. Определить макси­мальную индукцию магнитного поля в плоскости, проходящей через середи­ну отрезка, соединяющего протоны, перпендикулярно к плоскости, в кото­рой находятся траектории движения протонов.

З.55. Плотность тока внутри неограничен­ной пластины толщиной 2 см равна 600 А/м². Найти индукцию магнитного поля этого тока на расстоянии 0,5 см от середины пластины. Магнитную проницаемость вещества пластины считать равной единице.

3.56. Ток 10 А равномерно распределен по сечению длинного цилиндра радиусом 5 см. Ток 20 А течет по тонкому кольцу радиусом 10 см, ось которого совпадает с осью цилиндра (рис.3.9). Найти индукцию магнитного поля токов в точке А на оси цилинд­ра, отстоящей на расстоянии 10 см от плоскости кольца.

3.57. Вектор индукции магнитного поля направлен вдоль оси у, в его градиент - вдоль оси х. Замкнутый контур в виде квадрата со сто­роной 10 см расположен в плоскости ху так, что одна его сторона па­раллельна оси х. Определить циркуляцию вектора индукции магнитного поля по данному контуру, если градиент поля dB/dx = 5 Тл/м, причем В = 0 при x = 0.

3.58. Плотность тока j как функция расстояния r от оси аксиальносимметричного параллельного потока электронов имеет вид j = αr, где α = 500 А/м. Определить индукцию магнитного поля на расстоянии 0,5 м от оси симметрии потока электронов.

3.59. По безграничной плоскости течет ток с линейной плотностью тока 20 А/см (плотность тока дана в направлении, перпендикулярном к направле­нию вектора плотности тока). Над плоскостью выбран контур в форме квад­рата со стороной 10 см, две стороны которого параллельны плоскости, а две другие стороны составляют угол 30⁰ с нормалью к плоскости. Опреде­лить циркуляцию вектора индукции магнитного поля по заданному контуру.

3.60. В прямом бесконечном проводнике круглого поперечного сече­ния радиусом 0,2 см плотность тока от расстояния до оси проводника г задана законом j = а/r, где а - 50 А/м. Определить индукцию магнитного поля в точках, расположенных на расстояниях 0,1 см и 0,5 см от оси проводника.

 

 

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ.

ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

 

      Электромагнитный поток dФ через площадку dS

dФ = В×dS×cosa,

 - вектор индукции магнитного поля, dS – элемент площади, a - угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

      Закон электромагнитной индукции

e_i = -N×dФ/dt = -dy/dt,

где e_i – электродвижущая сила индукции, N – число витков контура (катушки), y - потокосцепление.

      Потокосцепление контура

y = L×I,

где L – индуктивность контура, I – сила тока в контуре.

      Электродвижущая сила самоиндукции

e_is = -L×dI/dt,

где dI – изменение силы тока в контуре за время dt, L – индуктивность контура.

      Индуктивность соленоида

L= m₀×m×n²×V,

где m₀ = 4×p×10^-7 - Гн/м – магнитная постоянная, m - магнитная проницаемость сердечника, n = N/l – число витков на единицу длины соленоида, V – объем соленоида.

      Сила тока в цепи, обладающей активным сопротивлением R и индуктивностью L в момент времени t после замыкания цепи:

,

где e - ЭДС источника тока, г – его внутреннее сопротивление, t – время, прошедшее с момента замыкания цепи.

      Сила тока после размыкания цепи

,

где I₀ – сила тока в цепи при t = 0, t – время, прошедшее с момента размыкания цепи.

      Энергия магнитного поля контура

W = LI²/2,

где L – индуктивность контура, I – сила тока в контуре.

примеры решения задач

 

      Задача 1. Стержень длиной L =0,5 м вращается с постоянной угловой скоростью в магнитном поле с индукцией В = 0,6 Тл вокруг оси, проходящей через край стержня перпендикулярно стержню. Вектор магнитной индукции параллелен оси вращения. На концах стержня возникла разность потенциалов Dj = 3 В. Найти угловую скорость вращения стержня w.

      Решение.

      При движении проводника в магнитом поле на концах проводника возникает разность потенциалов Dj, равная Dj = DФ/Dt, DФ – магнитный поток через площадь, описываемую проводником за время Dt.

      Поскольку вращение стержня в задаче равномерное, то можно взять Dt =Т = 2p/w, DФ = В×S×cos0⁰ = B×p×L², где Т – период вращения стержня, S – площадь круга, которую описывает стержень при вращении.

      Тогда Dj = В×L²×w/2, отсюда угловая скорость равна w = 2×Dj/(В×L²);

w = 2×3/(0,6×0,5²) = 40 рад/с.

Ответ: 40 рад/с.

 

      Задача 2. Контур площадью S = 0,2 м² и сопротивлением R = 0,5 Ом находится в магнитном поле, линии индукции которого составляют угол b = 30⁰ с плоскостью контура. Определить индукционный ток при равномерном возрастании магнитной индукции со скоростью dB/dt = 0,1 Тл/с.

      Решение.

По закону электромагнитной индукции

|e| = dФ/dt,

где Ф = В×S×cosa - магнитный поток, a = 90⁰ - b.

Тогда dФ/dt = S×cos(90⁰ - b)×dВ/dt.

По закону Ома I = |e|/R = .

I = 0,1×0,2×соs(90⁰ – 30⁰) = 0,08 А.

Ответ: I = 0,08 А.

 

      Задача 3. Круговая рамка вращается с постоянной угловой скоростью w = 10 рад/с вокруг своего диаметра, равного d =0,4 м, в магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл. Направление вектора магнитной индукции перпендикулярно оси вращения рамки. Найти максимальное значение ЭДС индукции e_max, возникающей в рамке.

      Решение.

По закону электромагнитной индукции

e = -dФ/dt, где Ф(t) = В×S×cos(a(t)).

При равномерном вращении a(t) = wt, тогда

e = -В×S×dcos(wt)/dt или e = B×S×w×sin(wt). Максимальное значение ЭДС индукции при sin(wt) =1, площадь круговой рамки S = pd²/4, тогда e_max = p×В×d²×w/4.

e_max = 3,14×0,5×0,4²×10/4 = 0,63 В.

Ответ: e_max = 0,63 В.

 

      Задача 4. Квадратная проводящая рамка со стороной а = 0,1 м находится в однородном магнитном поле с индукцией В =0,8 Тл так, что линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости рамки. Найти электрический заряд Dq, который пройдет по рамке при ее повороте на угол a = 90⁰ вокруг оси, проходящей через одну из сторон рамки перпендикулярно линиям магнитной индукции. Сопротивление рамки 0,2 Ом.

      Решение.

По закону электромагнитной индукции

e = -dФ/dt.

По закону Ома

e = I×R.

По определению силы тока

I= dq/dt.

      Тогда R×dq/dt = - dФ/dt. Проинтегрируем и выразим прошедший по контуру заряд: Dq = DФ/R, где DФ = Ф₂ – Ф₁ = В×S×cosa - B×S×cos0⁰ – изменение магнитного потока через поверхность рамки, S = а² – площадь рамки. Тогда Dq = Ва²(1 – cosa)/R.

Dq = 0,8×0,1²×(1 – сos90⁰)/0,2 = 0,04 Кл.

Ответ: Dq = 0,04 Кл.

 

      Задача 5. Катушка индуктивностью L = 0,2 Гн и сопротивлением R = 1,6 Ом подключили к источнику постоянной ЭДС. Определить, во сколько раз уменьшится сила тока в катушке через t = 0,04 с, если источник ЭДС отключить и катушку замкнуть накоротко.

      Решение.

      Сила тока после отключения источника

I = I₀× , отсюда изменение силы тока равно .

.

Ответ: .

 

      Задача 6. Соленоид индуктивностью L = 0,1 Гн подключают к источнику тока. Определить сопротивление соленоида R, если за время t = 0,4 с сила тока в соленоиде достигает 80% предельного значения.

      Решение.

      Сила тока после замыкания цепи

I = e /r,

где e/r = I_пред – предельная сила тока. Тогда .

Отсюда . Следовательно, .

=0,4 Ом.

Ответ: R = 0,4 Ом.

 

      Задача 7. Длинный соленоид имеет N = 800 витков. При силе тока в соленоиде I = 20 А энергия его магнитного поля равна W = 0,5 Дж. Площадь поперечного сечения соленоида S = 20 см². Найти длину соленоида l.

      Решение.

      Энергия магнитного поля соленоида

W =L×I²/2.

      Индуктивность воздушного соленоида

L = m₀×n²×V/2, где n = N/l, V = S×l. Тогда L = m₀×N²×S/l. После подстановки индуктивности в формулу энергии поля выразим длину соленоида l = m₀×N²×S×I²/(2W).

l = 4×3,14×10^-7×800²×0,002×20²/(2×0,5)=6,4 м.

Ответ: l = 6,4 м.

 

задачи для самостоятельного решения

 

4.1. В однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл вращается с постоянной частотой 5 об/с стержень длиной 0,4 м. Ось вращения перпен­дикулярна стержню и проходит через его конец, линии индукции поля направлены вдоль оси вращения. Найти разность потенциалов, возни­кающую на концах стержня.

4.2. В магнитном поле с индукцией 0,5 Тл находится прямолинейный проводник длиной 20 cм, концы которого замкнуты вне поля. Сопротивле­ние всей цепи равно 0,2 Ом. Найти силу, которую нужно приложить к про­воднику, чтобы перемещать его перпендикулярно линиям индукции со скоростью 2 м/с.

4.3. Рамка площадью 200 см², изготовленная из провода сопротивлением 0,1 Ом, вращается с постоянной угловой скоростью 10 рад/с вокруг оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярной линиям магнитной индукции. Определить ЭДС индукции в тот момент, когда нормаль к плос­кости рамки составляет угол 30⁰ с линиями индукции магнитного поля.

4.4. Проволочное кольцо радиусом 0,1 м, имеющее сопротивление 0,2 Ом, расположено в магнитном поле с индукцией 0,5 Тл так, что линии индукции перпендикулярны плоскости кольца. Какой заряд пройдет по кольцу, если кольцо повернуть так, чтобы его плоскость стала параллельна линиям индукции?

4.5. Квадратный контур, изготовленный из провода сопротивлением 0,2 Ом, длиной 0,4 м, расположен в магнитном поле так, что силовые линии перпендикулярны плоскости контура. Найти электрический заряд, который протечет по контуру, если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию. Индукция магнитного поля равна 0,5 Тл.

4.6. Круговой виток радиусом 0,2 м вращается в однородном магнит­ном поле с индукцией 0,1 Тл вокруг своего диаметра, составляющего угол 60⁰ с направлением силовых линий магнитного поля. Определить частоту вращения витка, если максимальная ЭДС индукции составляет 0,63 В.

4.7. Прямолинейный проводник длиной 0,5 м свободно падает, оста­ваясь параллельным поверхности Земли. Определить разность потенциалов на концах проводника спустя 4 с после начала движения. Горизонтальная составляющая индукции магнитного поля Земли равна 20 мкТл.

4.8. Медный диск радиусом 50 см вращается равномерно вокруг вертикальной оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его геометриче­ский центр. Вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли 50 мкТл. С какой частотой вращается диск, если разность потенциалов между центром и краем диска составляет 2 мВ?

4.9. Прямолинейный проводник длиной 20 см расположен горизонталь­но в магнитном поле, силовые линии которого направлены вертикально. Концы проводника замкнуты гибким проводом, находящимся вне поля. Сопротивление всей цепи равно 0,1 Ом, индукция магнитного поля равна 0,5 Тл. Какая мощность потребуется для того, чтобы двигать проводник перпендикулярно к линиям индукции со скоростью 10 м/с?

4.10. На расстоянии 0,5 м от длинного прямолинейного проводника с током 800 А расположен контур площадью 1 см² так, что проводник и кон­тур лежат в одной плоскости. Определить электрический заряд, который протечет по контуру при выключении тока в проводнике. Неоднородностью магнитного поля в пределах контура пренебречь. Сопротивление контура 2 Ом.

4.11. Соленоид, состоящий из 200 витков диаметром 10 см, расположен в однородном магнитном поле с индукцией 0,4 Тл так, что ось соленоида параллельна линиям индукции. Соленоид поворачивают на 180⁰ вокруг другой оси перпендикулярной линиям индукции за 0,2 с. Определить среднее значение ЭДС индукции.

4.12. Четыре прямых провода образуют квадратный контур. Вектор индукции магнитного поля перпендикулярен плоскости контура. Все четыре провода движутся с одинаковой скоростью u по четырем различным направлениям без нарушения контакта (рис.4.1). Определить ЭДС