Программа по общему курсу Физики

Программа по общему курсу Физики

Раздел "Электромагнетизм".

Постоянное магнитное поле

 

Сила Лоренца. Вектор индукции магнитного поля как силовая характеристика магнитного поля. Силовые линии магнитного поля. Понятие о магнитном потоке. Движение заряженных частиц в постоянном магнитном поле. Эффект Холла. Сила Ампера. Контур с током в магнитном поле. Магнитный момент контурного тока. Момент сил, действующий на контур с током в магнитном поле. Работа момента силы. Энергия контура с током во внешнем магнитном поле и природа этой энергии. Работа по перемещению провода с током в магнитном поле. Закон Био-Саввара-Лапласа. Принцип суперпозиции для вектора индукции магнитного поля. Магнитное поле прямолинейного тока и на оси кругового тока. Взаимодействие параллельных токов. Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля. Магнитное поле соленоида и тороида. Вещество в магнитном поле. Намагничивание вещества. Вектор намагничивания. Классификация магнетиков. Понятие о связанных токах. Связь между поверхностной плотностью связанных токов и вектором намагничивания. Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля в магнетике. Вектор напряжённости магнитного поля и его связь с вектором намагничивания. Магнитная восприимчивость вещества и его связь с магнитной проницаемостью. Связь вектора индукции магнитного поля с вектором напряжённости для однородного изотропного вещества Природа ферромагнетизма, диа- и парамагнетизма. Теорема о магнитном потоке. Свойства магнитных потоков. Граничные условия на поверхности раздела магнетиков.

 

Электромагнетизм.

Явление электромагнитной индукции. Закон Фарадея. Правило Ленца. Механизм возникновения ЭДС индукции. Природа сторонних сил. Вихревое электрическое поле. Физические основы получения переменного тока. Явление самоиндукции. Понятие индуктивности проводников. Индуктивность соленоида. Переходные процессы в цепях, содержащих индуктивность. Энергия магнитного поля. Плотность энергии магнитного поля. Явление взаимной индукции. Коэффициент взаимной индукции. Взаимная индукция двух катушек с общим сердечником. Трансформаторы. Явление магнитоэлектрической индукции. Токи смещения. Плотность токов смещения. Теорема полного тока. Система уравнений Максвелла в интегральной форме.

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

С ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ТОКОМ

 

Сила Ампера – это сила, с которой магнитное поле действует на элемент тока :

dF = IBdlsina,

где I – сила тока в проводнике, dl – длина проводника, В – индукция магнитного поля.

      Направление силы Ампера определяется правилом левой руки: ладонь руки располагается так, чтобы четыре вытянутых пальца указывали направление элемента тока, а вектор магнитной индукции входил в ладонь, тогда отогнутый на 90⁰ большой палец укажет направление силы Ампера.

Момент силы, действующий на контур с током в магнитном поле

,

где - магнитный момент контура (S и I- площадь контура и сила тока в нем,  - единичный вектор нормали к плоскости контура).

      В векторном виде:

М = p_mВsina, где a - угол между векторами  и .

      Работа силы Ампера по перемещению контура с током в магнитном поле:

А = I(Ф₂ - Ф₁), где Ф₂ и Ф₁ – магнитные потоки через контур в начальном и конечном состоянии.

      Магнитный поток через плоскость контура: ,

где , dS – площадь контура, j - угол между вектором  нормали к контуру и вектором  магнитной индукции.

В задачах этого раздела сделаны следующие допущения:

вспомогательные проводники расположены вне магнитного поля или направлены так, что сила Ампера на них не действует;

при движении проводников вспомогательные провода не оказывают сопротивления этому движению;

при движении проводников в магнитном поле явления, связанные сэлектромагнитной индукцией, считаются несущественными.

 

примеры решения задач

 

      Задача 1. По проводнику в форме полуокружности радиусом R = 0,2 м протекает ток I = 10 А. Перпендикулярно плоскости проводника создано магнитное поле с индукцией В = 0,4 Тл. На сколько увеличится сила, действующая на проводник, если его распрямить в плоскости полуокружности?

      Решение.

      Найдем силу F₁, действующую на проводник в форме полуокружности. Мысленно разобьем полуокружность на малые элементарные дуги dl. Равнодействующая всех сил, действующих на элементы : .

      Разложим вектор  на две составляющие: . Тогда

.

      Поскольку вклады в F_х элементов dl и dl¢, симметричных относительно оси оу, взаимно компенсируются, следовательно, . Так как , тогда , где dF_y = dFcosa. По закону Ампера dF = IBdlsinj, где j - угол между вектором  и направлением тока равен 90⁰, dl = Rda.

      Окончательно получаем .

      Сила Ампера F₂, действующая на прямой проводник

F₂ = IBL,

где L = pR – длина проводника. Следовательно F₂ = IBpR.

      Разность сил равна: F₂ – F₁ = (p - 2)IBR.

F₂ – F₁ = (3,14 – 2)10×0,4×0,2 = 0,9 Н.

Ответ: F₂ – F₁ = 0,9 Н.

 

      Задача 2. Прямолинейный проводник длиной L = 0,5 м массой m = 20 г висит горизонтально на двух параллельных нитях равной длины. Магнитное поле с индукцией В = 0,4 Тл создано в вертикальном направлении. На какой угол отклонятся нити с проводником от вертикали, если по проводнику пропустить ток I = 1 А?

      Решение.

      Условие равновесия проводника:

,

где  - натяжение нити, F_A = IBLsin90⁰ – сила Ампера.

В проекциях на оси координат:

ох: F_A – 2Tsinj = 0,

oy: 2Tcosj - mg =0.

или

Решая систему данных уравнений, получаем: , следовательно, j = 45⁰.

Ответ: j = 45⁰.

 

      Задача 3. Квадратная рамка со стороной а = 0,1 см, по которой протекает ток силой I =20 А, помещена в магнитное поле с индукцией В =0,5 Тл так, что угол между нормалью к рамке и вектором индукции магнитного поля равен a = 30⁰. Найти вращающий момент М, действующий на рамку со стороны магнитного поля.

      Решение.

      Магнитный момент М, действующий на рамку с током равен

М = р_mВsina,

где р_m = IS – модуль магнитного момента рамки, S = а² – площадь рамки.

Следовательно, М = Iа²Bsina

М = 20×0,1²×0,5×0,87 = 0,087 Н×м.

Ответ: М = 0,087 Н×м.

 

      Задача 4. Тонкий равномерно заряженный стержень вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, перпендикулярной стержню и проходящей через один из его концов. Линейная плотность заряда стержня t = 2 мкКл/м, линейная плотность стержня r = 0,4 кг/м. Найти отношение магнитного момента стержня к его моменту импульса .

      Решение.

      Пусть l – длина стержня, w - его угловая скорость, ось ох проходит вдоль стержня перпендикулярно оси вращения О¢О¢¢. Мысленно разобьем стержень на бесконечно малые элементы dx. Элемент dх имеет элементарный заряд dQ = tdх. Сила эквивалентного тока при вращении заряда dQ равна

,

где  - период вращения.

      Модуль магнитного момента  эквивалентного тока равен

dp_m = SdI,

где S = px² – площадь круга.

      С учетом вышесказанного .

      Проинтегрируем dр_m по х в пределах от 0 до l:

.

      Модуль момента импульса стержня:

L = Jw,

где J – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через конец стержня. По теореме Штейнера ,

где m = rl – масса стержня. Следовательно, .

      Отношение магнитного момента к моменту импульса равно

 Кл/кг;

 Кл/кг.

Ответ:  Кл/кг.

 

      Задача 5. Контур, имеющий форму окружности радиуса R = 0,1 м, помещен в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,8 Тл так, что плоскость контура параллельна вектору магнитной индукции. Найти работу сил магнитного поля А по повороту контура на 90⁰ вокруг диаметра окружности, перпендикулярного вектору магнитной индукции. Сила тока в контуре I = 10 А.

      Решение.

      Работа по повороту контура:

А = I(Ф₂ – Ф₁),

где Ф₁ = BScos90⁰ – начальный магнитный поток вектора магнитной индукции через контур, Ф₂ = BScos0⁰ – конечный магнитный поток, S = pR² – площадь контура.

Следовательно, А = pIBR².

А = 3,14×10×0,8×0,1² = 0,25 Дж.

Ответ: А = 0,25 Дж.

 

задачи для самостоятельного решения

 

2.1. В магнитном поле на двух тонких проводниках горизонтально подвешен проводящий стержень, масса которого 20 г, а длина 0,5 м. Силовые линии магнитного поля направлены горизонтально и перпендикулярны к стержню. Найти индукцию магнитного поля, если при прохождении через стержень тока 5 А сила натяжения проводников увеличилась в два раза.

2.2. На двух металлических пружинах горизонтально подвешен проводящий стержень длиной 20 см. Жесткость каждой пружины 5 Н/м. Под действием стержня пружины растяну­лись на 2 см. Систему помести­ли в магнитное поле, индукция которого 0,5 Тл. Каким будет растяжение пружин, если пропустить ток 0,5 А? Направления силовых линий и тока указаны на рис. 2.1.

2.3. Металлический стержень длиной 25 см горизонтально подвешен за концы на двух пружинах с жесткостью 10 Н/м каждая. В вертикальном направлении он совершает колебания с периодом 0,5 с. На какую величину сместится положение равновесия, относительно которого происходят коле­бания, если по стержню пропустить ток 2 А и включить магнитное поле с индукцией 0,5 Тл? Силовые линии поля направлены горизонтально и пер­пендикулярны к стержню.

2.4. Силовые линии магнитного поля направлены горизонтально. В этом поле колеблется проводящий стержень длиной 0,4 м, подвешенный горизонтально на двух тонких невесомых проводниках длиной 1 м. Проводник расположен перпендикулярно к магнитному полю, а его колебания происходят вдоль силовых линий. С каким периодом он будет колебаться, если через него пропустить электрический ток силой 2 А? Масса стержня 50 г. Индукция магнитного поля 0,5 Тл.

2.5. Как и во сколько раз изменится период колебаний стержня в условиях задачи 2.4, если вектор магнитной индукции повернуть в гори­зонтальной плоскости на угол a = 60⁰?

2.6. На двух тонких невесомых проводниках в магнитном поле с ин­дукцией 0,2 Тл горизонтально висит стержень длиной 0,5 м и массой 50 г. Силовые линии поля направлены вертикально вниз. На какой угол отклонятся проводники, удерживающие стержень, если по нему пропустить ток 5 А?

2.7. Однородный проводящий стержень массой 100 г и длиной 1 м подвешен за верхний конец так, что он может свободно вращаться вокруг непод­вижной оси ОО¹ (рис. 2.2). Стержень помещен в магнитное поле с индукцией 0,25 Тл, и по нему проходит ток 4 А. Найти угол, на который отклонился стер­жень от вертикали. Силовые линии поля направлены горизонтально.

2.8. Нихромовая проволока длиной 0,3 м и диаметром 0,2 мм, сог­нутая в виде полуокружности, находится в магнитном поле с индукцией 0,25 Тл. Вектор индукции перпендикулярен к плоскости полуокружности. Проводник подключен к источнику тока с ЭДС, равной 6 В, и внутренним сопротивлением 3 Ом. Найти силу, с которой магнитное поле действует на проводник с током.

2.9. Прямолинейный проводник с током находятся в магнитном поле. Линии индукции перпендикулярны к проводнику. Как и во сколько раз из­менится сила, действующая на проводник со стороны магнитного поля, если его в середине согнуть под прямым углом?

2.10. На проводник с током, согнутый в виде полуокружности и по­мещенный в магнитное поле, действует сила F. Вектор индукции перпенди­кулярен к плоскости, в которой лежит проводник. Как следует располо­жить проводник в магнитном поле, чтобы после его выпрямления модуль силы не изменился?

2.11. Проводник длиной 12 см, имеющей сопротивление 120 Ом, согнули в виде треугольника и поместили в магнитное поле с индукцией 0,4 Тл (рис. 2.3). Вектор индукции перпендикулярен плоскости треугольника, отрезки АВ = 3 см, ВC = 4 см и АС = 5 см. К точкам А и С подключили источ­ник тока с ЭДС, равной 50 В. Найти силу Ампера, действующую на проводник.

2.12. Два проводника одинакового сечения, но разной длины (l₁ > l₂) расположены в магнитном поле так, что образуют с вектором индукции равные углы (α₁ = α₂). Сравнить силы F₁ и F₂, действующие на проводники со стороны магнитного поля, если к их концам приложить одинаковое напряжение.

2.13. Проволочное кольцо радиусом 0,2 м расположено в магнитном поле так, что вектор индукции перпендикулярен его плоскости. Сопро­тивление кольца 0,314 Ом. Какая сила будет действовать на кольцо, если к двум его точкам, отстоящим по дуге на 60⁰, подключить источник тока с ЭДС, равной 1,5 В? Индукция магнитного поля равна 0,01 Тл.

2.14. Два параллельных проводника с токами, равными 5 А и противоположно направленными, находятся на расстоянии 2 см друг от друга. Проводники помещают в магнитное поле, силовые линии которого перпендикулярны плоскости, содержащей оба проводника. Какова должна быть индукция этого поля, чтобы скомпенсировать их собственное взаимодействие?

2.15. Провод длиной 15 см согнут в виде прямоугольного равнобедренного треугольника и помещен в магнитное поле, силовые линии которого перпендикулярны его плоскости. Через гипотенузу треугольника идет ток 2 А. Какая сила действует на каждый из катетов, если индукция маг­нитного поля 0,1 Тл?

2.16. Два прямолинейных проводника из одного металла, имеющие оди­наковое сопротивление, но различные по диаметру (d₁ = 2d₂), расположе­ны в магнитном поле так, что перпендикулярны к силовым линиям. Их соединяют последовательно и подключают к источнику тока. Во сколько раз отличаются силы, действующие со стороны магнитного поля на каждый из проводников?

2.17. Прямолинейный проводник длиной 20 см расположен в магнит­ном поле с индукцией 0,05 Тл так, что он перпендикулярен силовым линиям поля. Его концы подключают к конденсатору емкостью 100 мкФ, заряженно­му до напряжения 200 В. Какой импульс получит проводник в результате разряда конденсатора?

2.18. Проводящий стержень длиной 0,1 м и массой 10 г горизон­тально висит на двух гибких проводниках в магнитном поле, силовые ли­нии которого направлены вертикально. Какую скорость он приобретет пос­ле того, как через него за время 0,01 с пропустят заряд 1 мкКл? Индукция магнитного поля равна 0,12Тл.

2.19. Гибкий проводник, согнутый в вида кольца радиусом 0,1 м, расположен в магнитном поле так, что вектор индукции перпендикулярен плоскости кольца. Какова будет сила натяжения проводника, если по нему пропустить ток 5 А? Считать, что концы проводника закреплены. Индукция магнитного поля равна 0,1 Тл.

2.20. Медный провод сечением 2 мм², согнутый в виде трех сторон квадрата, может вращаться отно­сительно горизонтальной оси 00^’. Провод помещен в магнитное поле, силовые линии которого нап­равлены вертикально вверх. Найти индукцию магнитного поля, если при токе 5 А плоскость провода отклоняется от положения равно­весия на угол 30⁰ (рис. 2.4).

2.21. Проводник длиной 10 см согнули в средней точке под прямым углом и поместили в магнитное поле с индукцией 0,05 Тл. По проводнику идет ток 5 А. При какой ориентации магнитного поля сила Ампера будет максимальной, а при какой минимальной? Вычислить максимальное и ми­нимальное значения этой силы.

2.22. На рис. 2.5 изображен проводник произвольной формы с током, текущим между точками А и В. Он помещен в магнитное поле, силовые линии которого перпен­дикулярны плоскости проводника. Доказать, что сила Ампера не зависит от формы про­водника, а определяется лишь положением точек А и В.

2.23. В кювету, две противоположные стенки которой металлические, а остальные сделаны из изолятора, налит электролит плотностью ρ, уде­льной электропроводностью λ (рис.2.6). К металлическим стенкам приложено напряжение U. Сосуд находится в однородном магнитном поле, силовые линии которого направлены вертикально вниз. Определить разность уров­ней жидкости около неметалличе­ских стенок. Длина кюветы а, ширина b. Индукция магнитного поля равна В.

2.24. Проводящий параллелепипед (а × b × c), плотность материала которого равна ρ, плавает в жидкости (рис. 2.7). После того как перпендикулярно грани (а × b) пропустили электрический ток плотностью j, глубина пог­ружения параллелепипеда в жидкости увеличилась на Δх. Горизонтальная составляющая индукции магнитного поля Земли равна В. Определить плотность жидкости.

2.25. Проводящий параллелепипед (a × b × c), плотность которого ρ, плавает в жидкости (рис. 2.7). Как изменится глубина погружения параллелепипеда в жидкости (х) после того, как перпендикулярно грани a × b пропустят электрический ток с плотностью j? Считать магнитное поле Земли вблизи поверхности однородным, а горизонтальную составляющую вектора индукции - равной В.

2.26. По длинному прямому проводнику течет ток I₁. Рядом с этим проводником расположена прямоугольная рамка со сторонами b и a, обтекаемая током I₂. Ближайшая сторона рамки находится на расстоянии l от проводника (рис. 2.8). Определить силу, действующую на рамку со стороны магнитного поля проводника.

2.27. В условиях задачи 2.26 вычислить работу, которую необходимо совершить, чтобы удалить рамку из магнитного поля.

2.28. Прямоугольная рамка 10х5 см², содержащая 20 витков проволо­ки, помещена в однородное магнитное поле с индукцией 0,5 Тл. Угол между нормалью к плоскости каждого витка и вектором индукции равен 30⁰, сила тока - 0,1 А. Определить модуль и направление момента силы, действующего на рамку.

2.29. В однородном магнитном поле помещена рамка, состоящая из 50 витков провода площадью 4 см² каждый. Рамка может вращаться вокруг неподвижной оси 00’, перпендикулярной к силовым линиям поля (рис. 2.9). Упругими силами спиральной пружины рамка удерживается в равновесии так, что ее плос­кость параллельна силовым ли­ниям. При пропускании тока по рамке она повернулась на угол 60⁰. Определить силу тока в рамке. Жесткость пружины k = 6,0∙10^-5 Н∙м/рад. Индукция магнитного поля равна 2π∙10^-3 Тл. Примечание. Жесткость спираль­ной пружины измеряется вращаю­щим моментом, необходимым для закручивания пружины на угол, равный 1 рад.

2.30. В условиях задачи 2.29 рамка повернулась на угол 30⁰ при силе тока 1 А. Определить силу тока в рамке при повороте её на угол 45⁰.

2.31. По длинному прямолинейному проводнику течет ток I. Рядом с этим проводником расположена прямоугольная рамка так, как изображено на рис. 2.8. Вычислить магнитный поток, пронизывающий рамку.

2.32. На цилиндр из диэлектрика намотано 20 витков проволоки так, что все они лежат в одной плоскости, проходящей через ось цилинд­ра. Цилиндр положили на наклонную плоскость, образующую угол α = 30⁰ с горизонтом. Какой наименьший ток надо пропустить по рамке, чтобы ци­линдр покоился в однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл? Силовые линии магнитного поля направлены вертикально вверх. Масса цилиндра 0,6 кг, длина 0,2 м, плоскость рамки параллельна наклонной плоскости.

2.33. Стержень заряжен с линейной плотностью τ. Он вращается относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец. Определить отношение магнитного момента стержня к моменту импульса. Масса стержня m.

2.34. По поверхности диска равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью σ. Определить отношение магнитного момента дис­ка к моменту импульса. Радиус диска R, масса m, угловая ско­рость ω. Ось вращения проходит через центр диска и перпендикулярна его плоскости.

2.35. Тонкое однородное равномерно заряженное кольцо вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, совпадающей с одним из диа­метров кольца. Линейная плотность заряда τ, линейная плотность кольца р. Вычислить отношение магнитного момента кольца к моменту импульса.

2.36. Тонкий равномерно заряженный стержень вращается с постоян­ной угловой скоростью вокруг оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину. Вычислить отношение магнитного момента стержня к моменту импульса. Линейная плотность заряда τ, линейная плотность стержня ρ.

2.37. Объемно заряженный однородный диэлектрический цилиндр вращается равномерно относительно оси, совпадающей с его геометрической осью. Вычислить отношение магнитного момента цилиндра к механическому моменту. Объемная плотность заряда σ, плотность материала цилиндра ρ.

2.38. Два длинных прямолинейных проводника, по которым текут токи одного направления I₁ и I₂, раздвигают с расстояния d₁ до рас­стояния d₂. Какая совершается над проводниками работа в расчете на единицу их длины?

2.39. Квадратная рамка с током расположена в однородном магнит­ном поле. Нормаль к плоскости контура и силовые линия поля образуют угол α. Какую работу необходимо совершить, чтобы при неизменном токе в контуре его форму изменить на окружность? Сторона рамки а, сила тока I, индукция магнитного поля В.

2.40. Квадратная рамка с током I в однородном магнитном поле на­ходится в состоянии неустойчивого равновесия. Определить изменение по­тенциальной энергии контура при его повороте вокруг оси, лежащей в плоскости контура, на угол a. Сторона рамки а, индукция магнитного поля В.

2.41. Тонкое проводящее кольцо лежит на столе и находится в одно­родном магнитном поле, силовые линии которого горизонтальны. Масса кольца m, его радиус R, магнитная индукция В. Какой ток необходимо пропустить по кольцу, чтобы оно начало подниматься?

2.42. В неоднородном магнитном поле, компоненты индукции которого B_x = 0, B_y = 0, B_z = В_о(1 + αx), находится прямоугольная рамка со сторонами а и b. Силовые линии магнитного поля перпендикулярны к плос­кости рамки. По рамке течет ток I. Какую работу необходимо совершить при поступательном смещении рамки вдоль оси ОХ на расстояние l? a > 0.

2.43. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводником, по которому течет ток I₁, на расстоянии а от него расположе­на прямоугольная рамка со сто­ронами b и с (рис.2.10). По рамке течет ток I. Какую рабо­ту необходимо совершить, чтобы повернуть рамку на угол α вок­руг оси 00’?

2.44. Виток радиусом R согнули по диаметру под прямым углом и по­местили в однородное магнитное поле с индукцией В так, что одна из плоскостей витка оказа­лась расположенной под углом a, другая - под углом p/2 - a к направлению вектора индукции В (рис. 2.11). Ток в витке I. Определить момент сил, действующих на виток.

2.45. В неоднородном магнитном поле, компоненты индукции которого b_x = 0, By =О, b_z = ах (а > О), находится прямоугольная рамка со сторонами а и b. Силовые линии магнитного поля перпендикулярны к плоскости рамки. Рассчитать изменение магнитного потока при поступательном смещении рамки вдоль оси ОХ на расстояние l.

2.46. Катушка, по виткам которой течет ток I, вертикально стоит на столе. Общая масса катушки m, число витков N, радиус витков R. При какой индукции однородного магнитного поля, силовые линии которого направлены горизонтально, катушка опрокинется?

2.47. Замкнутый контур с током I находится в магнитном поле длинного пря­мого проводника с током I_Q (рис. 2.12). Плоскость контура перпендикулярна к проводнику. Найти момент силы Ампера, действующий на контур.

2.48. Решить предыдущую задачу, если контур имеет вид, показанный на рис. 2.13.

2.49. Непроводящая, равномерно заряженная по поверхности сфера, вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, проходящей через ее центр. Вычислить отношение магнитного момента сферы к ее механичес­кому моменту. Поверхностная плотность заряда о, поверхностная плот­ность материала J.

2.50. Равномерно заряженный по объему шар вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, проходящей через его центр. Вычислить отношение магнитного момента шара к его механическому моменту. Объем­ная плотность заряда т, плотность шара р.

2.51. В ядерных реакторах в качестве теплоносителей используют расплавленные металлы, которые возможно перекачивать с помощью электродинамических насосов. В таких насосах через участок трубы с жидким металлом, находящимся в однородном магнитном поле, в направлении, перпендикулярном к вектору индукции В и оси трубы, пропускают равномерно распределенный ток (рис. 2.14). Вычислить избыточное давление, которое создает такой насос. При расчете принять: В = 0,2 Тл, I = 100 А, d = 2,5 см.

2.52. Вдоль длинного тонкостенного цилиндра радиусом R течет ток I. Какое напряжение испытывают стенки цилиндра?

2.53. Два длинных прямых взаимно перпендикулярных провода нахо­дятся друг от друга на расстоянии 1. По ним текут токи I. Найти максимальное значение силы Ампера на единицу длины провода.

2.54. Прямолинейный проводник длиной 20 см и массой 25 г лежит на горизонтальной поверхности в однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл. При протекании тока в течение 1 с проводник подпрыгнул на вы­соту 5 см. Вычислить прошедший заряд. Силовые линии поля направлены горизонтально и перпендикулярны к проводнику.

2.55. Магнитное поле образовано прямолинейной длинной полосой с током I₀. Ширина полосы 2d. Отрезок проводника расположен вдоль пер­пендикуляра к плоскости полосы, восстановленного из ее середины, длина отрезка l, а его ближайший конец находится на расстоянии а от поверх­ности полосы. Рассчитать силу Ампера, действующую на проводник, если по нему течет ток I. Ток по полосе распределен равномерно.

2.56. Длинная прямолинейная тонкая полоса шириной b и квадратная рамка со стороной a лежат в одной плоскости. Две стороны рамки парал­лельны ребру полосы и расположены на расстоянии а и 2а от него. Вдоль полосы течет равномерно распределенный по ее ширине ток I₀. По рамке течет ток I. При этом токи направлены так, что магнитный момент рамки совпадает по направлению c вектором индукции магнитного поля полосы. Какая работа совершается при повороте рамки на угол 180⁰ относительно оси, проходящей через одну из ее диагоналей?

 

 

ЗАКОН БИО-САВАРА-ЛАПЛАСА.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ.

ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

 

      Электромагнитный поток dФ через площадку dS

dФ = В×dS×cosa,

 - вектор индукции магнитного поля, dS – элемент площади, a - угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

      Закон электромагнитной индукции

e_i = -N×dФ/dt = -dy/dt,

где e_i – электродвижущая сила индукции, N – число витков контура (катушки), y - потокосцепление.

      Потокосцепление контура

y = L×I,

где L – индуктивность контура, I – сила тока в контуре.

      Электродвижущая сила самоиндукции

e_is = -L×dI/dt,

где dI – изменение силы тока в контуре за время dt, L – индуктивность контура.

      Индуктивность соленоида

L= m₀×m×n²×V,

где m₀ = 4×p×10^-7 - Гн/м – магнитная постоянная, m - магнитная проницаемость сердечника, n = N/l – число витков на единицу длины соленоида, V – объем соленоида.

      Сила тока в цепи, обладающей активным сопротивлением R и индуктивностью L в момент времени t после замыкания цепи:

,

где e - ЭДС источника тока, г – его внутреннее сопротивление, t – время, прошедшее с момента замыкания цепи.

      Сила тока после размыкания цепи

,

где I₀ – сила тока в цепи при t = 0, t – время, прошедшее с момента размыкания цепи.

      Энергия магнитного поля контура

W = LI²/2,

где L – индуктивность контура, I – сила тока в контуре.

примеры решения задач

 

      Задача 1. Стержень длиной L =0,5 м вращается с постоянной угловой скоростью в магнитном поле с индукцией В = 0,6 Тл вокруг оси, проходящей через край стержня перпендикулярно стержню. Вектор магнитной индукции параллелен оси вращения. На концах стержня возникла разность потенциалов Dj = 3 В. Найти угловую скорость вращения стержня w.

      Решение.

      При движении проводника в магнитом поле на концах проводника возникает разность потенциалов Dj, равная Dj = DФ/Dt, DФ – магнитный поток через площадь, описываемую проводником за время Dt.

      Поскольку вращение стержня в задаче равномерное, то можно взять Dt =Т = 2p/w, DФ = В×S×cos0⁰ = B×p×L², где Т – период вращения стержня, S – площадь круга, которую описывает стержень при вращении.

      Тогда Dj = В×L²×w/2, отсюда угловая скорость равна w = 2×Dj/(В×L²);

w = 2×3/(0,6×0,5²) = 40 рад/с.

Ответ: 40 рад/с.

 

      Задача 2. Контур площадью S = 0,2 м² и сопротивлением R = 0,5 Ом находится в магнитном поле, линии индукции которого составляют угол b = 30⁰ с плоскостью контура. Определить индукционный ток при равномерном возрастании магнитной индукции со скоростью dB/dt = 0,1 Тл/с.

      Решение.

По закону электромагнитной индукции

|e| = dФ/dt,

где Ф = В×S×cosa - магнитный поток, a = 90⁰ - b.

Тогда dФ/dt = S×cos(90⁰ - b)×dВ/dt.

По закону Ома I = |e|/R = .

I = 0,1×0,2×соs(90⁰ – 30⁰) = 0,08 А.

Ответ: I = 0,08 А.

 

      Задача 3. Круговая рамка вращается с постоянной угловой скоростью w = 10 рад/с вокруг своего диаметра, равного d =0,4 м, в магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл. Направление вектора магнитной индукции перпендикулярно оси вращения рамки. Найти максимальное значение ЭДС индукции e_max, возникающей в рамке.

      Решение.

По закону электромагнитной индукции

e = -dФ/dt, где Ф(t) = В×S×cos(a(t)).

При равномерном вращении a(t) = wt, тогда

e = -В×S×dcos(wt)/dt или e = B×S×w×sin(wt). Максимальное значение ЭДС индукции при sin(wt) =1, площадь круговой рамки S = pd²/4, тогда e_max = p×В×d²×w/4.

e_max = 3,14×0,5×0,4²×10/4 = 0,63 В.

Ответ: e_max = 0,63 В.

 

      Задача 4. Квадратная проводящая рамка со стороной а = 0,1 м находится в однородном магнитном поле с индукцией В =0,8 Тл так, что линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости рамки. Найти электрический заряд Dq, который пройдет по рамке при ее повороте на угол a = 90⁰ вокруг оси, проходящей через одну из сторон рамки перпендикулярно линиям магнитной индукции. Сопротивление рамки 0,2 Ом.

      Решение.

По закону электромагнитной индукции

e = -dФ/dt.

По закону Ома

e = I×R.

По определению силы тока

I= dq/dt.

      Тогда R×dq/dt = - dФ/dt. Проинтегрируем и выразим прошедший по контуру заряд: Dq = DФ/R, где DФ = Ф₂ – Ф₁ = В×S×cosa - B×S×cos0⁰ – изменение магнитного потока через поверхность рамки, S = а² – площадь рамки. Тогда Dq = Ва²(1 – cosa)/R.

Dq = 0,8×0,1²×(1 – сos90⁰)/0,2 = 0,04 Кл.

Ответ: Dq = 0,04 Кл.

 

      Задача 5. Катушка индуктивностью L = 0,2 Гн и сопротивлением R = 1,6 Ом подключили к источнику постоянной ЭДС. Определить, во сколько раз уменьшится сила тока в катушке через t = 0,04 с, если источник ЭДС отключить и катушку замкнуть накоротко.

      Решение.

      Сила тока после отключения источника

I = I₀× , отсюда изменение силы тока равно .

.

Ответ: .

 

      Задача 6. Соленоид индуктивностью L = 0,1 Гн подключают к источнику тока. Определить сопротивление соленоида R, если за время t = 0,4 с сила тока в соленоиде достигает 80% предельного значения.

      Решение.

      Сила тока после замыкания цепи

I = e /r,

где e/r = I_пред – предельная сила тока. Тогда .

Отсюда . Следовательно, .

=0,4 Ом.

Ответ: R = 0,4 Ом.

 

      Задача 7. Длинный соленоид имеет N = 800 витков. При силе тока в соленоиде I = 20 А энергия его магнитного поля равна W = 0,5 Дж. Площадь поперечного сечения соленоида S = 20 см². Найти длину соленоида l.

      Решение.

      Энергия магнитного поля соленоида

W =L×I²/2.

      Индуктивность воздушного соленоида

L = m₀×n²×V/2, где n = N/l, V = S×