Китайское, или японское, умножение

В азиатских странах принято умножать числа не в столбик, а рисуя линии. Для восточных культур важно стремление к созерцанию, и визуализации, поэтому, наверное, они и придумали такой красивый метод, позволяющий перемножать любые числа. Сложен этот способ только на первый взгляд. На самом деле, большая наглядность позволяет использовать этот способ гораздо эффективнее, чем умножение в столбик.

4. Шелыгина Ольга Борисовна «Использование многоцелевых заданий в процессе изучения внетабличного умножения и деления в начальной школе»

https://cyberleninka.ru/article/n/ispolzovanie-mnogotselevyh-zadaniy-v-protsesse-izucheniya-vnetablichnogo-umnozheniya-i-deleniya-v-nachalnoy-shkole/viewer

Наиболее сложной темой при формировании вычислительных навыков является тема «Внетабличное умножение и деление». К внетабличным случаям относятся случаи умножения неоднозначных чисел с результатом, не превышающим ста, и соответствующие случаи деления (см. таблицу).

№	Вид приема	Суть приема, подробная запись	Теоретическая основа приема	Операции, входящие в прием
1	20х3	20х3=2дес.х3=6дес.==60	Десяток – счетная единица	– Представление двузначного числа в виде разрядных единиц – табличное умножение – представление разрядных единиц двузначным числом
2	23х4	23х4=(20+3)х4= =20х4+3х4= =80+12=92	Свойство умножения суммы на число	– Замена числа суммой разрядных слагаемых – свойство умножения суммы на число Умножение 1 вида (десятков) – табличное умножение – сложение двузначных чисел
3	80:4	80:4=8 дес.:4=2 дес.=20	Десяток – счетная единица	– Представление двузначного числа в виде разрядных единиц – табличное деление – представление разрядных единиц двузначным числом
4	96:3	96:3=(90+6):3= 90:3+6:3=30+2=32	Свойство деления суммы на число	– Замена числа в виде суммы разрядных слагаемых; – применение свойства деления суммы на число; – деление 3 вида; – табличное деление; – сложение разрядных слагаемых
5	80:20	80:20=... 20*4=80	Взаимосвязь между компонентами и результатами арифметических действий	– Умножение 1 вида (десятков) – применение знания о взаимосвязи между компонентами и результатом умножения
6	96:16	96:16= 16*6=96	Взаимосвязь между компонентами и результатами арифметических действий	– Умножение 2 вида (неразрядного двузначного числа наоднозначное) – применение знания о взаимосвязи между компонентами и результатом умножения

 

Знание данных приемов и умение решать соответствующие примеры должно быть на очень высоком уровне, так они являются основой изучения действий с трехзначными числами и далее – с многозначными.

Основным методом формирования вычислительных умений и навыков является метод упражнений.

 Приведем примеры таких заданий в теме «Внетабличное умножение и деление».

Таким образом, использование многоцелевых заданий, то есть заданий, которые наряду с прямой обучающей целью преследуют другие образовательные цели, будет способствовать не только эффективному формированию вычислительных навыков внетабличного умножения и деления, но и развитию учеников в целом.

 

5. Балакина Наталья Олеговна   "Что такое умножение?"

https://urokimatematiki.ru/statya-chto-takoe-umnozhenie-2387.html

Умножение — одно из четырёх основных арифметических действий, бинарная математическая операция, в которой один аргумент складывается столько раз, сколько показывает другой. В арифметике под умножением понимают краткую запись сложения указанного количества одинаковых слагаемых. Например, запись обозначает «сложить три пятёрки», то есть. Результат умножения называется произведением, а умножаемые числа — множителями или сомножителями. Первый множитель иногда называется «множимое».

Умножение обозначается крестиком "×" или точкой "∙".

Знак умножения часто пропускают, если это не приводит к путанице. Например, вместо обычно пишут .

Свойства умножения

Умножение обладает следующими свойствами:

• коммутативностью (переместительный закон):
• ассоциативностью (сочетательный закон):
• дистрибутивностью (распределительный закон):

Ведущий российский методист и автор учебника по математике Истомина Н.Б., четко сформулировала особенности данной программы по исследуемой теме:

1) Первый этап - составление и усвоение таблиц умножения и деления включается в содержательную линию курса. Табличные случаи умножения учащиеся усваиваются в процессе изучения смысла умножения.

2) составление и усвоение таблицы умножения начинается со случаев умножения числа 9 (от более трудного к более лёгкому), что позволяет учащимся не только упражняться в сложении и вычитании двузначных и однозначных чисел с переходом через десяток, заменяя произведение суммой, но также сосредоточить внимание на сложных для запоминания случаях таблицы умножения: 9 · 8, 9 · 7, 9 · 6, по отношению к которым даётся установка на запоминание.

3) Учитывая, что не все дети могут непроизвольно запомнить таблицу умножения в процессе выполнения обучающих заданий, в учебнике, в определённой системе даются установки на запоминание трёх-четырёх табличных случаев. При этом установка на запоминание таблицы ориентирована на запоминание определённых табличных случаев.

4) Для организации самостоятельной работы учащихся рекомендуется фиксировать все случаи табличного умножения на карточке. Например, на одной стороне выражение, а на другой – его значение. Аналогично надо поступать со всеми случаями таблицы деления, что поможет учащимся действовать при запоминании табличных случаев умножения и деления, а также осуществлять самоконтроль».

В процессе исследования также познакомились с подходом к интересующей нас теме в системе обучения Л.В. Занкова по учебнику И.И. Аргинской. При изучении табличного умножения и деления, автором выделено только два этапа в работе учащихся:

1 этап – ознакомление с теоретическими сведениями, в том числе с порядком действия в выражениях. 2 этап – изучение таблицы умножения и деления с помощью таблицы Пифагора.     

И.И. Аргинская выделяет два подхода – прямой и косвенный, давая им подробную характеристику, указывая на преимущества косвенного.  

 

6. «Деление. Основные правила»

http://beginnerschool.ru/gen_rules/matem-gen_rules/delenie

Одним из простых арифметических действий является деление. Мы знаем, что умножение мы можем представить, как сложение числа самого с собой столько раз, на сколько нам надо его умножить.

Деление можно представить, как многократное вычитание.

12 ÷ 4 = 3

Число, которое мы делим, называется делимым, число на которое мы делим, называется делителем, а результат деления называется частным. В нашем примере делимое 12, делитель 4, а частное 3.

Деление можно проверить умножением:

3 × 4 = 12

А также деление можно проверить, многократным вычитанием:

12 – 3 – 3 – 3 – 3 = 0

Мы видим, что если из 12 вычесть 4 раза 3, то получится ноль. Значит, 12 на 4 делится без остатка.

Рассмотрим другой пример, разделим 13 на 4.

13 ÷ 4 = 3 (ост.1)

Проверим вычитанием:

13 – 3 – 3 – 3 – 3 = 1

Мы видим, что если из 13 четыре раза вычесть число 3, то останется 1. Наш пример называется делением с остатком. Здесь 13 – делимое, 4 – делитель, а 3 – неполное частное, 1 – остаток от деления.

Теперь проверим умножением:

3 × 4 + 1 = 13

Основные правила деления

1. НА НУЛЬ ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ!

2. Если делимое и делитель равны, то частное будет равно 1

3. Если делимое равно нулю, и частное будет равно нулю:

0 ÷ а = 0

4. Если делитель равен 1, то частное равно делимому:

а ÷ 1 = а

 

 

7. «Деление с остатком»

https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2019/01/18/delenie-s-ostatkom

Не всегда можно полностью разделить одно число на другое. В примерах на деление может оставаться остаток. Такое деление называется деление с остатком.

Деление с остатком — это деление одного натурального числа на другое, при котором остаток не равен нулю.

Если при делении натуральных чисел остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка, или, иначе говоря, делится нацело.

Деление с остатком записывают так:

Читается пример следующим образом:

17 разделить на 3 получится 5 и остаток 2.

При делении с остатком остаток всегда должен быть меньше делителя.

Если получилось, что остаток больше делителя, значит, вы неверно нашли наибольшее число, которое делится на делитель без остатка.

При решении более сложных примеров не всегда можно легко найти наибольшее число из пункта 1. Иногда для этого необходимо произвести дополнительные расчёты в столбик. Покажем это на примере.

Методом подбора найдём на сколько надо умножить 27, чтобы получить ближайшее число к 190.

Попробуем умножить на 6.

Рассчитаем остаток и сравним его с делителем.

Остаток больше делителя. Это означает, что 6 как множитель нам не подходит. Попробуем умножить делитель на 7.

Снова рассчитаем и сравним остаток с делителем.

Остаток меньше делителя. Значит пример решён верно. Запишем ответ.