Иванова Анастасия Сергеевна НОЛ-118

Раскладка по разрядам

Является самым простым приемом быстрого умножения двухзначных чисел. Оба множителя нужно разбить на десятки и единицы, а затем все эти новые числа перемножить друг на друга.

Данный способ требует умения удерживать в памяти одновременно до четырех чисел, и делать с этими числами вычисления.

К примеру, нужно перемножить числа 38 и 56. Делаем это следующим образом:

38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + 8 * 50 + 30 * 6 + 8 * 6 = 1500 + 400 + 180 + 48 = 2128 Еще проще будет делать устное умножение двухзначных чисел в три действия. Сначала нужно перемножить десятки, затем прибавить два произведения единиц на десятки, и затем прибавить произведение единиц на единицы. Выглядит это так: 38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + (8 * 50 + 30 * 6) + 8 * 6 = 1500 + 580 + 48 = 2128.

Данный способ не самый быстрый и эффективный, потому стоит изучить еще и другие способы устного умножения.

Подгонка чисел

Можно попробовать привести арифметическое вычисление к более удобному виду. Например, произведение чисел 35 и 49 можно себе представить таким образом: 35 * 49 = (35 * 100) / 2 — 35 = 1715

Визуализация умножения в столбик

Этот один из самых универсальных способов устного умножения чисел, развивающий пространственное воображение и память. Для начала следует научиться умножать в столбик в уме двухзначные числа на однозначные. После этого Вы легко сможете умножать двухзначные числа в три действия. Сначала двухзначное число нужно умножить на десятки другого числа, затем умножить на единицы другого числа, и после этого просуммировать полученные числа.

Выглядит это таким образом: 38 * 56 = (38 * 5) * 10 + 38 * 6 = 1900 + 228 = 2128.

Визуализация с расстановкой чисел

Очень интересный способ перемножения двухзначных чисел следующий. Нужно последовательно перемножить цифры в числах, чтобы получились сотни, единицы и десятки.

Допустим, Вам нужно умножить 35 на 49.

Сначала перемножаете 3 на 4, получаете 12, затем 5 и 9, получаете 45. Записываете 12 и 5, с пробелом между ними, а 4 запоминаете.

Получаете: 12 __ 5 (запоминаете 4).

Теперь умножаете 3 на 9, и 5 на 4, и суммируете: 3 * 9 + 5 * 4 = 27 + 20 = 47.

Теперь нужно к 47 прибавить 4, которое мы запомнили. Получаем 51.

Пишем 1 в середине, а 5 прибавляем к 12, получаем 17.

Итого, число, которое мы искали, 1715, оно является ответом:

35 * 49 = 1715

Свойства умножения

Умножение обладает следующими свойствами:

• коммутативностью (переместительный закон):
• ассоциативностью (сочетательный закон):
• дистрибутивностью (распределительный закон):

Ведущий российский методист и автор учебника по математике Истомина Н.Б., четко сформулировала особенности данной программы по исследуемой теме:

1) Первый этап - составление и усвоение таблиц умножения и деления включается в содержательную линию курса. Табличные случаи умножения учащиеся усваиваются в процессе изучения смысла умножения.

2) составление и усвоение таблицы умножения начинается со случаев умножения числа 9 (от более трудного к более лёгкому), что позволяет учащимся не только упражняться в сложении и вычитании двузначных и однозначных чисел с переходом через десяток, заменяя произведение суммой, но также сосредоточить внимание на сложных для запоминания случаях таблицы умножения: 9 · 8, 9 · 7, 9 · 6, по отношению к которым даётся установка на запоминание.

3) Учитывая, что не все дети могут непроизвольно запомнить таблицу умножения в процессе выполнения обучающих заданий, в учебнике, в определённой системе даются установки на запоминание трёх-четырёх табличных случаев. При этом установка на запоминание таблицы ориентирована на запоминание определённых табличных случаев.

4) Для организации самостоятельной работы учащихся рекомендуется фиксировать все случаи табличного умножения на карточке. Например, на одной стороне выражение, а на другой – его значение. Аналогично надо поступать со всеми случаями таблицы деления, что поможет учащимся действовать при запоминании табличных случаев умножения и деления, а также осуществлять самоконтроль».

В процессе исследования также познакомились с подходом к интересующей нас теме в системе обучения Л.В. Занкова по учебнику И.И. Аргинской. При изучении табличного умножения и деления, автором выделено только два этапа в работе учащихся:

1 этап – ознакомление с теоретическими сведениями, в том числе с порядком действия в выражениях. 2 этап – изучение таблицы умножения и деления с помощью таблицы Пифагора.     

И.И. Аргинская выделяет два подхода – прямой и косвенный, давая им подробную характеристику, указывая на преимущества косвенного.  

 

6. «Деление. Основные правила»

http://beginnerschool.ru/gen_rules/matem-gen_rules/delenie

Одним из простых арифметических действий является деление. Мы знаем, что умножение мы можем представить, как сложение числа самого с собой столько раз, на сколько нам надо его умножить.

Деление можно представить, как многократное вычитание.

12 ÷ 4 = 3

Число, которое мы делим, называется делимым, число на которое мы делим, называется делителем, а результат деления называется частным. В нашем примере делимое 12, делитель 4, а частное 3.

Деление можно проверить умножением:

3 × 4 = 12

А также деление можно проверить, многократным вычитанием:

12 – 3 – 3 – 3 – 3 = 0

Мы видим, что если из 12 вычесть 4 раза 3, то получится ноль. Значит, 12 на 4 делится без остатка.

Рассмотрим другой пример, разделим 13 на 4.

13 ÷ 4 = 3 (ост.1)

Проверим вычитанием:

13 – 3 – 3 – 3 – 3 = 1

Мы видим, что если из 13 четыре раза вычесть число 3, то останется 1. Наш пример называется делением с остатком. Здесь 13 – делимое, 4 – делитель, а 3 – неполное частное, 1 – остаток от деления.

Теперь проверим умножением:

3 × 4 + 1 = 13

Основные правила деления

1. НА НУЛЬ ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ!

2. Если делимое и делитель равны, то частное будет равно 1

3. Если делимое равно нулю, и частное будет равно нулю:

0 ÷ а = 0

4. Если делитель равен 1, то частное равно делимому:

а ÷ 1 = а

 

 

7. «Деление с остатком»

https://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2019/01/18/delenie-s-ostatkom

Не всегда можно полностью разделить одно число на другое. В примерах на деление может оставаться остаток. Такое деление называется деление с остатком.

Деление с остатком — это деление одного натурального числа на другое, при котором остаток не равен нулю.

Если при делении натуральных чисел остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка, или, иначе говоря, делится нацело.

Деление с остатком записывают так:

Читается пример следующим образом:

17 разделить на 3 получится 5 и остаток 2.

При делении с остатком остаток всегда должен быть меньше делителя.

Если получилось, что остаток больше делителя, значит, вы неверно нашли наибольшее число, которое делится на делитель без остатка.

При решении более сложных примеров не всегда можно легко найти наибольшее число из пункта 1. Иногда для этого необходимо произвести дополнительные расчёты в столбик. Покажем это на примере.

Методом подбора найдём на сколько надо умножить 27, чтобы получить ближайшее число к 190.

Попробуем умножить на 6.

Рассчитаем остаток и сравним его с делителем.

Остаток больше делителя. Это означает, что 6 как множитель нам не подходит. Попробуем умножить делитель на 7.

Снова рассчитаем и сравним остаток с делителем.

Остаток меньше делителя. Значит пример решён верно. Запишем ответ.

Деление суммы на число

Чтобы разделить сумму на число, можно вычислить сумму и разделить её на число или разделить на число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Случай 1:

(15 + 25): 5 =?

Рассуждай так:

Способ 1:

Нахожу сумму чисел 15 и 25, получаю 40. Теперь 40 делю на 5 и получаю 8.

Записываю так:

(15 + 25): 5 = 40: 5 = 8

Способ 2:

Каждое из слагаемых делю на 5 и результат складываю. Сначала делю первое слагаемое 15 на 5, получу 3, потом на 5 разделю второе слагаемое 25, получу 5, теперь полученные результаты 3 и 5 сложу и получу 8. Запишу так:

(15 + 25): 5 = 15: 5 + 25: 5 = 3 + 5 = 8

Значит, (15 + 25): 5 = 8

Случай 2:

36: 2 =?

Рассуждай так:

Число 36 представлю в виде суммы слагаемых, которые легко делятся на 2, например, 20 и 16. Эту сумму надо разделить на 2.

32: 2 = (20 + 16): 2 =?

Сначала делю первое слагаемое 20 на 2, получу 10, потом на 2 разделю второе слагаемое 16, получу 8, теперь полученные результаты 10 и 8 сложу и получу 18.

32: 2 = (20 + 16): 2 = 20: 2 + 16: 2 = 10 + 8 = 18

Значит, 36: 2 = 18

 

 

9. Екатерина Ушахина  «Как объяснить ребенку умножение и деление?»

https://deti.mann-ivanov-ferber.ru/2019/10/30/kak-obyasnit-rebenku-umnozhenie-i-delenie/

Подготовили для вас несколько советов и подборку книг, которые помогут разложить умножение и деление по полочкам.

Умножаем

Что такое умножение? При умножении второе число показывает, сколько раз нужно сложить первое число с самим собой. На рисунке в каждой шеренге стоят 13 человек, а всего шеренг 9. Чтобы подсчитать общее количество людей, нужно число 13 сложить само с собой 9 раз. Это и будет произведением чисел 13 на 9.

Не имеет значения, в каком порядке перемножаются числа: ответ будет одинаковым.

Умножение на 10, 100, 1000 Для того чтобы умножить целое число на 10, 100, 1000 и т. д., нужно просто дописать справа от этого числа один нуль (0), два нуля (00), три нуля (000) и т. д.

Делим

Деление позволяет найти, сколько раз одно число содержится в другом. Процесс деления можно представить, например, так: если 10 монет раздать 2 людям, то каждый получит по 5 монет. Или так: 10 монет, разложенные в стопки по 2 монеты, дадут 5 стопок.

Деление как распределение. Распределение чего-либо — это, по сути, операция деления. Так, если поровну распределить четыре конфеты между двумя людьми, у каждого из них будет по две конфеты.

10.  «Связь деления и умножения»

https://budu5.com/manual/chapter/1182

Смысл действия умножения состоит в том, что при умножении находится сумма одинаковых слагаемых.

Первое число при умножении показывает, какое слагаемое повторяют несколько раз.

Второе число при умножении показывает, сколько раз повторяют это слагаемое.

Результат умножения показывает, какое число получается.

6 • 4 значит, что число 6 повторяют 4 раза: 6 + 6 + 6 + 6 = 24

Первый множитель

Второй множитель

Произведение

Числа при умножении

Первый множитель

Второй множитель

Результат умножения, или Произведение

Чтение числовых выражений

6 • 4 = 24

Этот пример можно прочитать по-разному.

6 умножить на 4 равняется 24.

6 увеличить в 4 раза – получится 24.

Первый множитель – 6, второй множитель – 4, произведение – 24.

Произведение 6 и 4 равно 24.

Умножение на 1

4 • 1 = 4, потому что это значит, что число 4 повторяют только 1 раз.

Умножение на 0

8 • 0 = 0, потому что это значит, что число 8 повторяют 0 раз.

Связь деления и умножения

8 • 3 = 24, потому что 8 повторяют 3 раза.

24: 3 = 8, потому что в 24 по 3 содержится 8 раз.

24: 8 = 3, потому что в 24 по 8 содержится 3 раза.

 

Иванова Анастасия Сергеевна НОЛ-118

Библиография статей по теме «Умножение и деление»

1. Тимофеева А. А. «Изучение таблицы умножения»

https://infourok.ru/statya-izuchenie-tablici-umnozheniya-989564.html

Изучение табличного умножения и соответствующих случаев деления – центральная тема курса математики во II классе. Знанию таблицы умножения всегда придавали большое значение.

Формирование прочных вычислительных навыков табличного умножения и деления – одна из основных и сложных тем начального курса математики.

Готовясь к урокам, на которых учащиеся получат новые знания, стараюсь заинтересовать учащихся этим знанием, пробудить в них активное восприятие. Лучшему усвоению материала способствуют средства наглядности, опорные схемы, таблицы, которые применяю на каждом уроке.

Дидактические игры – одна из форм учебной деятельности. Поэтому на игру я отвожу всего несколько минут – от 5 до 10. Ценность дидактической игры я определяю не по тому, какую реакцию она вызывает со стороны детей, а учитываю, насколько она эффективно помогает решать учебную задачу применительно к каждому уроку. Далее приведу некоторые игры, с помощью которых ученик безболезненно усваивают таблицу умножения:

Игра «Живая математика»

У учащихся на груди табличка с цифрами от 0 до 9. Даю примеры на деление, например,72:9, 63:7, 32:8 и т.д. Встают ученики, у которых на груди таблички с цифрой 8, 9, 4 и т.д. Провожу игру в конце урока, т.к. она требует двигательную активность.

 «Пальцевой счёт»

Для умножения чисел а и в, которые оба больше 5 и меньше 10, нужно вытянуть на одной и другой руке столько пальцев, на сколько единиц данные числа, каждые в отдельности, превышают 5. Сумма чисел вытянутых пальцев будет десятками произведения, а единицы - это произведение оставшихся загнутых пальцев.

Например: 7*8

(7-5; 8-5)

2 + 3 =5(это десятки)

2 * 3 = 6(это единицы) Значит, 7*8=56

Ещё пример: 6*8

6-5=1

8-5=3 1+3=4 –это десятки. А загнутых пальцев на левой руке -4, а на правой руке-2. Их произведение – это единицы. Значит, 6*8=48.

Формирование у учащихся навыков табличного умножения и деления - одна из главных задач обучения математике. Решение этой задачи возможно при усвоении систематической работы по закреплению навыков табличного умножения. В итоге такой работы учащиеся учатся находить результаты табличного умножения и деления не только правильно и осознанно, но и быстро.

2. Беленькая Татьяна Яковлевна, Гуревич Ольга «Нестандартный подход к обучению детей таблице умножения»

https://cyberleninka.ru/article/n/nestandartnyy-podhodk-obucheniyu-detey-tablitse-umnozheniya/viewer

Перед современной школой стоит много задач, но основной и одной из самых важных задач, обозначенных в новых Федеральных Государственных образовательных стандартах, остаётся задача всестороннего развития ребёнка через сочетание учебной деятельности, в рамках которой формируются базовые знания, умения и навыки, с творческой и познавательной работой, которая непосредственно связанна с развитием способностей младшего школьника самостоятельно решать нестандартные задачи.

Нестандартный метод обучения детей таблице умножения «36 домиков за 36 дней» начинал разрабатываться и апробироваться ещё 10 лет назад. Многие педагоги согласятся с тем, что «старые» таблицы умножения имеют некоторые недостатки:

большой объём материала для запоминания, который построен так, что крайне тяжело использовать зрительную память ученика.

Предлагаемая нами переорганизация таблицы умножения облегчает запоминание и понимание, помогает развивать аналитическое мышление детей.

Новизна разработанного метода заключается в созданных для запоминания моделях закономерностей: «домики»–«улицы»–«город». Модели «домики» выстроены как последовательность «улицы» целого «города чисел».

Объясним суть нашего метода. На улицах «Города чисел» – 36 домиков. В каждом домике живёт тройка чисел: вверху живёт большой жилец, назовём его Целое. Внизу домика живут двое маленьких соседей. Например, Целое–20, соседи–4 и 5. Мы не будет рассматривать домики, где соседи 1 или 10, потому, что их запомнить легко. Там, где один из соседей Единица, Целое равно её соседу, например: (5, 1, 5): 5 и 15 Из тройки цифр можно построить четыре примера: два на умножение и два на деление. К примеру, посмотри на домик, в котором живут 6, 3 и 2. Шесть –Целое, 3 и 2 –жильцы домика и соседи. 6 и 23.

После объяснения такого примера ребёнок сможет автоматически решить четыре примера, которые не нужно специально запоминать по отдельности:

3×2 =6, 2× 3 = 6, 6: 2 =3, 6: 3= 2.

В некоторых домиках соседи – близнецы (похожи), например: 9, 3, 3. Здесь будет рассмотрен только один пример на умножение и один на деление. Порядок запоминания каждого домика таков. К примеру, домик 8, 2, 4: 8 –Целое, 2 и 4 соседи.

Далее предлагается алгоритм данной работы.

 

3. «Способы быстрого устного умножения чисел»

http://pro444.ru/uspeh/sposoby-bystrogo-ustnogo-umnozheniya-chisel.html

Как быстро умножать числа в уме, используя различные вспомогательные способы. Некоторые способы Вы, возможно, уже знаете, а некоторые из них довольно экзотические, например, древний китайский способ умножения чисел.

Раскладка по разрядам

Является самым простым приемом быстрого умножения двухзначных чисел. Оба множителя нужно разбить на десятки и единицы, а затем все эти новые числа перемножить друг на друга.

Данный способ требует умения удерживать в памяти одновременно до четырех чисел, и делать с этими числами вычисления.

К примеру, нужно перемножить числа 38 и 56. Делаем это следующим образом:

38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + 8 * 50 + 30 * 6 + 8 * 6 = 1500 + 400 + 180 + 48 = 2128 Еще проще будет делать устное умножение двухзначных чисел в три действия. Сначала нужно перемножить десятки, затем прибавить два произведения единиц на десятки, и затем прибавить произведение единиц на единицы. Выглядит это так: 38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + (8 * 50 + 30 * 6) + 8 * 6 = 1500 + 580 + 48 = 2128.

Данный способ не самый быстрый и эффективный, потому стоит изучить еще и другие способы устного умножения.

Подгонка чисел

Можно попробовать привести арифметическое вычисление к более удобному виду. Например, произведение чисел 35 и 49 можно себе представить таким образом: 35 * 49 = (35 * 100) / 2 — 35 = 1715