Схематическое описание полного изучения хронологических рядов.

Основная цель изучения временного ряда – прогнозирование его будущих значений. Для этого необходимо знать или по меньшей мере моделировать механизмы создания хронологических рядов.

Знаем, что переменные  не особенно часто ни независимы (можно дождаться фактически того, что наблюдения, относительно близкие во времени, окажутся связанны), ни одинаково распределены (в большинстве случаев, явление развивается и изменяется с течением времени, что приводит к тому, что описываемые переменные не равнораспределены) [3]. Это требует особенных статистических методов обработки и моделирования, поскольку, в частности в рамках стандарта, классические статистические методы основываются на гипотезах независимости.

Схематично основные этапы обработки хронологических рядов следующие:

1. Корректировка данных

2. Наблюдение ряда

3. Моделирование (с конечным числом параметров)

4. Анализ компонентов ряда

5. Диагностика модели

6. Прогнозирование

Корректировка данных

Прежде чем устремиться в изучение хронологических рядов, часто возникает необходимость обработки, изменения сырых данных. Например:

– Оценка отсутствующих данных, замена случайных данных

– Деление на подряды

– Стандартизация с целью приведения к интервалам фиксированной длины[6]. Например, для ежемесячных данных приводят к стандартному месяцу, считая среднее ежедневное в месяце (месячная сумма за месяц делится на число дней в месяце).

– Трансформация данных: по различным причинам иногда она может быть проведена для использования изменённых данных. [7] Например в экономике, используют семейство трансформаций Бокса-Кокса:

1.1.1

здесь

Наблюдение ряда

Тогда как спектральный подход основывается на использовании спектра (или периодограммы), временной подход базируется на автокоррелограмме или на использовании корреляции рядов в целом. Коэффициент корреляции ряда был определен Хокером в 1901 в исследовании на тему налогов на свадьбу в Англии и индекса торговли. [8] Существование данных двух временных рядов и , серийная ковариация определяется как , тогда серийная корреляция  

Коэффициент автокорреляции был получен с учетом 30-е годы увидели тогда наброски основных результатов в области хронологических рядов, под воздействием Китчина, Крамера, Вольда, Колмогорова, Винера и других. Эти авторы разработали теорию временных рядов, учитывая, что хронологический ряд – это реализация случайного процесса.

Соответствие между двумя подходами: временным и периодическим.

В первое время гармонический анализ был обобщен для перехода от суммы Фурье к интегралу Фурье:

1.1.2

Эта простая идея сглаживания периодограммы позволила обойти проблему, которую смог заметить Беверидж, когда он искал скрытую периодичность в каких-либо дисциплинах, кроме астрономии [9].

Синтез этих двух областей (первая, работающая с автокорреляциями во времени и вторая, занимающаяся спектром рядов) был создан в 30-х годах, одновременно в США Норбертом Винером («обобщенный гармонический анализ»,1930) и в СССР Китчином («….»,1934). Их результат выделил взаимно однозначное соответствие между функцией автоковариации стационарного процесса и его спектральной плотностью:

, где или

И если аналогия между автокоррелограммой и спектральной плотностью существует с точки зрения теории, то возможно выделить даже вид отношения между эмпирическими автокорреляцией и периодограммой [10].

Модели ARMA, ARIMA и SARIMA: линейные модели

Модели ARMA – это смесь двух моделей авторегрессии, предложенных Юлем и Слуцким.

1) , где  «белый шум», процесс, некоррелированный со своим прошлым)

2)

Процесс  – это процесс ARMA(p,q), если существует «белый шум»  (говоря о стационарном процессе, таком, что  и  независимы для всех  и ), такой что

1.1.3

для всех t.

При некоторых условиях этот процесс стационарен. Как мы это увидим далее, этот процесс может описываться уравнением:

1.1.4

где  и , L представляет оператор задержки, в том смысле, что и с условием , : ряд такой, что  есть ряд  опаздывающий на p периодов [11].

Параллельно, говорят, что нестационарный процесс является интегрированным порядка 1, если дифференцировать его один раз, получаем стационарный процесс:  (не стационарный) будем называть интегрированным порядка 1, если процесс  определяемый как  стационарен. [6] Говорят, для расширения, что  интегрированный порядка d, если не стационарный, …, , где не стационарный, и  где , стационарный. Тогда назовем процессом ARIMA(p,d,q) процесс  описываемый уравнением 

1.1.5

где  – «белый шум».

Для реальных данных, записывают, что  или 3 (максимум). Это значит, что  определяется, как отклонение порядка d процесса , soit следует за процессом ARMA(p,q).

Говорят о присутствии единичного корня: 1 есть также корень полинома авторегрессии П(z). Для обобщения можно считать случай, где  это корень полинома авторегрессии: это значит, что . Тогда говорят, что в нём присутствует один сезонный единичный корень, который сгенерирует процесс SARIMA [12].

Интегрированные модели широко представлены в экономических рядах, например, в рядах индексов фондовых рынков, производства, цен… Модели SARIMA также широко представлены, начиная от таких, как очень сезонные ряды (с сильной периодичностью триместровой, годовой и др.)

Примечание:

Среди обычных изменений переменных, изменения  является одним из наиболее используемых: тогда считают более грубый ряд , но изменения (грубые)  В случае, где  – цена (например, индекс фондового рынка С АС40 или SP500), также часто рассматривают переменную полученную как разницу логарифмов цены тогда как доход или темп роста [12].

Модели ARCH - стохастическая волатильность.

В 80-х были сделаны открытия в изучении нелинейности некоторых рядов и их моделировании. В 1982 году Энгль ввёл класс моделей ARCH. Эти модели были введены, чтобы уравнять эмпирические наблюдения, которые не были включены в модель: условная волатильность ряда  не имеет никаких причин быть постоянной. В модели AR(1) условная дисперсия sachant  постоянна. , где  (понятие гомоскедастичности). Энгль искал модель, в которой условная дисперсия sachant  зависела бы от , и более детально, . Для этого он рассматривал модели в форме

1.1.6

Этот класс моделей, названный ARCH (1), был обобщен в форме ARCH (p).

1.1.7

Эта форма записи для  позволила провести аналогию между моделями AR и моделями ARCH. Более того, этот класс моделей ARCH был обобщён таким же образом, как и ARMA обобщают AR, рассматривая функцию  в форме

1.1.8

создавая таким образом процесс GARCH.

Процессы с длинной памятью

Другие предположения были сделаны на длинной памяти некоторых рядов. Стационарные процессы типа AR имеют автокоррелограмму, которая сходится к 0 экспоненциально (. Процессы с длинной памятью будут характеризоваться убыванием их автокоррелограммы, следующей за функцией интенсивности  [12]

Большинство классов процессов принадлежат этому ряду,

(i)          Самоподобные процессы, введённые Колмогоровым в 1958 году и развитые Мандельбротом (1965): эти процессы характеризуются существованием константы H, такой, что для любой константы с, распределение  было бы равно распределению Относят в этот класс процессы Леви [5].

(ii) Процессы FARIMA, обобщение моделей ARIMA, описанных Боксом и Дженкинсом. Эти модели ARIMA были получены, учитывая, что первая разница  следует из процесса ARMA(p,q). Его называют интегрированным процессом ARMA. [8] Процессы FARIMA, были получены, учитывая, формально, случай, где d не целое, заключенное между -0,5 и 0,5. Это обобщение, предложенное Грангером в 1980, основывается на манипуляциях с рядами операторов запаздывания (L), и на разложении в степенной ряд

(iii) Агрегация процессов AR(1) также была предложена Грангером в 1980 и этот класс процессов был изучен Гурьеру и Гонсалесом в 1988. Считаем процесс верным для всех