Исследование распространения СВЧ электромагнитных волн в волноводах

 

В физических исследованиях свойств различных сред широкое распространение получили волновые процессы. Для электромагнитных волн СВЧ диапазона особенно часто используются волноводные методы измерений характеристик волнового процесса, при которых особым элементом является полый волновод. Теория распространения электромагнитных волн в волноводах (особенно в полых) к настоящему времени развита достаточно хорошо, и подробно изложены различные методики рассмотрения как в специальной литературе, так и в учебной. Можно указать три направления таких рассмотрений.

Первое из них основывается на использовании уравнений электромагнитного поля. При этом, фактически, решается волновое уравнение с заданными граничными условиями на стенках волновода.

При втором подходе используются "лучевые" представления и, как результат, рассматривается интерференция волн при многократных отражениях от стенок волновода, причем электромагнитное поле представляется в виде неоднородных стоячих или бегущих волн.

Третий подход относится к методу эквивалентных электрических цепей, где основными характеристиками являются электрические токи и напряжения.

Остановимся на втором подходе, рекомендуя первый рассмотреть самостоятельно. Будем рассматривать полый волновод с проводящими стенками прямоугольного сечения (с размерами ). По этому волноводу (вдоль оси ) может распространяться СВЧ волна. Наличие проводящих стенок  приводит к тому, что в таком волноводе будут распространяться без затухания лишь волны определенных частот.

Волны в волноводе можно принципиально разделить на два типа в соответствии с их поляризацией. Принято говорить о Н -типе волны, если в направлении оси волновода (ось ) отлична от нуля лишь магнитная компонента поля  и о Е -типе, если в этом направлении имеется лишь компонента поля E. Волны Е и Н -типов в обозначениях выделяются двумя индексами, например i и j (, ). Эти индексы указывают на числа полуволн, укладывающихся по поперечным размерам волновода: i - по стороне “ a ” и j -по стороне “ b ”. Целочисленность индексов i, j отражает следующую физическую картину распространения волн в волноводе. Распространяющиеся волны в волноводе всегда полупоперечные; амплитуды напряжённостей полей E и H по сечению волновода, перпендикулярному оси z соответствуют полям стоячей волны, порожденной отражением от стенок волновода. Например, волна , которую будем рассматривать в дальнейшем, имеет следующую картину распределения полей (рис.1): все компоненты поля лежат в плоскостях x, y. Вектора поля  имеют во всем пространстве только компоненты , причем распределение их по оси х соответствует уравнению:

.                              (1)

Значения Е не зависят от координаты у. Это следует интерпретировать как образование стоячей волны при отражении поля только от стенок  с длиной волны . (Отсюда индексы в обозначении i =1, j =0).

Образование распространяющейся по волноводу волны  удобно рассмотреть как результат многократного отражения поля от стенок () при наклонном падении волны на стенки. Система отражённых от стенок волн эквивалентна двум волнам с волновыми векторами  и  (рис.2), так что поле волны в волноводе будет определяться соотношением:

.

Рис.1 Структура электромагнитного поля в волноводе.

 

Рис. 2.Отражение волн от стенок волновода.

 

 

Полагая, что

,

получим

.

или

.                                 (2)

Волна  будет распространяться без затухания вдоль волновода (вдоль оси z), если на стенках волновода () поле  волны будет равным нулю, что равносильно условию:

,                                      (3)

где n = 1,2,3,… Вводя волноводную длину волны , с учетом того, что , будем иметь:

,                                   (4)

где  - длина волны в свободном пространстве.

Соотношение (4) позволяет представить зависимость волноводной длины волны от частоты ν в виде

                                   (5)

 

Дисперсионное уравнение.

Дисперсионное уравнение определяет связь циклической частоты  с волновым числом . Эту зависимость можно получить из (4) в виде:

,                                          (6)

где с - скорость электромагнитной волны в вакууме.

Дисперсионное уравнение (6) позволяет найти фазовую и групповую скорости волны в волноводе.

Фазовая скорость:

                                      (7)

Групповая скорость:

                                     (8)

Из (7) и (8) следует . Соотношения (7), (8), (4) и (6) определяют частотные зависимости  (рис.3).

 

Рис. 3.Частотные зависимости фазовой, групповой скорости и длины волны в волноводе.

Распространение волны в волноводе ограничено по частоте снизу, т.е. существует критическая частота . Волна с частотой ниже критической распространяться в волноводе не будет. Эта частота соответствует условию: . При критической частоте фазовая скорость обращается в бесконечность, а групповая в нуль. Эти особенности распространения волн в волноводе хорошо подтверждаются в эксперименте.

 

Экспериментальные исследования распространения волн в волноводе.

Исследование распространения волн в волноводе проводится на установке с использованием волноводной измерительной линии. Схема установки приведена на рис.4.

1. Исследование волны в пустом волноводе.

В этих исследованиях используется волновод самой измерительной линии, замкнутый с одной стороны накоротко, а с другой соединенный согласованно с генератором (от этого соединения нет отражения волны). Для замыкания волновода линии накоротко отражатель (8) ставится в положение (О). Поскольку линия согласована с генератором, в ней образуется стоячая волна при любых (выше критических) частотах. При перемещении зонда линии исследуется поле стоячей волны в волноводе и определяется длина волны . Проведя измерения  на различных частотах, можно проверить соотношение (5), при n = 1:

                                             (9)

 

1 - генератор СВЧ, 2 - измерительная линия, 3 - зонд линии, 4 - СВЧ-диод зонда, 5 -усилитель, 6 - индикатор, 7 - волновод, заполненный диэлектриком, 8 - отражатель СВЧ волны, 9 - шкала перемещения отражателя

Рис. 4. Принципиальная схема экспериментальной установки.

Для определения поля стоячей волны в волноводе рассмотрим интерференцию двух встречных волн

.                                                     (10)

Поскольку в плоскости z = 0 находится металлический отражатель, то A = - B и

.                                                               (11)

Переходя к тригонометрическим функциям, получим

                                                               (12)

Индикатором поля  в измерительной линии является ток зонда линии (см. описание измерительной линии). При квадратичном детектировании ,откуда

                                                                 (13)

Соотношение (13) позволяет измерить , т.к. согласно ему чередование максимумов и минимумов тока следует через промежутки .

2. Исследование волны в волноводе, заполненном диэлектриком.

Для исследования волны в волноводе, заполненном диэлектриком, используем ту же установку (рис.4). Волноводная линия будет играть роль индикатора образования стоячей волны в отрезке волновода (7) при перемещении рефлектора (8). Поскольку в этом случае линия нагружена не на отражатель, а на отрезок волновода с диэлектриком, то коэффициент отражения не будет равен минус единице, а определяется соотношением:

,                                                                (14)

где  - удельное волновое сопротивление волновода линии

,                                               (15)

где  - магнитные проницаемости среды и вакуума соответственно,  – удельное сопротивление отрезка волновода длиной l.

                                                  (16)

(значком + отмечены величины, относящиеся к диэлектрику.)

Волновое число волны в волноводе (7)  определяет длину волны в нем .

Длина волны  связана с длиной волны в неограниченном диэлектрике  тем же соотношением (4) при n =1.

Поскольку , где  - диэлектрическая проницаемость диэлектрика, то

                                                  (17)

Это соотношение позволяет рассчитать при различных частотах по измерениям .

Для пояснения метода измерения  рассмотрим поле волны в линии для случая, когда линия нагружена на отрезок волновода длиной l, заполненного диэлектриком. В этом случае вместо (10) будем иметь

                                             (18)

С учетом (14), переходя к тригонометрическим функциям, получим:

.                                       (19)

Если выбрать положение зонда так, чтобы  (это соответствует положению минимума в закороченной линии), то

.                                                     (20)

С учетом (16), изменение напряженности поля  в выбранной точке линии при изменении толщины диэлектрика l будет определяться соотношением

.                                                              (21)

Ток зонда при этом будет определяться выражением:

.                                             (22)

При изменении толщины диэлектрика ток зонда в соответствии с (22) будет проходить через максимумы и минимумы. Чередование максимумов (минимумов) будет происходить через , что и позволяет в этом методе измерять . Величина максимума тока из (22) оказывается равна бесконечности. Это следует из-за пренебрежения поглощением волны в диэлектрике. Если учесть поглощение, то величина тока в максимуме будет конечной.

 

Задание.

1. Ознакомиться с техническими описаниями приборов, входящих в лабораторную установку и разобраться в работе установки в целом.

2. Исследовать зависимость распределения электрического поля в волноводе измерительной линии. При "нулевом" положении отражателя (режим закороченной линии) определяется зависимость тока зонда от его координаты в линии.

3. Рассчитать длину волны   в пустом волноводе для 8÷10 различных значений частот в диапазоне 8000-9500 МГц. Построить график зависимости длины волны  от частоты .

4. Исследовать зависимость тока зонда от изменения толщины диэлектрика l в измерительной ячейке .

5. Определить длину волны в волноводе, заполненном диэлектриком на различных частотах и рассчитать диэлектрическую проницаемость в соответствии с (17).

6. Оценить критическую частоту и длину волны для волновода, используемого в эксперименте.

 

Литература.

1.Виноградова, М.Б. Теория волн [Текст] / М.Б.Виноградова, О.В. Руденко, А.П. Сухоруков. - М.: Наука, 1979.

2.Пейн, Г. Физика колебаний и волн [Текст] / Г.Пейн. - М.:Мир, 1979.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 13