Раздел 1. Основы работы с математическим пакетом

Кафедра информатики

 

 

Семенова Т.И., Шакин В.Н.

 

Математический пакет Scilab

Лабораторный практикум

Для студентов по направлению подготовки

 

11.03.02– «Инфокоммуникационные технологии
и системы связи»

Москва, 2017 г.

Оглавление

Введение……………………………………………………. 4

Раздел 1. Основы работы с математическим пакетом

Scilab ………………………………………………………………… 5

Тема 1.1. Элементы рабочей среды Scilab ……..…………………….5

1.1.1. Элементы рабочей среды Scilab и простейшие

вычисления…………………………………………………. 5

1.1.2. Основные объекты системы Scilab………………………. 15

1.1.3. Лабораторная работа ………….……………………………25

1.1.4. Контрольные вопросы ….…………………………………..27

 

Тема 1.2. Вектора, матрицы и построение графиков

            в системе Scilab ………………..……………………………. 28

                  1.2.1. Вектора и матрицы……………………………………… 28

                  1.2.2. Построение графиков и визуализация вычислений

                            в системе Scilab……………………………..……………. 37

                  1.2.3. Лабораторная работа …………..………………..………..48

                  1.2.4. Контрольные вопросы ………………………………….....51

Тема 1.3. Средства алгоритмизации и программирования

в Scilab ………………………………………………………….…..…….52

1.3.1. Основные понятия и средства программированиям

в Scilab………………………………………………..…….……. 52

1.3.2. Описание и работа с sce-сценариями………..…………….55

1.3.3. Описание и работа с sce-функциями………..……………..58

1.3.4. Основные операторы sce-языка и программирование

     в Scilab ………………………………………………………62

1.3.5. Примеры решения задач средствами Scilab…………….. 74

1.3.6. Лабораторная работа ……………………………………… 79

1.3.7. Контрольные вопросы ……………………………………. 83

 

Раздел 2. Технология решения вычислительных

задач средствами Scilab …………………………………………….84

Тема 2.1. Решение нелинейных уравнений………………………... 84

2.1.1. Численное решение нелинейных уравнений………………84

2.1.2. Лабораторная работа …………………………….…….…...90

2.1.3. Контрольные вопросы ……………………………………...91

 

Тема 2.2. Технология аппроксимации и интерполяции

функций в среде пакета Scilab ……………………….………………...92

2.2.1.Аппроксимация и интерполяция функций…………………92

2.2.2. Лабораторная работа …………………………………...….99

2.2.3. Контрольные вопросы ………………..…………………...101

Тема 2.3. Технология интегрирования в среде Scilab ……………102

2.3.1. Вычисление неопределенных и определенных интегралов……………………..…………………………………102

2.3.2. Лабораторная работа ………………...………………….105

2.3.3. Контрольные вопросы…………….………………………107

 

Тема 2.4. Технология решения обыкновенных дифференциальных уравнений……..……………………………………………………….. 108

2.4.1. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений………………………………………………….……..108

2.4.2. Лабораторная работа ………………………………….....113

2.4.3. Контрольные вопросы ………………………………….. 115

 

Тема 2.5. Технология решения задач одномерной            оптимизации………………………………………………………….. 116

2.5.1. Решение задач одномерной оптимизации функций……116

2.5.2. Лабораторная работа ………………….…………………120

2.5.3. Контрольные вопросы ……………………………………121

 

Тема 2.6. Технология решения задач многомерной

оптимизации …………………….…………………………………… 122

2.6.1. Решение задач многомерной оптимизации функций…..122

2.6.2. Лабораторная работа …….…………………...…………..126

2.6.3. Контрольные вопросы …………………….……………...128

 

Список литературы ………………………………………………….. 128

 

 

 

Введение

 

Возрастающий объем задач требует автоматизации их решения. В этой связи становится весьма актуальным применение для их решения функциональных программных средств. К их числу относятся математические пакеты Matlab, MathCad, Mathematica, Scilab и др. Все они содержат необходимый набор методов решения математических задач, а также средства для визуализации и отображения полученных результатов. Наиболее известным и популярным среди вышеперечисленных программных средств является математический пакет Matlab. Он позволяет производить технические вычисления различной сложности, содержит одноименный язык программирования, предоставляет большое количество функций анализа данных, связанных практически со всеми областями математики и большинством операционных систем. Однако данный пакет является коммерческим. Разумеется, этот факт затрудняет широкое использование пакета Matlab. Но существуют свободно распространяемые альтернативы данного пакета, например, программная система Scilab. Версии Scilab существуют для различных операционных систем: для ОС Linux, ОС семейства Windows (в том числе и для MS WindowsVista) и даже для MacOS. Последнюю версию пакета (Scilab 6.0) можно скачать на официальном сайте программы www.scilab.org.

Scilab – это система компьютерной математики, являющаяся самым полным аналогом пакета Matlab, предназначенная для выполнения научных и инженерных вычислений. Scilab во многом уступает пакету Matlab, но возможности этого пакета вполне достаточны для его использования в учебном процессе при изучении методов вычислительной математики. Так, например, в системе Scilab реализованы следующие методы решения вычислительных задач: задачи линейной алгебры; методы решения нелинейных уравнений и систем уравнений; обработка экспериментальных данных; задачи оптимизации; интегрирование и дифференцирование; решение обыкновенные дифференциальных уравнений и их систем. Кроме того Scilab позволяет работать с большим числом специальных функций (Бесселя, Неймана и т.д.), имеет средства для построения и работы с графиками, а для выполнения численных расчётов могут использоваться библиотеки Lapack, LINPACK, Atlas и другие.

Для решения нестандартных задач в Scilab имеется встроенный объектно-ориентированный язык программирования, sci-язык, с помощью которого пользователь может создавать свое визуальное приложение в виде отдельной программы. Кроме того, в состав Scilab входит утилита, осуществляющая конвертирование документов из Matlab в Scilab, что немаловажно при разработке программ в системе Scilab, использующих готовые модули пакета Matlab.

Рассмотрим некоторые возможности пакета Scilab, используемые при решении задач численными методами.

Раздел 1. Основы работы с
математическим пакетом Scilab

Тема 1.1. Элементы рабочей среды Scilab

1.1.1. Элементы рабочей среды Scilab

1.1.2. Основные объекты системы Scilab

1.1.3. Лабораторная работа по теме

1.1.4. Контрольные вопросы по теме

 

E -7, 0.89 e 12.

Причем числа могут быть как действительными, так и комплексными. Комплексные числа содержат действительные и мнимые части. В Scilab мнимая часть имеет множитель i, означающий корень квадратный из -1. Например,

 

3 i,  3+5 i,  - i 8,  0.05*% e - 0.006 i

Числовая константа  – это предварительно определенное число (числовое значение). Числа (например, 1, -5, 3.97) являются безымянными числовыми константами.

 

Системные константы (табл. 1.1.2-1) – это такие константы, значения которых задаются системой при загрузке, но при необходимости их можно переопределить. Имена системных констант начинаются с символа %.      

 

                                                                                   Таблица1.1.2-1

Константа	Назначение
%i	Мнимая единица.
%pi	Число π=3.1415926…
% e	Числоe =2. 141592653589793
%eps	Условный ноль %eps= 2.220Е-16
% inf	Значение машинной бесконечности.
ans	Переменная,хранящая результат последней операции.
%NaN	Указание на нечисловой характер данных (Not - a - Number)

 

Переменные – это объекты имеющие имена. Они способны хранить некоторые, разные по значению, данные. В зависимости от этих данных, переменные могут быть числовыми или символьными, векторными или матричными. Имена переменных (идентификаторы) задаются по следующим правилам:

· имя переменной может состоять из букв латинского алфавита (верхнего и нижнего регистра) и цифр;

· имя переменной не может начинаться с цифры, но может начинаться с символов '%', '_', '#', '!', '$', '?';

· в имя переменной не входит пробел;

· имя переменной не должно совпадать с именами других переменных, функций, то есть должно быть уникальными;

· желательно использовать содержательные имена для обозначения переменных.

 

В оперативной памяти компьютера переменные занимают определенное количество байтов. Как известно эта область называется Обозреватель переменных. По умолчанию все числовые данные хранятся и выводятся на экран в формате double, что соответствует при выводе на экран format (16). Для выводазначений переменных в другом формате можно предварительно установить формат, например, format (6), в котором указывается, сколько знаков вам необходимо вывести (рис.1.1.2-1).  Число, введенное в скобках, учитывает количество значащих цифр, знак числа и десятичную точку. Если введенный формат достаточен для вывода значения переменной, то число с фиксированной точкой, иначе округляется и выводится в формате с плавающей точкой.

Рис. 1.1.2-1. Использование команды format()

Операция присваивания используется для задания переменным определенных значений и обозначается знаком равенства (=):

Имя переменной = Выражение

Арифметические операции в системе Scilab проводят вычисления, как с вещественными, так и с комплексными числами. Полный список арифметические операции приведен в табл. 1.1.2-2.

Следует обратить внимание, что в математических выражениях с операциями +, -, *,^, /, \  участвуют как вектора так и матрицы.

Гиперболические функции

s inh (), cosh (), tanh (), coth () Гиперболические синус, косинус, тангенс и котангенс s ech (), csch () Гиперболические секанс и косеканс a sinh (), acosh (), atanh (), acoth () Гиперболические арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс;

Вопросы, подлежащие изучению

 

1) Элементы основного окна Scilab.

2) Окно панели Командного окна.

3) Установка свойств среды системы Scilab.

4) Основные объекты системы Scilab.

5) Правила записи и вычисления арифметических выражений.

6) Работа с функциями пользователя, заданными в окне Командное окно.

7) Назначение окон Обозреватель переменных и Журнал команд.

 

2. Общее задание

 

1) Изучите материал Темы 1.1 (п.п. 1.1.1 – 1.1.2).

2) Выберите вариант задания формул из табл. 1.1.3-1.

3) Задайте переменным x и y допустимые числовые значения.

4) Проанализируйте информацию, возникшую в окне Обозреватель переменных.

5) Введите формулу для вычислений арифметического выражения и получите результат.

6) Измените значения исходных данных.

7) Измените формат вывода результата, выполнив команду
format (16), и произведите перерасчет значения выражения.

8) Измените формат вывода данных format (6).

9) Представьте арифметическое выражение в виде правой части функции f (x).

10) Опишите функцию f (x) с помощью оператора deff числовое значение при новом значении переменной х.

11) Опишите функцию f 1(x) с помощью оператора function.

12) Измените значение переменной y, вычислите значения выражения b и функции f 1(x).

13) Объясните, почему изменение значения y привело к изменению значения b, но не повлияло на значение функции.

14) Задайте диапазон изменения аргумента функции с шагом, позволяющим получить таблицу значений функции f (x) и f 1(x) для заданных значений аргумента (порядка 8-10 точек), выведете значения функции f(х) в выбранном интервале вначале в строку, а затем в столбец.

15) Выполните команду who_ user и проанализируйте выведенную информацию о данных.

16) Установите путь к папке, находящейся на вашей флешь-карте, для сохранения содержимого Командного окна.

17) Создайте файл в текущей папке.

18) Сохраните текст рабочего окна на внешнем носителе

19) Предоставьте результаты работы преподавателю, ответьте на поставленные вопросы.

20) Выполните команды clear и clc для очистки Рабочей среды.

21) Оформите отчет по выполненной работе.

Варианты индивидуальных заданий

 

Таблица 1.1.3-1

№	Формулы для вычислений	№	Формулы для вычислений
1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

 

 

Содержание отчета

 

1) В начале сессии введите в формате комментариев:

· название лабораторной работы;

· ФИО студента, номер группы;

· № варианта;

· индивидуальное задание.

2) Протокол вычислений (сессии) в Командном окне в соответствии с общим заданием, снабженный подробными комментариями.

 

 

1.1.4. Контрольные вопросы по теме

1) Назначение Командного окна.

2) Назначение окна Журнал команд.

3) Окно отображения информации о данных.

4) Назначение команд who, who_user, who(a).

5) Каким образом установить формат для вывода числовых значений на экран?

6) Каким образом перенести командную строку из окна Журнал команд в окно Командное окно?  

7) Каким образом установить формат для вывода числовых значений на экран?

8) Форматы числовых данных в системе Scilab.

9) Что такое системные константы?

10) Что такое символьные константы?

11) Команда объявления символьных переменных.

12) Какой символ используется для определения комментария?

13) Какая из операций .* или * является операций поэлементного умножения?

14) Какой символ предназначен для запрета вывода результата выполнения команды на экран?

15) Создание функций с помощью команды deff.

16)  Создание функции с помощью function.

Тема 1.2. Вектора, матрицы и
построение графиков в системе Scilab

1.2.1. Вектора и матрицы

1.2.2. Построение графиков и визуализация вычислений в системе Scilab

1.2.3. Лабораторная работа по теме

1.2.4. Контрольные вопросы по теме

 

Вектора и матрицы

 

Пакет Scilab построен как система, ориентированная на работу с матрицами, то есть все численные вычисления производятся в матричной форме. Даже обычные числа и переменные в Scilab рассматриваются как матрицы размера 1 x 1. К особенностям работы с массивами в Scilab относится то, что одномерный массив может быть вектором-строкой или вектором-столбцом
( рис. 1.2.1-1). 

 

Рис. 1.2.1-1.Представление данных в Scilab: переменные,
вектора (одномерные массивы) и матрицы (двумерные массивы)

 

Для определения вектора используются операция квадратные скобки (операция объединения), а элементы вектора (рис.1.2.1-2) отделяются друг от друга:

· точкой с запятой, если нужно получить вектор-столбец;

· пробелом или запятой, если нужно разместить элементы в векторе-строке.

 

Рис. 1.2.1-2. Создание вектора-строки a и вектор-столбца b

 

       Для определения длины вектора используется функция length(а), где а – имя вектора, а для операции транспонирования используется символ апостроф (') (рис.1.2.1-3).

 

 

 

Рис. 1.2.1-3. Определение длины вектора и его транспонирование

 

В следующем примере (рис. 1.2.1-4.) при описании вектора х символ двоеточие, поставленный между двумя числами, указывает, что его элементы последовательно принимают значения, начиная от первого числа (0) до последнего числа (5) с шагом 1 (по молчанию шаг равен 1). При описании вектора y использован шаг 0.5 и выведены значения элементов вектора.

 

Рис. 1.2.1-4. Способы описания векторов с постоянным шагом

           

       Для описания матрицы необходимо ввести ее имя и знак присваивания, а затем в квадратных скобках значения ее элементов. При этом значения элементов строк вводятся через запятую или пробел, а строки матрицы разделяет символ точка с запятой (;) (рис.1.2.1-5):

 

А=[v1;v2;v3 ], где v1, v2, v3 -векторы одинаковой размерности.

 

 

Рис. 1.2.1-5. Создание матрицы A (3,4) и доступ к ее элементам

 

Лабораторная работа по теме

«Вектора, матрицы и построение графиков

В системе Scilab»

 

 

Вопросы, подлежащие изучению

1) Работа с векторами и матрицами.

2) Построение графиков функций одной переменной.

3) Средства инструментальной панели графических окон.

4) Построение трехмерных изображений с использованием функций Scilab mesh(), plot3(), surf() и controur().

 

2. Общее задание

 

1) Изучите материал Темы 1.2 (п.п. 1.2.1 – 1.2.2).

2) Выберите вариант индивидуального задания из табл. 1.3.3.-1.

3) Выполните команды clear и clc для очистки окна Данных и Командного окна.

4) Опишите функцию f1(x).

5) Задайте диапазон изменения аргумента функции f1(x) и вычислить ее значения.

6) Задайте диапазон изменения аргумента функции f1(x) для построения графика.

7) Выполните команду plot() для получения графика f1(x).

8) Опишите функцию f2(x).

9) Разместите графики функций f1(x) и f2(x) в одном окне, для чего после построения графика первой функции выполнить команду mtlb _ hold (' on ').

10) Дополните графики необходимыми пояснениями: заголовок, имена осей, координатная сетка и легенда.

11) Задайте диапазоны изменения значений x и y для построения функции f3(x,y) и получите таблицы их значений.

12) Опишите функцию f3(x, y).

13) Получите таблицу значений функции f3(x,y).

14) Получите графики функции f3(x, y) с использованием команд mesh(), plot3(), surf() и controur().

15) Сохраните текст рабочего окна на внешнем носителе

16) Предоставьте результаты работы преподавателю, ответьте на поставленные вопросы.

17) Оформите отчет по выполненной работе.

 

 

Варианты индивидуальных заданий

 

    Таблица 1.3.3-1

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

 

 

Содержание отчета

 

1) В форме комментариев:

· Название лабораторной работы

· ФИО студента, номер группы

· № варианта

· Индивидуальное задание

2) Протокол вычислений (сессии) в Командном окне, снабженный соответствующими комментариями.

1.2.4. Контрольные вопросы по теме

1) Как создать вектор-строку?

2) Как создать вектор -столбец?

3) Как транспонировать вектора?

4) Какая функция служит для определения длины вектора?

5) Каким образом создать вектор с постоянным шагом?

6) Требуется ли при работе с векторами и матрицами предварительное объявление их размера?

7) Какой символ используются для разделения элементов матрицы в строке, а какой для разделения ее строк?

8) Какие команды предназначены для заполнения матрицы случайными числами, распределенными по равномерному или нормальному закону распределения?

9) Формат команд выбора минимального и максимального значения элемента матрицы.

10) Назначение команды plot ().

11) Каким образом построить в одном графическом окне несколько графиков?

12) Какой пояснительной информацией может быть снабжен график, построенный в графическом окне?

13) Для чего используется функция legend()?

14) Каково назначение функции mtlb _ hold ()?

15) Каково назначение функции meshgrid() при построении трехмерных изображений?

16) Какие типы графиков позволяют строить встроенные функции: plot (), contour(), surf() и plot3()?

 

 

  Тема 1.3. Средствами Scilab для создания и

 описания sce-файлов

 

1.3.1. Основные понятия и средства программированиям в Scilab

1.3.2. Описание и работа с sce-сценариями

1.3.3. Описание и работа с sce-функциями

1.3.4. Основные операторы sce-языка и программирование в Scilab

1.3.5. Примеры решения задач средствами Scilab

1.3.6. Лабораторная работа по теме

1.3.7. Контрольные вопросы по теме

 

1.3.1. Основные понятия и средства
программированиям в Scilab

 

Использование системы Scilab только в режиме непосредственного расчета (в командном режиме) явно недостаточно для решения серьезных задач, поскольку, во-первых, зачастую требует выполнение сложных алгоритмических процессов, а, во-вторых, необходим механизм хранения в библиотеках тексты команд и операторов системы Scilab. То есть необходима средства, какие есть в языках программирования высокого уровня.

Такие средства в Scilab существует. Они состоят из так называемых sce -файлов и средств, их создания и отладки – р едактора программного кода SciNotes. Sce -файлы представляют собой текстовые файлы, которые могут хранится в файлах с расширением sce ( или sci). Расширение sci предназначено для хранения информации в двоичном формате.   

Если вспомнить технологию процедурного программирования, то sce -файлы фактически являются процедурами системы Scilab. S ce -файлы могут состоят из следующих элементов ( средств языка программированияScilab ):

· данные различного типа;

· константы и переменные;

· операции;

· системные команды и функции;

· функции пользователя;

· оператор присваивания и управляющие операторы;

· системные операторы и функции;

· средства работы с файлами данных;

· средства расширения языка.

 

Программирование инженерных задач в среде Scilab очень напоминает программирование на универсальных языках программирования. Однако поскольку в Scilab можно использовать не только выражения над структурированными данным (например, массивами) но и системные команды и функции, то система программирования Scilab является еще и мощной программной системой.

Для создания нового sce -файла окно Редактора можно открыть путем активизации инструмента SciNotes (рис. 1.1.1-1), а для редактирования существующих файлов инструментом Открыть или двойным щелчком мышки по имени существующего sce -файла. (1.3.1-1).

 

 

Рис. 1.3.1-1. Рабочая среда Редактора для создания sce-файла

 

    При активной вкладке SciNotes инструменты инструментальной панели позволяют открывать, сохранять, редактировать, запускать и осуществлять отладку sce -файлов.

Эти инструменты разбиты на следующие категории:

· Файл – категория, включающая инструменты, которые позволяют создавать новые наборы команд и программы, и сохранять их в файлах; открывать существующие наборы команд и программ и загружать их из файлов; создавать различные объекты Scilab, осуществлять поиск файлов различных типов т.д.

· Edit – категория, включающая инструменты, которые позволяют работать с текстом sce -файла в окне редактора: вставлять в текст sce -файлов различные элементы; превратить в комментарий текущую строку или вернуть ее к исходному виду; уменьшить или увеличить отступы текущей строки или нескольких выделенных строк на заданное число позиций влево или вправо; выполнить интеллектуальный отступ.

· Формат – категория, включающая инструменты, которые позволяют осуществить форматирование документа: сделать или удалить отступ, удалить пробелы в конце строки, сменить регистр, добавить или удалить комментарий, заменить одинарные кавычки на двойные.

· Настройка – категория, включающая инструменты по текущей кодировки файла, настройке шрифтов, цвета и др.

· Окно - категория, включающая инструменты копирования (или отделения) вкладки в новое окно, включение или отключение разделителя на две колонки и др.

· Выполнить – категория, включающая инструменты, которые позволяют выполнить sce-файл и сохранить в текущий каталог, а также выполнять выделенную часть файла.

 

В Scilab существует два типа sce -файлов: файл-сценарии и sce - функции.

   Файл-сценарий представляет собой последовательность команд и функции Scilab (без входных и выходных параметров), которые оперируют данными из Рабочей области, причем результаты выполнения сценария доступны Рабочей области и могут быть использованы для дальнейших вычислений.

    Sc e -функции – это функции Scilab, аналогичные функциям (а точнее процедурам) языков программирования высокого уровня, таких как C++,C# и VB, которые могут иметь как входные, так и выходные параметры, а также локальные переменные и глобальные переменные.

 

 

Endfunction

 

Начинается sce -функция с заголовка function, затем в квадратных скобках через запятую указывается имена выходных параметров, далее f _name – имя функции, а затем в круглых скобках - список входных параметров функции. Имена функций должны быть уникальными. Заканчивается sce -функция командой endfunction или просто end.

Sci -функция может быть вызвана из выражений, расположенных в Командном окне или в других программных модулях:

 

f _name ( список_параметров )

 

Между собой sce -функции общаются посредством своего имени и входных и выходных параметров. Конструкция

 

v а ri = выражение

приведенная в общей структуре sce -функции, используется, если требуется, чтобы функция возвращала результаты вычислений.

Поскольку sce -функции может иметь не один, а несколько выходных параметров, то она во многом напоминает процедуру. Поэтому ее нельзя использовать непосредственно в математических выражениях. Если функция, имеющая несколько выходных параметров, используется как функция, имеющая единственный выходной параметр, то для возврата значения будет использоваться первый из них. Это зачастую ведет к ошибкам в математических вычислениях. Поэтому обращение к sce -функции с несколькими выходными параметрами должно иметь вид:

 

[ var1,var2,... ] = f_nаmе(Список_параметров)

Создадим простейшую sce -функцию с двумя входными и одним выходным аргументами  (рис. 1.3.3- 2).

 

Рис. 1.3.3- 2. Описание sce -функции с одним выходным параметром

 

Сохраним функцию в файле, отметив, что Scilab предлагает в качестве имени sce -функции название самой функции, т.е. fab. Для вызова функции в Командном окне следует выполнить команду exec (указа, имя файла) (рис.1.3.3-3). Теперь можно выполнять обращение к функции, показанное также на рис.1.3.3-3.

 

 

Рис. 1.3.3-3. Обращение к sce-функции fab (a, h, i)

 

Else

ЛогическоеВыражение3

E nd

Правила записи логических выражений описано в Теме1.1.

 Эта структура допускает несколько частных вариантов. Простейший – усеченное разветвление, имеет следующий вид:

 

i f ЛогическоеВыражение

  Инструкции

E nd

Напомним, что если ЛогическоеВыражение T (то есть «Истина»), то выполняются Инструкции, составляющие тело структуры if...end. При этом оператор end указывает на конец перечня инструкций. Инструкции в списке разделяются запятая или точка с запя