Тема. Олигополия и монополистическая конкуренция

43. На рынке действуют две фирмы. Функция издержек для фирмы 1: ТС(q₁) = 2 × q_1, и для фирмы 2: ТС(q₂) = q₂². Обратная функция рыночного спроса описывается уравнением: P(Q) = 250 – 4 × Q, где Q = q₁ + q₂. Определите объёмы выпуска фирм в равновесии Курно, максимизирующие их прибыли. Какой в этом случае будет рыночная цена? Какую прибыль получит каждая фирма?

Решение:

Подставим общий выпуск двух фирм Q = q₁ + q₂ в формулу отраслевого спроса, получим: P(Q) = 250 – 4 × (q₁ + q₂)

Распишем прибыли олигополистов:

П₁ = TR₁ – TC₁ = P × q₁ – 2 × q₁ = (250 – 4 × (q₁ + q₂)) × q₁ – 2 × q₁ =

= 250 × q₁ – 4 × q₁2 – 4 × q₁ × q₂ – 2 × q₁ =

=248 × q₁ – 4 × q₁² – 4 × q₁ × q₂

П₂ = TR₂ – TC₂ = P × q₂ – q₂² = (250 – 4 × (q₁ + q₂)) × q₂ – q₂² =

= 250 × q₂ – 4 × q₂² – 4 × q₁ × q₂ – q₂² =

=250 × q₂ – 5 × q₂² – 4 × q₁ × q₂

Каждая фирма стремится к максимуму прибыли.

Найдём максимум функций прибыли. Для этого приравняем к нулю первые производные полученных функций и найдём оптимальный объём выпуска:

П₁' = 248 – 8 × q₁ – 4 × q₂ = 0

П₂' = 250 – 10 × q₂ – 4 × q₁= 0

Уравнение реакции для 1 фирмы: q₁ = 31 – 0,5 × q₂

Уравнение реакции для 2 фирмы: q₂ = 25 – 0,4 × q₁

Точка пересечения этих линий определяет рыночное равновесие для монополистов.

Решив систему из двух уравнений реакции дуополистов, получим равновесные значения выпуска для первой и второй фирмы.

q*₁ = 23,125

q*₂ = 15,75

Подставив равновесные значения q*₁ и q*₂ в функцию отраслевого спроса

P(Q) = 250 – 4 × (q₁ + q₂),

найдём цену равновесия.

Р = 250 – 4 × 23,125 – 4 × 15,75 = 94,5

Рассчитаем прибыль каждой фирмы в отдельности:

П₁ = 94,5 × 23,125 – 2 × 23,125 = 2139,06

П₂ = 94,5 × 15,75 – 15,75² = 1240,31

44. На рынке действуют две фирмы. Функция издержек для фирмы 1: ТС(q₁) = 2 × q_1, и для фирмы 2: ТС(q₂) = q₂². Обратная функция рыночного спроса описывается уравнением: P(Q) = 250 – 4 × Q, где Q = q₁ + q₂. Какая установится цена в соответствии с картельным соглашением?

 

Решение

Если обе фирмы объединятся в картель, то их общая прибыль будет определяться по формуле:

Пk = TRk – TCk = (250 – 4 × q₁ – 4 × q₂) × (q₁ + q₂) – 2 × q₁ – q₂² =

= 248 × q₁ – 4 × q₁2 – 8 × q₁ × q₂ + 250 × q₂ – 5 × q₂²

Рассчитаем частные производные прибыли по аргументу q₁ и по аргументу q₂:

П_q1' = 248 – 8 × q₁ – 8 × q₂ = 0,

П_q2' = – 8 × q₁ + 250 – 10 × q₂ = 0.

Решим эту систему уравнений. Вычтем из второго уравнения первое и получим:

2 – 2 × q₂ = 0.

q₂ = 1,

q₁ = 30,

Q = 31,

P = 250 – 4 × 31 = 126,

Прибыль картеля при этом:

Пk = (250 – 4 × 30 – 4 × 1) × 31 – 2 × 30 – 1² = 3 845

 

45. На олигополистическом рынке действует фирма-лидер, которая имеет функцию затрат

ТС = Q² + 3Q. Функция рыночного спроса: Р = 90 - Q. Остальные фирмы могут поставить по цене лидера количество продукции, равное 45.

Определите выпуск и цену лидера.

Решение

 

По условию задачи отраслевой спрос описывается функцией

Р = 90 – Q,

где

Р – рыночная цена, устанавливаемая доминирующей фирмой.

Перепишем эту функцию в виде:

Q = 90 – P_L

Каждая фирма из конкурентного окружения ведет себя как совершенный конкурент, то есть ориентируется на цену, назначаемую фирмой-лидером. Условием максимизации прибыли для них служит равенство:

МС = P_L

При этом остальные фирмы выпускают объём производства равный по условию 45.

В свою очередь, доминирующая фирма покрывает остаточный спрос по цене P_L после выпуска объёма производства конкурентным окружением. Доминирующая фирма определяет свой остаточный спрос, по отношению к которому является монополистом, то есть в пределах остаточного спроса она максимизирует свою прибыль в точке равенства предельного дохода предельным издержкам:

MR_L = MC_L

Остаточный спрос доминирующей фирмы можно найти путём вычитания из общего рыночного спроса общего предложения фирм-аутсайдеров:

Q_L = D(P) – Sf для каждого уровня рыночной цены.

Q_L = 90 – P_L – 45 = 45 – P_L

Функция общей выручки фирмы лидера будет иметь вид:

TR_L = P_L × Q_L

TR_L = (45 – Q_L) × Q_L =45 × Q_L – Q_L²

Функции предельной выручки и предельных издержек фирмы лидера соответственно будут иметь вид:

MR_L = 45 – 2 Q_L

MC_L = (ТС_L)’ = (Q² + 3Q)’ = 2 Q_L + 3

45 – 2 Q_L = 2 Q_L + 3

42 = 4 Q_L

Q_L = 10,5 – объём выпуска фирмы-лидера.

P_L = 45 – 10,5 = 34,5 – цена фирмы-лидера.

46. Рынок имеет функцию обратного спроса Ц = 100 – 2К и четыре фирмы, постоянные предельные издержки каждой из которых равны 20. Фирмы образуют максимизирующую прибыль картель и согласны действовать при условии, что каждая фирма будет производить то же самое количество продукции. Сколько производит каждая фирма?

 

47. Определите равновесие Нэш-Курно однородной дуополии, если функция спрос имеет вид Q = 1000 - 1000р и предельные издержки каждой фирмы составляет 0,28 манат за единицу? (Подсказка: начать с определение обратной функции рыночного спроса.)

 

48. Предположим, что идентичные фирмы дуополии имеют постоянные предельные издержки в размере 10 манат. Функция спроса фирмы 1 имеет вид q₁ = 100 - 2p₁ + p₂, где q₁ - это выпуск фирмы 1, p₁ - цена фирмы 1 и p₂ – цена фирмы 2. Функция спроса фирмы 2 имеет вид q₂ = 100 - 2p₂ + p₁. Определите равновесие по Нэшу-Бертрану.

 

Тема. Strategies over time

49. На рынке действуют две фирмы. Функция издержек для фирмы 1: ТС(q₁) = 2 × q_1, и для фирмы 2: ТС(q₂) = q₂². Обратная функция рыночного спроса описывается уравнением: P(Q) = 250 – 4 × Q, где Q = q₁ + q₂. Определите параметры рыночного равновесия по Штакельбергу. Какую прибыль получит каждая фирма?

Решение

Пусть фирма 1 выступает в роли лидера, а фирма 2 - в роли последователя. Тогда прибыль первой фирмы с учётом уравнения реакции фирмы 2 будет равна:

П₁ = 248 × q₁ – 4 × q₁² – 4 × q₁ × (25 – 0,4 × q₁) = 148 × q₁ – 2,4 × q₁²

Она достигает максимума при

П₁' = 0

148 – 4,8 × q₁ = 0

q₁ = 30,83

При этом выпуск второй фирмы станет равным:

q₂ = 25 – 0,4 × 30,83 = 12,668,

Р = 250 - 4 × 30,83 - 4 × 12,67 = 76,

П₁ = 76 × 30,83 - 2 × 30,83 = 2281,42,

П₂ = 76 × 12,67 - 12,672 = 802,39.

Таким образом, в результате пассивного поведения фирмы 2 её прибыль снизилась, а фирмы 1 возросла.

В случае лидерства фирмы 2 её прибыль будет равна:

П₂ = 250 × q₂ – 5 × q₂² – 4 × (31 – 0,5 × q₂) × q₂ = 126 × q₂ – 3 × q₂²

Определим производную этой функции и приравняем её к нулю.

П₂' = 0

126 – 6 × q₂ = 0

q₂ = 21

q₁ = 31 – 0,5 × 21 = 20,5

Р = 250 - 4 × 20,5 - 4 × 21 = 84

П₁ = 84 × 20,5 - 2 × 20,5 = 1681

П₂ = 84 × 21 - 21² = 1323.

Таким образом, в результате пассивного поведения фирмы 1 её прибыль снизилась, а фирмы 2 возросла.

50. Функция рыночного спроса имеет вид Q = 1000-1000р. Каждая фирма имеет предельные издержки m = 0,28. Фирма 1 является лидером, Фирма 2 – последователем. Найдите параметры равновесия Штакельберга и прибыль

51. Будучи монополией фирма имеет прибыль 10 (миллионов) манат. После входа на рынок конкурента дуополистическую прибыль каждой фирмы составляет 3 (миллиона) манат. Предположим, что действующая фирма может побудить правительство требовать от всех фирм установки устройства контроля загрязнения, который стоят каждой фирме 4 (миллиона) манат. Должна ли действующая фирма побуждать правительство требовать устройства контроля загрязнения? ответ обоснуйте