Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2020-04-01 | 129 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема. Пусть заданные на одном и том же множестве функции и непрерывны в точке . Тогда функции , , и также непрерывны в точке (частное при условии ).
Доказательство. Поскольку и непрерывны в точке , то и . Используя теорему о пределах функций, получим:
,
,
.
Следовательно, согласно определению 1, функции , , и непрерывны в точке (частное при условии ).
Сложная функция и ее непрерывность
Последовательное применение двух или нескольких функций называется суперпозицией этих функций.
Функции, образованные в результате суперпозиции двух или нескольких функций будем называть сложными функциями. Например, сложная функция образована в результате суперпозиции функций и . Достаточно определить сложную функцию, образованную в результате суперпозиции двух функций. Определение. Пусть функция определена на некотором множестве и пусть - множество значений этой функции. Если на указанном множестве определена другая функция , то говорят, что на множестве задана сложная функция переменной
.
Теорема. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , соответствующей точке , то сложная функция непрерывна в точке .
Доказательство. В силу непрерывности функции в точке имеем: , то есть при имеем . Поэтому вследствии непрерывности функции в точке получаем , то есть . Следовательно, предел функции в точке равен ее значению в этой точке , что и доказывает непрерывность сложной функции в точке .
Обратная функция и ее непрерывность.
Определение. Функция называется неубывающей (невозрастающей) на множестве , если для любых и из этого множества, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство (). Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными.
|
Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве , если для любых и из этого множества, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство (). Убывающие и возрастающие функции называются строго монотонными.
Определение. Пусть функция задана на отрезке , и пусть множеством значений этой функции является отрезок . Пусть каждому значению из отрезка ставится в соответствие по некоторому закону единственное значение из отрезка , для которого . Тогда на отрезке можно определить функцию , ставя в соответствие каждому из отрезка , то значение из отрезка , для которого . Функция называется обратной для функции .
В этом определении вместо отрезков и можно рассматривать интервалы и или считать, что один или оба интервала превращаются в бесконечную прямую или в открытую полупрямую , .
Заметим, что если - обратная функция для функции , то функция - обратная функция для функции . Функции и называются взаимно обратными.
Взаимно обратные функции обладают следующими очевидными свойствами:
,
.
Пример. Рассмотрим на полупрямой функцию . Областью значений этой функции является полупрямая . каждому поставим в соответствие по формуле единственное значение . Тогда . Следовательно, является обратной для функции .
Пример. Рассмотрим на отрезке функцию . Областью значений этой функции является отрезок . Обозначим через угол, принадлежащий отрезку , синус которого равен . Тогда функция будет обратной к данной. Действительно, .
Заметим, что при записи обратной функции независимую переменную нередко обозначают , а значение функции , то есть пишут . Например, - функция обратная для функции . Функция - функция обратная для функции .
Теорема. Пусть на отрезке задана возрастающая (убывающая) непрерывная функция , и пусть и . Тогда эта функция имеет на отрезке () возрастающую (убывающую) непрерывную обратную функцию .
|
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!