Множества. Действительные числа

Содержание

1. Множества. Действительные числа

Понятие множества

Операции над множествами

Множество действительных чисел

Числовые последовательности

2. Функция

Понятие функции

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

3. Непрерывность функции

Непрерывность функции в точке

Арифметические операции над функциями, непрерывными в точке

Непрерывность элементарных функций

Свойства непрерывных функций

Множества. Действительные числа

Понятие множества

 

Мно́жество - один из ключевых объектов математики, в частности, теории множеств и логики. Понятие множества обычно принимается за одно из исходных аксиоматических понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит и не имеющее определения. Однако, можно дать описание множества, например в формулировке немецкого математика Георга Кантора: "Под множеством мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться элементами множества)".

С 1872 г. по 1897 г. (главным образом в 1872-1884 гг.) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор. Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unsere Anschauung order unseres Denkens (welche die ‚Elementen‘ von M genannt werden) zu einem Ganzen.

Другая формулировка принадлежит английскому математику Бертрану Расселлу (1872-1970гг.): " Множество суть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое".

Таким образом, под множеством понимается совокупность элементов (объектов) той или иной природы.

Множества обычно обозначают большими буквами латинского или другого алфавита: …, а элементы множества малыми буквами …

Если элемент  принадлежит множеству , то пишут . Если  не принадлежит множеству , то запись этого утверждения имеет вид .

множество функция непрерывная число

Множества  и  называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть равенство  означает, что одно и тоже множество обозначено разными буквами.

Существует два основных способа задания множества. Если элементы множества могут быть перечислены, то такое множество записывают в виде . Эта запись означает, что множество  состоит из элементов  и возможно еще каких-то других. Список элементов может быть и бесконечным. Например, множество  содержит четыре элемента: . Множество , где  - целое положительное число, состоит из бесконечного числа элементов. Если множество состоит из элементов , где индекс принимает значения из некоторого множества , то его записывают в виде .

Если множество  состоит из элементов, обладающих определенным свойством, то его записывают в виде , где в фигурных скобках после вертикальной черты указывают данное свойства элементов множества. Например, если множество  - это отрезок  (), то есть множество всех чисел , удовлетворяющих неравенству , то форма записи множества  имеет вид .

Пример. Запись  означает, что множество  состоит из вещественных корней квадратного уравнения , то есть .

Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Оно обозначается символом .

Множество  называется подмножеством множества , если каждый элемент множества  принадлежит множеству . В этом случае пишут . Последнюю запись можно прочитать и так: множество  заключено (содержится) в множестве .

Если  и , то каждый элемент множества  принадлежит множеству , а каждый элемент множества  принадлежит множеству . Следовательно, множества  и  состоят из одних и тех же элементов, то есть .

Операции над множествами

Пусть  и  - произвольные множества.

Объединением или суммой множеств  и  называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств  и . Объединение множеств  и  обозначается символом .

Пересечением множеств  и  называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству , Пересечение множеств  и  обозначается через .

Разностью множеств  и  называется множество , состоящее из элементов, принадлежащих множеству , но не принадлежащих множеству , то есть .

Если , то разность  называется дополнением множества  до множества  и обозначается .

Для наглядности множества нередко изображают в виде некоторой совокупности точек на плоскости. На рис.1а изображены множества  и , на рис.1б - их объединение, на рис.1в - пересечение множеств  и , на рис.1г - разность множеств  и , на рис.1д - дополнение множества до множества .

 

а)                                       б)                     в)

 

г)                       д)

Рис.1

 

Пусть задана система множеств , где значения  образуют некоторую совокупность индексов . Объединением  множеств  называется множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств . Пересечением  множеств  называется множество, каждый элемент которого принадлежит одновременно всем множествам .

Пример. Пусть , , , где  - множество натуральных чисел. Тогда

 

, , ,

, ,

, , ,

, , , , .

Логические символы

 - означает "из предложения следует предложение ";

 - означает " предложения и  равносильны, т.е. из следует  и

из  следует ;

: - означает "имеет место", "такое что";

 - (символ всеобщности) означает "для любого", "для всякого";

 - (символом существования) означает "найдется", "существует".

Например, запись  означает "для любого  найдется положительное число ".

 

Числовые последовательности

 

Определение. Если каждому натуральному числу  ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число , то совокупность занумерованных чисел  называют числовой последовательностью или просто последовательностью.

Числа  называются элементами или членами последовательности. По своему определению последовательность содержит бесконечное множество элементов. Последовательность с элементами  обозначают также { }.

Например,  - это последовательность ,

 - это последовательность 0, 2, 0, 2, …

Последовательность может быть задана с помощью формулы , которая называется формулой общего члена последовательности. Например, формула  задает последовательность

Суммой (разностью) двух последовательностей  и  называется последовательность , все элементы которой равны сумме (разности)  ().

Произведением двух последовательностей  и  называется последовательность = , частным - последовательность = , причем при определении частного нужно потребовать, чтобы все элементы последовательности  были отличны от нуля.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение. Последовательность  называется ограниченной сверху (снизу), если найдется такое вещественное число , что для всех членов последовательности справедливо неравенство  ().

Последовательность  называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. если найдутся такие вещественные числа  и , что для всех членов последовательности справедливо неравенство .

Это определение можно сформулировать по другому:

Последовательность  называется ограниченной, если найдется положительное число  такое, что для всех членов последовательности справедливо неравенство . (Здесь ).

Последовательность  называется неограниченной, если для любого положительного числа  найдется хотя бы один элемент последовательности, удовлетворяющий неравенству .

Примеры.1. = - ограниченная последовательность, так как .

. = - ограниченная последовательность, так как .

.  - неограниченная последовательность { }, так как для любого положительного числа  найдется хотя бы один элемент последовательности, удовлетворяющий неравенству .

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Определение. Последовательность  называется бесконечно большой, если для любого положительного числа  найдется номер , зависящий от , такой, что для всех номеров  справедливо неравенство .

Пример. Последовательность , то есть последовательность натуральных чисел { } является бесконечно большой, так как для любого положительного числа  найдется номер , такой, что для всех номеров  справедливо неравенство .

Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Действительно, для того, чтобы последовательность была неограниченной необходимо, чтобы для любого положительного числа  неравенство  выполнялось, хотя бы для одного элемента последовательности, но из определения бесконечно большой последовательности следует, что такими элементами являются все элементы последовательности, начиная с некоторого номера .

Обратное утверждение неверно, то есть неограниченная последовательность не всегда является бесконечно большой.

Пример. Рассмотрим последовательность 0, 2, 0, 4, …, у которой все члены с нечетными номерами равны нулю, а члены с четными номерами  равны . Поскольку для любого положительного числа  найдется натуральное число , то для четных номеров больших  справедливо неравенство . Следовательно, данная последовательность является неограниченной. Однако она не является бесконечно большой, так как, какой бы большой номер  мы не взяли, имеются члены с нечетными номерами , равные нулю, для которых неравенство  не имеет места.

Определение. Последовательность  называется бесконечно малой, если для любого положительного числа  найдется номер , зависящий от , такой, что при все элементы  этой последовательности удовлетворяют неравенству .

Пример. Показать, что последовательность  является бесконечно малой.

Пусть  - произвольное положительное число. Тогда  при всех , то есть за номер  можно принять натуральное число , где  - целая часть числа . Поскольку для произвольного числа  мы смогли определить номер  такой, что при всех  справедливо неравенство , то последовательность  - бесконечно малая.

Пример. Показать, что последовательность  является бесконечно большой, если , и бесконечно малой, если .

)   Пусть . Возьмем произвольное положительное число . Тогда , при всех . Возьмем . Тогда для всех  справедлива цепочка неравенств . Следовательно, последовательность  является бесконечно большой.

)   Если , то для любого положительного числа  и любого номера  выполняется неравенство , и последовательность  - бесконечно малая. Рассмотрим случай . В этом случае , при всех . Возьмем . Тогда при всех . Следовательно, если , то последовательность  является бесконечно малой.

Предел числовой последовательности. Сходящиеся последовательности

Определение 1. Число  называется пределом последовательности , если для любого положительного числа  найдется такой номер , зависящий от , что при  все элементы  этой последовательности удовлетворяют неравенству

 

. (1)

 

Символически это записывают так

, или  при .

Неравенство (1) означает, что, начиная с номера , все элементы последовательности находятся внутри интервала , который называют -окрестностью числа .

Согласно данному определению бесконечно малая последовательность  имеет своим пределом нуль, то есть .

Если последовательность  является бесконечно большой, то пишут . В случае бесконечно большой последовательности, все члены которой, начиная с некоторого номера положительны, говорят, что ее предел равен  и пишут . Если же все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера отрицательны, то ее предел считают равным  и пишут .

Определение 2. Число  называется пределом последовательности , если в любой -окрестности числа  находятся все элементы данной последовательности, начиная с некоторого номера.

Последнее утверждение означает, что, если число  - предел последовательности, то за пределами любой его -окрестности находится лишь конечное число элементов данной последовательности.

Определение. Последовательность  называется сходящейся, если она имеет конечный предел. Если предел не существует или равен , то последовательность называется расходящейся.

Из определения 2 следует, что последовательность расходится, если для любого числа  найдется его -окрестность, за пределами которой лежит бесконечное число элементов последовательности.

Пример 1. Рассмотрим последовательность . Покажем, что .

Пусть  - произвольное положительное число. Тогда неравенство  выполняется при всех , то есть за номер  можно принять натуральное число , где  - целая часть числа . Поскольку для произвольного числа  мы смогли определить номер  такой, что при всех  справедливо неравенство , то последовательность  сходится, а ее предел равен единице, то есть .

Пример 2. Последовательность  расходится.

Действительно, данная последовательность - это последовательность 1, 0, - 1, 0, 1, 0, - 1, … Пусть . Если, число  принадлежит интервалу , то в -окрестность этого числа попадут лишь члены последовательности, равные нулю, а бесконечное число членов, равных 1 или - 1, окажутся за пределами -окрестности. Если число  принадлежит интервалу (0,9; 1,1) или (-1,1; - 0,9), то за пределами -окрестности заведомо окажутся все нулевые члены последовательности. При всех остальных значениях числа  в его -окрестность не попадет ни одного члена последовательности. Итак какое бы число мы не взяли, для заданного найдется бесконечное число элементов последовательности, не принадлежащих -окрестности числа . Следовательно, рассматриваемая последовательность расходится.

Основные свойства сходящихся последовательностей.

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. ( Методом от противного). Предположим, что последовательность  сходится и имеет два разных предела, то есть  и , причем . Возьмем -окрестность числа а, которая не содержит b. Так как а - предел последовательности , то по определению 2 за пределами -окрестности находится лишь конечное число элементов данной последовательности и, следовательно, число b не может быть ее пределом.

Теорема 2. Если все элементы последовательности равны одному и тому же числу , то и предел такой последовательности также равен числу , то есть, если , то и .

Доказательство. Рассмотрим последовательность . Покажем, что , то есть предел последовательности равен константе . Рассмотрим любую -окрестность числа С. Все члены последовательности попадут в эту окрестность, а за ее пределами не окажется ни одного члена последовательности. Согласно определению 2 это и означает, что число С есть предел данной последовательности.

Теорема 3. Сумма, разность, произведение и частное двух сходящихся последовательностей  и  (частное при условии, что предел  отличен от нуля) есть сходящаяся последовательность, предел которой равен соответственно сумме, разности, произведению и частному пределов последовательностей  и , то есть, если

 

, , то

)   ;

)   ;

)   , .

Доказательство. Докажем свойство 1) для суммы двух сходящихся последовательностей, то есть докажем, что . Возьмем любое положительное число . Поскольку , то для положительного числа  существует номер  такой, что при всех  выполняется неравенство . Аналогично, так как  то для положительного числа  существует номер  такой, что при всех  выполняется неравенство . Обозначим . Тогда при всех  справедливо

 

.

 

Это и означает, что , что и требовалось доказать.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, то есть

, где .

Теорема 4. Сходящаяся последовательность ограничена.

Теорема 5. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.

То есть, если , а последовательность { } - ограниченная, то .

Доказательство. Пусть { } - бесконечно малая, а { } - ограниченная последовательности. Требуется доказать, что последовательность  - бесконечно малая последовательность. Так как { } - ограниченная, то существует положительное число  такое, что для всех членов последовательности справедливо неравенство . Возьмем любое положительное число . Поскольку { } - бесконечно малая, то для положительного числа  существует номер  такой, что при всех  выполняется неравенство . Тогда при всех  справедливо

 

.

 

Это означает, что последовательность  - бесконечно малая.

Пример. Последовательность  - бесконечно малая как произведение ограниченной последовательности  и бесконечно малой . Следовательно, .

Теорема 6. Если последовательность { } - бесконечно большая, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является бесконечно малой. Если все элементы бесконечно малой последовательности  не равны нулю, то последовательность  - бесконечно большая.

(Без доказательства).

Теорема 7 (о трех последовательностях). Пусть последов