Появление арифметических действий

 

Содержание курса арифметики в разные времена у разных народов было весьма различно. Индийцы, например, причисляли извлечение кубического корня к элементарным арифметическим операциям. С другой стороны, руководство профессора Пурбаха (1423-1491гг.) первого профессора Венского университета, читавшего лекции по математике, содержащий только материал, изучаемый ныне в начальной школе.

Л.Ф. Магницкий, определив арифметику или числительницу, как "художество честное, независимое и всем удобопонятное, многополезнейшее и многопохвальнейшее", рассматривает в своей книге пять "определений" или арифметических действий: "нумерацию или счисление, аддицию или сложению, субтракцию или вычитание, мультипликацию еже есть умножение и дивизио еже есть деление".

Различно было понимание того, что называется арифметическими действиями. В латинских учебниках, которыми в течение нескольких веков пользовались школы всех народов, эти действия назывались виды (действия) (от лат. species). Это наименование определения арифметических действий впервые встречается в рукописях XIII в. В XVI в. оно становится общеупотребительным и вытесняет термин часть арифметическая (от лат. рагs arthmetika). Индийские математики рассматривали шесть арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корней.

Сакробоско (XIII в) имеет их девять, как и многие авторы последующих веков: нумерация, сложение, вычитание, удвоение, умножение (деление пополам), деление, прогрессия, извлечение корней. Действие "прогрессия" рассматривало в большинстве случаев суммирование чисел натурального ряда, в редких случаях суммирование отдельно четных и нечетных чисел натурального ряда, и лишь в исключительных случаях суммирование двух простейших геометрических прогрессий 1, 2, 4, 8,... и 1, 3, 9, 27,...

Извлечение корней ограничивалось в большинстве случаев только квадратными корнями. Действие "нумерация" вошло в учебники в качестве особого арифметического действия в эпоху, когда борьба между сторонниками римского и индийского способов счисления была злободневной (XIII и XIV вв.).

Действие "удвоения" берет свое начало из Египта. Как уже указано, основные сведения о египетской математике черпаются из папируса Райнда, написанного писцом Ахмесом в эпоху 1800-1600 гг. до н.э. Он описан в главе о египетской нумерации.

Новейшие исследователи (Арчибальд, Вилейнтнер) опровергают существовавший взгляд, согласно которому египетская наука считалась чисто практической и эмпирической, задачи Ахмеса порой настолько абстрактны, что возникали непосредственно из практики.

Наши четыре действия над числами египтяне выполняли сложением, удвоением и делением пополам.

Удвоение являлось основной операцией; египетский язык имеет для этого и особую форму двойственного числа. Из прямых операций употреблялось еще только увеличение в десять раз. Вычитание выполнялось дополнением вычитаемого до уменьшаемого, деление - удваиванием.

Греки хотя и имели действие умножения, в житейской практике обычно употребляли египетский метод удвоения. О двух методах умножения чисел упоминает Платон.

В качестве особых арифметических действий ввел удвоение и медитацию в свой учебник неоднократно упоминавшийся самаркандский математик аль-Хорезми (начало XII в), пропагандировавший индийское счисление.

Так как индийцы этих действий не употребляли, то в этом нужно видеть собственную идею аль - Хорезми или влияние Египта через арабов.

Через перевод книги аль - Хорезми в XII в. на латинский язык эти действия вошли впервые европейские руководства Иордана Неморария (XIII в) и через него в монастырские школы. Лишь в конце XV столетия итальянский автор Лука Пачиоли заявляет, что удвоение и раздвоение чисел являются частными случаями умножения и деления и отбрасывает их.

Учебники для монастырских и сборных школ продолжали сохранять эти действия.

Из представителей университетской науки первыми от лишних действий отказались видные деятели математического образования в XVI в. Грамматеус (Шрейбер) в Венском университете и Гемма Фризиус.

Последний впервые дает определение: "арифметическим действием (от лат. Species) мы называем способ нахождения числа".

Однако даже передовой для своего времени учебник "Начало" Вольфа, еще в 1754 г. указывает, что число можно умножить без заучивания таблицы умножения - удвоением и сложением результатов.

Первое русское издание книги Вольфа 1770 г. ("Сокращение первых оснований математики") этого указания уже не содержит и ограничивается указанием "кто хочет иметь способность скоро умножение делать, тому должно пифагорову решетку (таблицу умножения) наизусть выучить и покамест, на память не затвердится, иметь перед собой".

Удвоение и египетский способ умножения при помощи удвоения оказались очень живучими и удержались в практике до последнего времени.

В зарубежной литературе этот способ умножения в наши дни неоднократно описывался как "Способ умножения чисел, применяемый русскими крестьянами". Пусть требуется умножить 37 на 32. Составим два столбца чисел, - один удвоением, начиная с числа 37, другой раздвоением, начиная с числа 32:

 

37          32

74          16

148        8

296        4

592        2

1184      1

 

Произведения всех пар соответственных чисел одни и те же, поэтому

 

37-32=1184-1=1184.

 

Порядок изучения четырех арифметических действий предлагался в разные времена различий. У Леонарда Пизанского действия изучаются в порядке: умножение, сложение, вычитание, деление; у Петра Борги (1484 г) - умножение, деление, сложение, вычитание.

Начать изучение арифметических действий, с умножения было предложено на одном из международных философских конгрессов еще в начале нынешнего столетия. Против предложения резко выступил В.В. Бобынин Кебель (1515 г) подчеркивает равноценность всех четырех действий, Грамматеус (1518 г) отмечает взаимозависимость сложения с умножением, вычитания с делением. Мисрахи (1528 г) рассматривает умножение как частный случай сложения и не включает его в число арифметических действий, так как оно представляет лишь способ сокращенной записи.

Различение арифметических действий по ступеням делает впервые Непир (1550-1617 гг.) в книге "Логистическое искусство", которая была напечатана лишь в 1839 г. Непир считает умножение и деление действиями более высшего порядка, чем сложение и вычитание; третью ступень действий составляют возведение в степень и извлечение корней.

Наиболее древние индийские памятники свидетельствуют о том, что в Индии четыре арифметических действий выполнялись почти так же, как мы их выполняем в настоящее время. Вследствие того, что жители Индии писали на посыпанных песком дощечках, на которых можно было легко "стереть" ненужную цифру, они производили действия слева направо. При письме же на бумаге при таком порядке действий возникала необходимость перечеркивать ставшую ненужной или неверную цифру писать над ней или под ней действительную. Этот прием был введен арабами и от них перешел к европейцам; неудобство его отмечает уже Максим Плануд (1313 г)

С XV в. в Европе входят в употребление наши способы вычисления, fie требующие зачеркиваний цифр (Начало в Италии). В "алгорифмитическом трактате" Белдоманди (1410 г) отличается от наших способов выполнения арифметических действий только деление. Способ перечеркивания цифр "немецким манером", которого придерживались в Германии, уступил место итальянскому, после того как последний способ приняли виднейшие европейские математики XV в. Гмунден, Пурбах, Региомонтан.

Таким образом, у каждого народа были свои арифметические действия. И все они использовались для выполнения операций над числами. Более тысячи лет, развивалась и утверждалась идея выполнения арифметических действий. Хотя они являются условными действиями, как в математике, так и в практической деятельности людей. Изучение истории развития любого понятия являются интересным не только для учеников, но и для нас самих, а изучение истории развития арифметических действий, безусловно, помогает заинтересовать младших школьников математикой.