Раздел второй. Введение в теорию вероятностей

СОДЕРЖАНИЕ

РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. ЭЛЕМЕНТЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ……..……………. 4

1.1. Статические модели …..…………..…………………………… 4

1.2. Динамические модели ……….……..………………………… 6

РАЗДЕЛ ВТОРОЙ. ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ……..……………………………… 8

2.1. Элементы комбинаторики ……....………………………..…… 8

2.2. Классическое определение вероятности ……....……..…….. 10

2.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей ………..…... 13

2.4. Вероятность появления хотя бы одного события  ..………… 16

2.5. Формула полной вероятности ……....……………………… 18

2.6. Формула Бейеса ……....…………..………………………..… 20

2.7. Формула Бернулли ……....………………………………..… 23

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ……………….  25

3.1. Дискретные случайные величины..………..…………..……. 25

3.2. Непрерывные случайные величины …....…………………… 28

РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. ЭЛЕМЕНТЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1.Статические модели

Пример 1.1.1. Заданы функции спроса  и предложения , где – цена за единицу товара. При каком значении  спрос равен предложению, если ?

Решение. Для нахождения точки равновесия надо решить уравнение , т. е: . Отсюда д. ед.

Пример 1.1.2. Функция полных издержек имеет вид . Определить, при каком объеме выпуска средние издержки минимальны.

Решение. Средние издержки: . Из необходимого условия экстремума    находим значение объема выпуска . Т. к.  при , то точка  определяет минимум функции средних издержек.

Пример 1.1.3. Функция спроса на выпускаемую продукцию определяется соотношением . Функция полных издержек монополии задается уравнением . Чему равна максимально возможная прибыль монополии?

Решение. Прибыль определяется как разность между доходом и полными издержками: . Функция спроса определяет цену, которую устанавливает монополист: . Составим уравнение функции прибыли: . Из необходимого условия экстремума  находим значение объема выпуска . Так как , то найденное значение объема выпуска обеспечивает получение фирмой максимальной прибыли . При этом монополист продает товар по цене д.ед.

Пример 1.1.4. Построить бюджетное множество, которое отражает покупательные возможности потребителя двух товаров, если на приобретение этих товаров расходуется не более д. ед. Известно, что цены товаров равны д. ед. и д. ед. соответственно.

Решение. Если первый товар покупается в количестве   единиц, а второй - в количестве   единиц, то за покупку будет заплачено д. ед., и эта сумма не может превышать д. ед., а значит, бюджетное множество задается системой неравенств  и представляет собой на плоскости   треугольник , где  и .

Пример 1.1.5. Производственная функция однопродуктовой фирмы, использующей два вида ресурсов, имеет вид . Построить изокванту, соответствующую объему выпуска продукции ед.

Решение. Изокванта – линия постоянного выпуска. Уравнение изокванты: . Возведем обе части уравнения  в квадрат. получим  или . График этой изокванты - часть гиперболы, расположенная в первой четверти.

Пример 1.1.6. Функция полных издержек фирмы, производящей товар двух видов в количествах x и y, задана соотношением . Цены этих товаров на рынке равны соответственно д. ед. и д. ед. При каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль  и чему она равна?

Решение. Функция прибыли , где функций дохода , а  функция полных издержек: . Выпишем необходимое условие экстремума функции двух переменных: . Таким образом,  ‑ стационарная точка. Проверим достаточные условия максимума. Для этого вычислим: ; ;  и . Следовательно, точка  является точкой экстремума функции, а так как , то точка  является точкой локального максимума. Имеем: .

Задачи для самостоятельного решения

1. Заданы функции спроса  и предложения  на некоторый вид продукции, где – цена за единицу продукции. При каком значении цены наступает равновесие спроса и предложения?

2. Найти объем выпуска, при котором средние издержки минимальны, если функция полных издержекимеет вид .

3. Найти максимально возможный объем прибыли фирмы, если известны функции полных издержек  и спроса .

4. Построить бюджетное множество, которое отражает покупательные возможности потребителя двух товаров, если на приобретение этих товаров расходуется не более д. ед. Известно, что цены товаров равны д. ед. и д. ед. соответственно.

5. Задана производственная функция  однопродуктовой фирмы, использующей два вида ресурсов. Построить изокванту, соответствующую значению объема выпуска продукции ед.

6. Функция полных издержек фирмы, производящей товар двух видов в количества x и y, задана соотношением . Цены этих товаров на рынке равны соответственно д. ед. и д. ед. Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль  и чему она равна.

Динамические модели

Пример 1.2.1. Предельные затраты однопродуктовой фирмы заданы соотношением . Найти функцию полных затрат , если фиксированные издержки  фирмы составляют д. ед.

Решение. Предельные издержки равны . Это значит, что полные издержки . Условие  позволяет определить значение . Таким образом, .

Пример 1.2.2. Динамика процентной ставки  определяется уравнением ,где функцияинвестиций  задана в виде , а функция сбережений  задана в виде . Вывести уравнение динамики процентной ставки , если в начальный момент  она составляла .

Решение. Из условия задачи следует, что . разделяя переменные, получаем уравнение . Решим его:

, откуда следует . Так как , то , откуда .

Пример 1.2.3. Динамика основных производственных фондов (ОПФ) отрасли  определяется дифференциальным уравнением , где д. ед. – объём инвестиций в момент времени , а  – коэффициент выбытия основных фондов. Вывести уравнение динамики основных производственных фондов, если в начальный момент времени  объём фондов составлял ед.

Решение. Уравнение динамики ОПФ можно записать в виде . разделяя переменные в дифференциальном уравнении, получаем . Интегрируя это уравнение , получаем его общее решение . Используя начальное условие , получим уравнение динамики основных производственных фондов .

Задачи для самостоятельного решения

1. Предельные затраты однопродуктовой фирмы заданы соотношением . Найти функцию полных затрат , если известны фиксированные издержки  фирмы.

2. Динамика процентной ставки в классической макромодели определяется уравнением ,где   –функцияинвестиций,  – функция сбережений. Вывести уравнение динамики процентной ставки , если в начальный момент  она составляет .

3. Динамика основных производственных фондов (ОПФ) отрасли  определяется дифференциальным уравнением , где  – объём инвестиций в момент времени , а  – коэффициент выбытия основных фондов. Вывести уравнение динамики основных производственных фондов , если в начальный момент времени  объём фондов составлял ед.

Элементы комбинаторики

Пример 2.1.1. Вычислить .

Решение. Т.к.  при , то .

Пример 2.1.2. Вычислить число перестановок из 4 элементов.

Решение. Т.к. , то .

Пример 2.1.3. Вычислить число размещений из 7 элементов по 2.

Решение. .

Пример 2.1. 4. Вычислить число сочетаний из 5 элементов по 32.

Решение. .

Пример 2.1.5. В ящике 300 деталей. Известно, что 150 из них – 1-го сорта, 120 – 2-го, а остальные – 3-го. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 3-го сорта?

Решение. Деталь 1-го сорта может быть извлечена  способами, 3-го сорта –  способами. По правилу суммы существует  способов извлечения одной детали 1-го или 3-го сорта.

Пример 2.1.6. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Председателем может быть выбран любой из  участников, секретарём – любой из оставшихся . По правилу произведения число способов выбора председателя и секретаря равно .

Пример 2.1.7. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьёвки при этом возможно?

Решение. Каждый вариант жеребьёвки отличается только порядком участников конкурса, т.е. является перестановкой из 7 элементов. Поэтому число различных вариантов жеребьёвки равно .

Пример 2.1.8. Расписание одного дня состоит из 4 уроков различных дисциплин. Определить число вариантов расписания при выборе из 8 дисциплин.

Решение. Вариант расписания представляет набор 4 различных дисциплин из 8, отличающийся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их следования, т.е. является размещением из 8 элементов по 4.

Поэтому число вариантов равно .

Пример 2.1.9. На тренировке занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть образовано стартовых пятёрок?

Решение. При составлении стартовой пятёрки играет роль только её состав. Поэтому количество стартовых пятёрок равно числу сочетаний из 12 элементов по 5: .

Пример 2.1.10. В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз. Сколькими способами можно выбрать 7 роз, чтобы среди них было 3 красные розы?

Решение. По условию задачи среди выбранных 7 цветов 4 белых и 3 красные розы. 4 белые розы можно выбрать  способами, 3 красные –  способами. Согласно правилу произведения извлечь 7 роз, среди которых 4 белых и 3 красные розы можно  способами.

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ; 10) .

2. На блюде лежат 4 яблока и 3 груши. Сколькими способами можно выбрать один плод?

3. В группе 15 человек. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколько существует способов это сделать?

4. Из города  в город  ведут 4 дороги, а из города  в город  - 3 дороги. Туристы хотят проехать из города  в город  через город . Сколькими способами они могут выбрать маршрут?

5. Сколькими способами можно расставить 8 участников финального забега на восьми беговых дорожках?

6. Экзамен сдают 20 студентов. Сколько существует возможных вариантов их очерёдности?

7. Семь юношей, в число которых входят Петя и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если: а) Петя должен находиться в конце ряда; б) Петя должен находиться в конце ряда, а Игорь –

в начале ряда; в) Петя и Игорь должны стоять рядом?

8. Сколько можно составить шестизначных номеров телефона из 9 цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, если в каждом номере все цифры различны?

9. Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами это можно сделать?

10. В вазе стоят 9 белых и 4 розовых тюльпана. Сколькими способами можно выбрать из вазы 5 цветов?

11. Бригада, занимающаяся ремонтом здания, состоит из 12 маляров и 5 плотников. Из них для ремонта цокольного этажа надо выделить 4 маляра и 2 плотников. Сколькими способами это можно сделать?

12. Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, надо отправить в наряд 4 человек. Сколькими способами это можно сделать, если: а) Иванов и Петров должны пойти в наряд; б) Иванов и Петров должны остаться; в) Иванов должен пойти в наряд, а Петров – остаться?

Формула Бейеса

Пример 2.6.1. Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Первый рабочий изготовил 40 изделий, второй – 35, третий – 25. Вероятность брака у первого рабочего равна 0,03, у второго – 0,02, у третьего – 0,01. Взятое наугад изделие оказалось бракованным. Определить вероятность того, что это изделие изготовил второй рабочий.

Решение. Обозначим события:  – взятое наудачу изделие оказалось бракованным;  – наудачу взятое изделие изготовил -ый рабочий,

где . По условию задачи , , ,  и ,  

По формуле полной вероятности найдём вероятность события :

.

Вероятность изготовления изделия вторым рабочим при условии, что оно оказалось бракованным, найдём по формуле Бейеса:

.

Пример 2.6.2. При взрыве снаряда образуются осколки трёх типов: крупные, средние и мелкие, причём число крупных, средних и мелких осколков относится как 1:3:6 соответственно. При попадании в броню крупный осколок пробивает её с вероятностью 0,5, средний – с вероятностью 0,2, мелкий – с вероятностью 0,05. В броню попал один осколок и пробил её. Каким осколком вероятнее всего произведена пробоина?

Решение. Пусть событие  – образовавшийся осколок пробил броню. Возможны следующие предположения (гипотезы):  – образовался крупный осколок; – образовался средний осколок;  – образовался мелкий осколок. По условию

По формуле полной вероятности получим:

.

Переоценим вероятности гипотез по формуле Бейеса:

, , .

Вывод: Вероятнее, что пробоина произведена средним осколком. Отметим, что сумма вероятностей гипотез, пересчитанных по формуле Бейеса, равна 1, т.е. .

Задачи для самостоятельного решения

1. В батарее из 10 орудий одно непристрелянное. Вероятность попадания из пристрелянного орудия равна 0,7, из непристрелянного – 0,2. Произвели один выстрел и промахнулись. Найти вероятность, что стреляли из непристрелянного орудия.

2. Магазин заключил договор на поставку картофеля с двумя базами. Первая база поставляет 2/3 всего картофеля и 80% продукции, поставляемой этой базой, высокого качества. Для второй базы этот показатель равен 60%. Найти вероятность того, что купленный высококачественный картофель поступил со второй базы.

3. В университете имеется экономический факультет, на котором есть 20 мест на бюджетной основе и 30 мест на платной основе. Абитуриент поступает в университет на бюджетной основе с вероятностью 0,4, на платной – с вероятностью 0,8. Наудачу выбранный абитуриент поступил в университет. Какова вероятность того, что он поступал на бюджетной основе?

4. На заводе 30% продукции производится цехом № 1, 45% – цехом № 2, остальные 25% – цехом № 3. Цех № 1 даёт 0,5% брака всей производимой им продукции, цех № 2 – 1%, цех № 3 – 0,4%. Наугад выбранная единица продукции оказалась браком. Какова вероятность того, что она была произведена цехом № 2?

5. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и экстремальном. Нормальный режим наблюдается в 90% случаев, экстремальный – в 10%. Вероятность выхода из строя за определённый период равна 0,1 для нормального режима и 0,7 – для экстремального. Известно, что прибор вышел из строя. В каком режиме вероятнее он работал?

6. На склад поступило 1000 подшипников. Из них 200 изготовлены на 1-м заводе, 550 – на 2-м, и остальные – на 3-ем. Брак на 1-м заводе составляет в среднем 1%, на 2-м – 0,7% и на 3-ем –1,2%. Взятый наудачу подшипник оказался бракованным. На каком заводе вероятнее он изготовлен?

7. Три оператора экспериментальной установки производят соответственно 25%, 35% и 40% всех лабораторных измерений, при этом у первого оператора ошибочными оказываются 5% полученных данных, у второго – 4%, у третьего – 2%. При проверке произвольно выбранного измерения выявлена ошибка. Найти вероятность того, что эта ошибка допущена третьим оператором.

8. Производительность труда во второй половине дня падает полтора раза, а процент производственного брака возрастает вдвое. Взятая наугад деталь оказалась бракованной. С какой вероятностью она изготовлена во второй половине дня?

 

2.7. Формула Бернулли

Пример 2.7.1. Вероятность попадания стрелком в мишень постоянна и равна 0,6. Какова вероятность четырёх попаданий при десяти выстрелах?

Решение. Так как вероятность попадания в мишень более 0,1, а число выстрелов мало, то для решения задачи используем формулу Бернулли

, где – вероятность появления события  в  независимых испытаниях ровно  раз,  – вероятность попадания в мишень при одном выстреле,  – вероятность непопадания в мишень при одном выстреле,  число сочетаний из  элементов по . Отсюда .

Пример 2.7.2. Вероятность прижиться для любого посаженного саженца постоянна и равна 0,3. Какова вероятность того, что из пяти посаженных саженцев приживутся только два?

Решение. Так как вероятность того что посаженный саженец приживётся постоянна и более 0,1, а число испытаний мало, то для решения задачи используем формулу Бернулли , откуда .

Пример 2.7.3. Вероятность того, что каждый автомобиль, продаваемый фирмой, требует предпродажной подготовки равна 0,2. Какова вероятность того, что из четырёх продаваемых фирмой автомобилей потребуют предпродажную подготовку все четыре автомобиля?

Решение. Так как в задаче имеет место схема опытов Бернулли, когда вероятность появления события А больше 0,1, а число испытаний мало, то для решения задачи используем формулу Бернулли . Тогда .

Пример 2.7.4. В тире стрелок делает пять выстрелов по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле постоянна и равна 0,7. Какова вероятность, что при пяти выстрелах число попаданий окажется менее трёх?

Решение. В задаче имеет место схема опытов Бернулли. Поэтому вероятность того, что при пяти выстрелах число попаданий будет менее трёх, можно представить как , где

;

;

.

Отсюда .

Пример 2.7.5. Вероятность стрижки волос для каждого клиента парикмахерской постоянна и равна 0,4. Какова вероятность того, что из пяти

клиентов стрижку будет делать хотя бы один клиент?

Решение. Вероятность  того, что хотя бы один клиент сделает стрижку волос и – вероятность того, что ни один из пяти клиентов не будет делать стрижку, есть два противоположных события, для которых , откуда , т. к. .

Задачи для самостоятельного решения

1. Прибор состоит из четырёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время работы прибора   постоянна и равна 0,6. Какова вероятность того, что за время  из четырёх элементов прибора откажут ровно 2?

2. Вероятность успешного прохождения тестирования у студентов группы постоянна и равна 0,2. Какова вероятность того, что из пяти

студентов успешно пройдут тестирование ровно три?

3. Вероятность успешного прохождения медицинского осмотра у работников фирмы постоянна и равна 0,7. Какова вероятность того, что из пяти работников фирмы успешно пройдут медицинский осмотр менее двух работников?

4. Вероятность выполнения стрижки волос у клиентов парикмахерской постоянна и равна 0,4. Какова вероятность того, что из пяти клиентов парикмахерской будут выполнять стрижку волос не менее четырёх клиентов?

5. Вероятность того, что продаваемые стиральные машины потребуют в течение гарантийного срока ремонта, равна 0,3. Какова вероятность того, что из трёх стиральных машин в течение гарантийного срока потребуют ремонта не более одной?

6. Вероятность попадания в мишень при трёх независимых выстрелах постоянна и равна 0,8. Какова вероятность того, что число попаданий в мишень при трёх выстрелах будет не менее двух?

7. Вероятность отказа в работе любой из имеющихся осветительных ламп в течение времени   постоянна и равна 0,1. Какова вероятность отказа в течение времени  хотя бы одной лампы из имеющихся четырёх?

8. Монета подбрасывается 6 раз. Какова вероятность появления «герба» ровно 3 раза? Менее 3 раз?

9. Вероятность устройства на работу для мигрантов постоянна и равна 0,8. Какова вероятность того, что из пяти мигрантов устроится на работу хотя бы один?

10. Вероятность невозврата кредита клиентом банка постоянна и равна 0,15. Какова вероятность невозврата кредита более тремя клиентами из шести, получивших кредит?

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

СОДЕРЖАНИЕ

РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. ЭЛЕМЕНТЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ……..……………. 4

1.1. Статические модели …..…………..…………………………… 4

1.2. Динамические модели ……….……..………………………… 6

РАЗДЕЛ ВТОРОЙ. ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ……..……………………………… 8

2.1. Элементы комбинаторики ……....………………………..…… 8

2.2. Классическое определение вероятности ……....……..…….. 10

2.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей ………..…... 13

2.4. Вероятность появления хотя бы одного события  ..………… 16

2.5. Формула полной вероятности ……....……………………… 18

2.6. Формула Бейеса ……....…………..………………………..… 20

2.7. Формула Бернулли ……....………………………………..… 23

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ……………….  25

3.1. Дискретные случайные величины..………..…………..……. 25

3.2. Непрерывные случайные величины …....…………………… 28

РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. ЭЛЕМЕНТЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1.Статические модели

Пример 1.1.1. Заданы функции спроса  и предложения , где – цена за единицу товара. При каком значении  спрос равен предложению, если ?

Решение. Для нахождения точки равновесия надо решить уравнение , т. е: . Отсюда д. ед.

Пример 1.1.2. Функция полных издержек имеет вид . Определить, при каком объеме выпуска средние издержки минимальны.

Решение. Средние издержки: . Из необходимого условия экстремума    находим значение объема выпуска . Т. к.  при , то точка  определяет минимум функции средних издержек.

Пример 1.1.3. Функция спроса на выпускаемую продукцию определяется соотношением . Функция полных издержек монополии задается уравнением . Чему равна максимально возможная прибыль монополии?

Решение. Прибыль определяется как разность между доходом и полными издержками: . Функция спроса определяет цену, которую устанавливает монополист: . Составим уравнение функции прибыли: . Из необходимого условия экстремума  находим значение объема выпуска . Так как , то найденное значение объема выпуска обеспечивает получение фирмой максимальной прибыли . При этом монополист продает товар по цене д.ед.

Пример 1.1.4. Построить бюджетное множество, которое отражает покупательные возможности потребителя двух товаров, если на приобретение этих товаров расходуется не более д. ед. Известно, что цены товаров равны д. ед. и д. ед. соответственно.

Решение. Если первый товар покупается в количестве   единиц, а второй - в количестве   единиц, то за покупку будет заплачено д. ед., и эта сумма не может превышать д. ед., а значит, бюджетное множество задается системой неравенств  и представляет собой на плоскости   треугольник , где  и .

Пример 1.1.5. Производственная функция однопродуктовой фирмы, использующей два вида ресурсов, имеет вид . Построить изокванту, соответствующую объему выпуска продукции ед.

Решение. Изокванта – линия постоянного выпуска. Уравнение изокванты: . Возведем обе части уравнения  в квадрат. получим  или